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1、学习必备欢迎下载第七讲万有引力定律(二) 118 世纪，人们发现太阳系的第七个行星 天王星的运动轨道有些古怪：根据_计算出的轨道与实际观测的结果总有一些偏差据此， 人们推测， 在天王星轨道的外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的_使其轨道发生了偏离2若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m 的物体所受的重力mg 等于 _对物体的 _，即 mg_，式中 M 是地球的质量，R 是地球的半径，也就是物体到地心的距离由此可得出地球的质量M_. 3将行星绕太阳的运动近似看成_运动，行星做圆周运动的向心力由_提供，则有 _，式中M 是_的质量， m是_的质量， r 是 _，也就是行星和太阳中心的距离，T 是
2、_由此可得出太阳的质量为：_. 4同样的道理，如果已知卫星绕行星运动的_和卫星与行星之间的_，也可以计算出行星的质量_和_确立了万有引力定律的地位5应用万有引力定律解决天体运动问题的两条思路是：(1)把天体 (行星或卫星 )的运动近似看成是 _运动， 向心力由它们之间的_提供， 即 F万F向，可以用来计算天体的质量，讨论行星 (或卫星 )的线速度、角速度、周期等问题 基本公式：_mv2rmr2mr42T2. (2)地面及其附近物体的重力近似等于物体与地球间的_，即 F万mg，主要用于计算涉及重力加速度的问题基本公式：mg _(m 在 M 的表面上 )，即 GMgR2. 6下列说法正确的是()
3、A海王星是人们直接应用万有引力定律计算的轨道而发现的B天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的C海王星是人们经过长期的太空观测而发现的D天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星7利用下列数据，可以计算出地球质量的是() A已知地球的半径R 和地面的重力加速度gB已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r 和周期 TC已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r 和线速度vD已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v 和周期 T【考点演练】考点一发现未知天体1科学家们推测，太阳系的第九大行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳
4、的背面， 人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”由以上信息我们可以推知() A这颗行星的公转周期与地球相等B这颗行星的自转周期与地球相等C这颗行星的质量与地球相等D这颗行星的密度与地球相等考点二计算天体的质量. 解决天体圆周运动问题的两条思路(1) 在地面附近万有引力近似等于物体的重力,F引=mg, 即G? =mg, 整理得GM=gR2。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必
5、备欢迎下载(2) 天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动, 其向心力由万有引力提供, 即F引=F向。一般有以下几种表达形式: G? =m?G? =m2rG? =m?r2. 天体质量和密度的计算1“ 自力更生 ” 法(g R) 利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R。(1) 由 GMmR2 mg得天体质量M gR2G。(2) 天体密度 MVM43 R33g4 GR。(3)GM gR2称为黄金代换公式。2“ 借助外援 ” 法(Tr) 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和半径 r 。(1) 由 GMmr2 m4 2rT2得天体的质量M 4 2r3GT 2。(2) 若已知天体的半径R，则天体的密度
6、 MVM43 R33 r3GT 2R 3。(3) 若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R， 则天体密度 3GT 2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 典例 20XX年 11 月 1 日早上 6时 42 分，被誉为 “ 嫦娥 5 号” 的“ 探路尖兵 ” 载人返回飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，标志着我国已全面突破和掌握航天器以接近第二宇宙速度的高速载人返回关键技术，为“ 嫦娥 5 号” 任务顺利实施和探月工程持续推进奠定了坚实基础。已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t(t小于航天器的绕行周期) ，航
7、天器运动的弧长为s，航天器与月球的中心连线扫过角度为 ，引力常量为G ，则A航天器的轨道半径为sB 航天器的环绕周期为2 tC月球的质量为s3Gt2D 月球的密度为3 24Gt2 解析 根据几何关系得r s，故 A 错误；经过时间t ，航天器与月球的中心连线扫过角度为 ，则tT2，得 T2 t，故 B正确；由万有引力充当向心力而做圆周运动，所以GMmr2m4 2T 2r ，得 M 4 2r3GT24 2s3G2 t2s3Gt2，故 C 正确；月球的体积V43 r3 43s3，月球的密度 MVs3Gt243s33 24 Gt2，故 D错误。 答案 BC 易错提醒 (1) 利用万有引力提供天体做圆
8、周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。(2) 区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r R；计算天名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载体密度时， V43 R3中的 R只能是中心天体的半径。 针对训练 1 (2015 江苏高考 ) 过去几千年来， 人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星 “ 51 peg b ” 的发现
