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1、点集拓扑学 第一章 集合论初步 本章介绍有关集合论的一些基本知识从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发，给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理，只是稍稍提了一下，进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中。这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，如果对集合的理论有进一步的需求，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑，可以去研读有关公理集合论的专著 即令就朴素集合论本身而言，我们也无意使本章的内容构成一个完全自我封闭的体系，主要是我们没有打算重建数系，而假定读者了解有关正整数，整数，有理数，实数的基本知识，以及其中的四则运算，大小的比较
2、(和)，和实数理论中关于实数的完备性的论断（任何由实数构成的集合有上界必有上确界）等，它们对于读者决不会是陌生的此外，对于通常的（算术）归纳原则也按读者早已熟悉的方式去使用，而不另作逻辑上的处理 1.1 集合的基本概念 集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”，“所有整数的集合”等等集合也常称为集，族，类 集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”构成的例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素元素也常称为元，点，或成员 集合也可以
3、没有元素例如平方等于 2 的有理数的集合，既大于 1又小于 2 的整数的集合都没有任何元素这种没有元素的集合我们称之为空集，记作此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单点集 集合的表示法：（1）用文句来描述一个集合由哪些元素构成（像前面所作的那样），是定义集合的一个重要方式 （2）描述法：我们还通过以下的方式来定义集合：记号 x|关于x的一个命题 P 表示使花括号中竖线后面的那个命题 P 成立的所有元素 x 构成的集合 例如，集合x|x为实数，并且 0 x1即通常所谓开区间（0，1）在运用集合这种定义方式时有时允许一些变通，例如集合是实数便是集合，其中x是实数的简略表示,不难明白这个集合实际上
4、是由全体非负实数构成的集合表示方式中的竖线“|”也可用冒号“：”或分号“；”来代替 合运算关系映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理只是稍稍提了一下进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论如果对集合的理论有进一步的需求们也无意使本章的内容构成一个完自我封闭的体系主要是我们没有打算重建数系而假定读者了解有关正整数整数有理数实数的基本知识以及其中的四则运算大小的比较和和实数理论中关于实数的完备性的论断任何由实数构成的集合而不另作逻辑上的处理集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体
5、例如我们常说正在这里听课的体学生的集合所有整数的集合等等集合也常称为集族类集合即通常所谓的 （3）列举法：也常将一个集合的所有元素列举出来再加上花括号以表示这个集合例如表示由元素构成的集合如果确实不至于发生混淆，在用列举的办法表示集合时容许某种省略 例如，有时我们可以用1，2，3，表示全体正整数构成的集合，用1，3，5，表示全体正奇数相成的集合但我们并不鼓励这种做法，因为后面的规律不是很清楚，容易产生误解我们再三提请读者注意：不管你用任何一种方式定义集合，最重要的是不允许产生歧义，也就是说你所定义的集合的元素应当是完全确定的 在本书中，我们用：表示全体正整数构成的集合，称为正整数集；Z表示全体
6、整数构成的集合，称为整数集；Q表示全体有理数构成的集合，称为有理数集；R表示全体实数构成的集合，称为实数集；并且假定读者熟知这些集合 以下是一些常用的记号：表示元素与集合的关系，如：xX，xx等 ：表示集合与集合的关系，如：A B（等价于）(这个记号即是通常数学课本中的)：表示与上述相反的含义 =：表示两个集合相等，如：A=B（等价于）合运算关系映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理只是稍稍提了一下进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论如果对集合的理论有进一步的需求们也无意使本章的内容构成一个完自我封闭的体系主要是我们没有打
7、算重建数系而假定读者了解有关正整数整数有理数实数的基本知识以及其中的四则运算大小的比较和和实数理论中关于实数的完备性的论断任何由实数构成的集合而不另作逻辑上的处理集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说正在这里听课的体学生的集合所有整数的集合等等集合也常称为集族类集合即通常所谓的 以下的这个定理等价于形式逻辑中的相应命题，从直觉着去看也是自明的 定理 1.1.1 设 A，B，C都是集合，则 （l）AA；（2）若 AB，则 BA；（3）若 AB，B=C，则 AC 定理 1.1.2 设 A，B，C都是集合，则 （l）A A；（2）若
8、A B，B A，则 AB；（3）若 A B，B C，则 A C 证明（l）显然 （2）A B意即：若 xA，则xB；B A意即：若 xB，则 xA这两者合起来正好就是AB的意思 （3）xA由于A B，故 xB；又由于B C，从而 xC 综上所述，如果 xA就有 xC此意即A C 因为空集不含任何元素，所以它包含于每一个集合之中由此我们可以得出结论：空集是惟一的 设 A，B是两个集合如果 A B，我们则称 A为 B的子集；合运算关系映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理只是稍稍提了一下进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论如果
9、对集合的理论有进一步的需求们也无意使本章的内容构成一个完自我封闭的体系主要是我们没有打算重建数系而假定读者了解有关正整数整数有理数实数的基本知识以及其中的四则运算大小的比较和和实数理论中关于实数的完备性的论断任何由实数构成的集合而不另作逻辑上的处理集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说正在这里听课的体学生的集合所有整数的集合等等集合也常称为集族类集合即通常所谓的 如果 A是 B的子集，但 A又不等于 B，即 A B，AB，也就是说A的每一个元素都是 B 的元素，但 B 中至少有一个元素不是 A的元素，这时，我们称 A为 B的真子
10、集.我们常常需要讨论以集合作为元素的集合，并且为了强调这一特点，这类集合常称为集族.例如，A=1,1,2,1,2,3是一个集族.它的三个元素分别为:1,1,2,1,2,3及.设 X是一个集合，我们常用P（X）表示 X的所有子集构成的集族，称为集合 X的幂集 例如，集合1,2 的幂集是P=1,1,2,2,.本章中所介绍的集合论是所谓“朴素的”集合论在这种集合论中，“集合”和“元素”等基本概念均不加定义而被认作是自明的 正因为如此，历史上曾经产生过一些悖论.而对于绝大多数读者来说了解朴素的集合已是足够的了，只是要求他们在运用的时候保持适当的谨慎，以免导致逻辑矛盾例如，我们应当知道一个集合本身不能是
11、这个集合一个元素即：若 A是集合则 AA不成立这一点是容易理解的例如，由一些学生组成的一个班级决不会是这个班级里的一名学生因此，我们不能说“所有集合构成的集合”，因为如果有这样一个“集合”的话，它本身既是一个集合，就应当是这个“所有集合构成的集合”的一个元素了也因此，我们应当能够了解一个元素 a 和仅含一个元素 a 的单点集a 是两回事，尽管我们有时为了行文的简便而在记号上忽略这个区别 作业：合运算关系映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理只是稍稍提了一下进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论如果对集合的理论有进一步的需求们
12、也无意使本章的内容构成一个完自我封闭的体系主要是我们没有打算重建数系而假定读者了解有关正整数整数有理数实数的基本知识以及其中的四则运算大小的比较和和实数理论中关于实数的完备性的论断任何由实数构成的集合而不另作逻辑上的处理集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说正在这里听课的体学生的集合所有整数的集合等等集合也常称为集族类集合即通常所谓的 掌握集合、元素的概念、表示法 熟练区分“”与“”的意义 1.2 集合的基本运算 在这一节中我们介绍集合的并、交、差三种基本运算，这三种运算的基本规律，以及它们与集合的包含关系之间的基本关联 定义
13、1.2.1 设 A与 B是两个集合 集合x|xA 或 xB称为集合 A与集合 B的并集或并，记作 AUB，读为 A并 B 集合x|xA 且xB称为集合 A与集合B的交集或交，记作 AB，读为 A交 B若 AB=，则称集合 A与集合 B无交或不相交；反之，若 AB，则称集合 A与集合 B有（非空的）交 集合x|xA 且 x B称为集合 A与集合 B的差集，记作 AB或 AB，读为 A差 B，或 A减 B 关于集合的并、交、差三种运算之间，有以下的基本规律 定理 1.2.1 设 A，B，C都是集合则以下等式成立：（1）幂等律 AA A AA=A （2）交换律 ABBA AB=BA 合运算关系映射以
14、及集合的基数等方面的知识至于选择公理只是稍稍提了一下进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论如果对集合的理论有进一步的需求们也无意使本章的内容构成一个完自我封闭的体系主要是我们没有打算重建数系而假定读者了解有关正整数整数有理数实数的基本知识以及其中的四则运算大小的比较和和实数理论中关于实数的完备性的论断任何由实数构成的集合而不另作逻辑上的处理集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说正在这里听课的体学生的集合所有整数的集合等等集合也常称为集族类集合即通常所谓的 （3）结
15、合律 (AB)CA(BC)(AB)CA(BC)（4）分配律 (AB)C(AC)(BC)(AB)C(AC)(BC)（5）DeMongan 律 A-(BUC)=（(A-B)(A-C)A-(BC)(A-B)U(A-C)集合的并、交、差三种运算与集合间的包含关系之间有着以下基本关联 定理 1.2.2 设 A，B是两个集合下列三个条件等价：（l）A B；（2）AB A；（3）AB B 定义 1.2.2 设 X是一个基础集对于 X的任何一个子集 A，我们称 XA为 A（相对于基础集 X而言）的补集或余集记作 我们应当提醒读者，补集 的定义与基础集的选取有关所以在研究某一个问题时，若用到补集这个概念，在整个
16、工作过程中基础集必须保持不变 定理 1.2.3 设 X是一个基础集若 A，B为 X的子集，则 合运算关系映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理只是稍稍提了一下进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论如果对集合的理论有进一步的需求们也无意使本章的内容构成一个完自我封闭的体系主要是我们没有打算重建数系而假定读者了解有关正整数整数有理数实数的基本知识以及其中的四则运算大小的比较和和实数理论中关于实数的完备性的论断任何由实数构成的集合而不另作逻辑上的处理集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的它指的是由某些具有某种共同特点的个体
17、构成的集体例如我们常说正在这里听课的体学生的集合所有整数的集合等等集合也常称为集族类集合即通常所谓的 以上证明均只须用到集合的各种定义,此处不证,略去.作业:熟记这两节的各种公式.掌握证明两个集合 A=B与 A B的基本方法（）1.3 关 系 我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数、次序、运算，以及等价等种种概念，它们的一个共同的特点在于给出了某些给定集合的元素之间的某种联系为了明确地定义它们，我们先定义“关系”，而为了定义关系，又必需先有两个集合的笛卡儿积这个概念 定义 1.3.1 设 X和 Y是两个集合集合 （x，y）|xX，yY 称为 X与 Y的笛卡儿积，记作 XY，读为X叉乘 Y其中(
18、x，y)是一个有序偶，x 称为（x，y）的第一个坐标，y 称为（x，y）的第二个坐标X称为 XY的第一个坐标集，Y称为 XY的第二个坐标集集合X与自身的笛卡儿积 XX称为 X的 2 重（笛卡儿）积，通常简单记作 有点儿不幸的是我们用于有序偶的记号和用于“开区间”的记号是一样的，有时容易混淆因此在可能发生混淆的情形下应当加以说明，以避免误解 合运算关系映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理只是稍稍提了一下进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论如果对集合的理论有进一步的需求们也无意使本章的内容构成一个完自我封闭的体系主要是我们没
19、有打算重建数系而假定读者了解有关正整数整数有理数实数的基本知识以及其中的四则运算大小的比较和和实数理论中关于实数的完备性的论断任何由实数构成的集合而不另作逻辑上的处理集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说正在这里听课的体学生的集合所有整数的集合等等集合也常称为集族类集合即通常所谓的 给定两个集合，通过取它们的笛卡儿积以得到一个新的集合，这个办法对于读者并不陌生以前学过的数学中通过实数集合构作复数集合，通过直线构作平面时，用的都是这个办法 我们应当注意，一般说来集合 X与集合 Y的笛卡儿积 XY完全不同于集合 Y与集合 X的笛卡儿
20、积 YX 定义 1.3.3 设 X，Y是两个集合 如果 R是 X与 Y的笛卡儿积 XY的一个子集，即 R XY，则称R是从 X到 Y的一个关系 定义 1.3.4 设 R是从集合 X到集合 Y的一个关系，即 R XY如果(x，y）R，则我们称 x 与 y 是 R相关的，并且记作 xRy如果 A X，则 Y的子集 yY|存在 xA使得 xRy 称为集合 A对于关系 R而言的象集，或者简单地称为集合 A的象集，或者称为集合 A的 R象，并且记作 R（A），R（X）称为关系 R的值域 关系的概念是十分广泛的读者很快便会看到，以前在另外的数学学科中学过的函数（映射），等价，序，