9、拉开了研究太阳系外行星的序幕。“ 51 peg b ” 绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120。该中心恒星与太阳的质量比约为( ) A110B 1 C5 D10 解析：行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得GMmr2m 4 2T2r ，则M1M2r1r23T2T12120336542 1，选项 B正确。答案： B 2已知引力常量G和下列各组数据，能计算出地球质量的是( ) A地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离B月球绕地球运行的周期及月球离地球的距离C人造地球卫星在地面附近绕行的速度及运行周期D若不考虑地球自转，已知地球
10、的半径及重力加速度3已知引力常量G 6.67 10 11N m2/kg2，重力加速度g9.8 m/s2 ，地球半径R6.4 106m ，则可知地球质量的数量级是( ) A1018kg B1020kg C1022kg D1024kg 4一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，若认为行星是密度均匀的球体，那么要确定该行星的密度，只需要测量( ) A飞船的轨道半径B 飞船的运行速度C飞船的运行周期D 行星的质量5假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G ，则该天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处
11、做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？【方法技巧训练】应用万有引力定律分析天体运动问题的方法6近地人造卫星1 和 2 绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1 和 T2，设在卫星1、卫星 2 各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则 ( ) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载A.g1g2(T1T2)4/3 B.g1g2(T2T1)4/3 C.g1g2(T1T2)2
12、 D.g1g2(T2T1)2 7已知地球半径R6.4 106m ，地面附近重力加速度g9.8m/s2. 计算在距离地面高为 h2 106m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v 和周期 T. 1若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G ，则可求得 ( ) A该行星的质量B 太阳的质量C该行星的平均密度D太阳的平均密度2有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面表面处重力加速度的 4 倍，则该星球的质量将是地球质量的() A.14B4 倍C16 倍D64 倍3火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球
13、绕太阳公转半径的1.5 倍根据以上数据，下列说法中正确的是() A火星表面重力加速度的数值比地球表面小B火星公转的周期比地球的长C火星公转的线速度比地球的大D火星公转的向心加速度比地球的大4若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为() A.GT23B.3GT2C.GT24D.4GT25为了对火星及其周围的空间环境进行监测，我国预计于20XX 年 10 月发射第一颗火星探测器“萤火一号”假设探测器在离火星表面高度分别为h1和 h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和 T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常量为 G.仅
14、利用以上数据，可以计算出() A火星的密度和火星表面的重力加速度B火星的质量和火星对“萤火一号”的引力C火星的半径和“萤火一号”的质量D火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力6设地球半径为R，a 为静止在地球赤道上的一个物体，b 为一颗近地绕地球做匀速圆名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载周运动的人造卫星，c 为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r.下列说法中正确的是() Aa
15、 与 c 的线速度大小之比为rRBa 与 c 的线速度大小之比为RrCb 与 c 的周期之比为rRDb 与 c 的周期之比为RrRr720XX 年 9 月 27 日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次太空行走标志着中国航天事业全新时代的到来“神舟七号”绕地球做近似匀速圆周运动，其轨道半径为r，若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为2r，则可以确定() A卫星与“神舟七号”的加速度大小之比为14 B卫星与“神舟七号”的线速度大小之比为12 C翟志刚出舱后不再受地球引力D翟志刚出舱任务之一是取回外挂的实验样品，假如一不小心使实验样品脱手，则它将做自由落体运动8“嫦娥二号
16、”是我国月球探测第二期工程的先导星若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量为G，半径为 R 的球体体积公式V43 R3，则可估算月球的() A密度B质量C半径D自转周期9.土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动其中有两个岩石颗粒 A 和 B 与土星中心的距离分别为rA8.0104km 和 rB1.2105km，忽略所有岩石颗粒间的相互作用(结果可用根式表示) (1)求岩石颗粒A 和 B 的线速度之比(2)土星探测器上有一物体，在地球上重为10N，推算出它在距土星中心3.2105km 处受到土星的引力为0.38N已知地球
17、半径为6.4103km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？11中子星是恒星演化过程中的一种可能结果，它的密度很大现有一中子星，观测到它的自转周期为T130s问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解？(计算时星体可视为均匀球体，万有引力常量G 6.6710名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载11m3/(kg s2) 第 3 节万有引力定律的应用课前预习练1万有
18、引力定律吸引2地球引力GMmR2gR2G3 匀速圆周太阳对行星的万有引力GMmr2mr(2T)2太阳行星行星绕太阳运动的轨道半径行星绕太阳运动的公转周期M42r3GT24周期距离海王星的发现哈雷彗星的“按时回归”5(1)匀速圆周万有引力GMmr2(2)万有引力GMmR26D 7ABCD设相对地面静止的某一物体的质量为m，则有GMmR2mg 得 MgR2G，所以 A 选项正确设卫星质量为m，则万有引力提供向心力，GMmr2 m42rT2得 M42r3GT2，所以 B 选项正确设卫星质量为m，由万有引力提供向心力，GMmr2mv2r，得 Mv2rG，所以C 选项正确设卫星质量为m，由万有引力提供向
19、心力，GMmr2m 2rmv mv2T，由 vr r2T，消去 r 得 Mv3T2 G，所以 D 选项正确 课堂探究练1A 2BCD 3D 点评天体质量的计算仅适用于计算被环绕的中心天体的质量，无法计算围绕中心天体做圆周运动的天体的质量，常见的天体质量的计算问题有如下两种：(1)已知行星的运动情况，计算太阳质量(2)已知卫星的运动情况，计算行星质量4C因为GMmR2 m42T2R，所以M42R3GT2，又因为V43 R3， MV，所以 3GT2，选项 C 正确 点评利用飞船受到行星的万有引力提供飞船做圆周运动的向心力进行分析5.3GT213Rh3GT22R3解析设卫星的质量为m，天体的质量为M
20、.卫星贴近天体表面做匀速圆周运动时有名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载GMmR2m42T21R，则 M42R3GT21根据数学知识可知星球的体积V43 R3故该星球密度1MV42R3GT2143 R33GT21卫星距天体表面距离为h 时有GMmR h2m42T22(Rh) M42Rh3GT222MV42R h3GT2243 R33Rh3GT22R3点评利用公式M42r3GT2计算出
21、天体的质量，再利用 M43 R3计算天体的密度，注意r指绕天体运动的轨道半径，而R 指中心天体的半径，只有贴近中心天体运动时才有rR. 6B卫星绕天体做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有GMmR2 m(2T)2R，可得T2R3k 为常数， 由重力等于万有引力有GMmR2mg，联立解得gGM3T4k2GMk23T43，则 g 与 T43成反比 76.9103m/s7.6103s 解析根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，有GMmR h2mv2Rh知 vGMR h由地球表面附近万有引力近似等于重力，即GMmR2mg 得 GMgR2由两式可得vgR2Rh6.41069.86.41062106
22、m/s 6.9103m/s 运动周期 T2R hv23.14 6.4 10621066.9103s7.6103s 方法总结解决天体问题的两种思路(1)所有做圆周运动的天体，所需要的向心力都来自万有引力因此，向心力等于万有引力是我们研究天体运动建立方程的基本关系式，即GMmr2ma，式中的a 是向心加速度(2)物体在地球 (天体 )表面时受到的万有引力近似等于物体的重力，即：GMmR2mg，式中的 R 为地球 (天体 )的半径， g 为地球 (天体 )表面物体的重力加速度名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - -
23、- - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载课后巩固练1B 2D由 GMmR2mg 得 MgR2G， MVgR2G43 R33g4 GR所以 R3g4 G，则RR地gg地4 根据 MgR2G4g地 4R地2G64g地R2地G64M地，所以 D 项正确 3 AB由 Gmm物R2m物g 得 gGmR2， 计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的25，A 正确；由GMmr2m(2T)2r 得 T2r3GM，公转轨道半径大的周期长，B 对；周期长的线速度小 (或由 vGMr判断轨道半径大的线速度小)， C 错；公转向心加速
24、度aGMr2， D 错 4 B设飞船的质量为m， 它做匀速圆周运动的半径为行星半径R， 则 GMmR2m(2T)2R，所以行星的质量M42R3GT2，行星的平均密度 M43 R342R3GT243 R33GT2，B 项正确 5A设火星质量为M，半径为R， “萤火一号 ”的质量为 m，则有GMmR h12m2T12(Rh1) GMmR h22m2T22(Rh2) 联立两式可求得M、R，由此可进一步求火星密度，由于mgGMmR2，则 gGMR2，显然火星表面的重力加速度也可求出，m 无法求出， 故火星对 “荧火一号 ”的引力也无法求出，正确答案为A. 6 D物体 a 与同步卫星c 角速度相等， 由
25、 vr 可得，二者线速度之比为Rr，选项 A、B 均错误；而b、c 均为卫星，由T2r3GM可得，二者周期之比为RrRr，选项 C 错误，D 正确 7 AB根据 aGMr2， 可知 a1 a21 4， 故 A 正确；根据 vGMr， 可知 v1 v2 1 2，故 B 正确；根据万有引力定律，翟志刚不论是在舱里还是在舱外，都受地球引力的作用，故 C 错；样品脱手时具有和人同样的初速度，并不会做自由落体运动，故D 错 8D物体随天体一起自转，当万有引力全部提供向心力使之转动时，物体对天体的压力恰好为零，则GMmR2 m42T2R，又 M43 R3，所以 T3G12，D 正确 9A对“嫦娥二号 ”
26、由万有引力提供向心力可得：GMmR2m42T2R.故月球的质量M42R3GT2，因 “嫦娥二号 ”为近月卫星，故其轨道半径为月球的半径R，但由于月球半径未知，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载故月球质量无法求出，故B、C 项均错；月球的密度 MV42R3GT243 R33GT2，故 A 正确 10(1)62(2)95 解析(1)万有引力提供岩石颗粒做圆周运动的向心力，所以有GMmr
27、2mv2/r.故vGMr所以vAvBrBrA1.2105km8.0104km62. (2)设物体在地球上重为G地，在土星上重为G土，则由万有引力定律知：G地 GM地mR2地，G土GM土mR2土又 F万GM土mr2，故 G土R2土 F万r2所以M土M地G土R2土G地R2地F万r2G地R2地0.38 3.2105 210 6.4103 295. 111.271014kg/m3解析考虑中子星赤道处一小块物体，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体一起旋转所需的向心力时，中子星才不会瓦解设中子星的密度为 ，质量为 M，半径为 R，自转角速度为 ，位于赤道处的小块物体质量为 m，则有GMmR2m 2R， 2T，M43 R3由以上各式得 3GT2代入数据解得 1.27 1014kg/m3点评因中子星自转的角速度处处相同，据GMmR2 m 2R 知，只要赤道上的物体不做离心运动，其他位置上的物体就会处于稳定状态，中子星就不会瓦解名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -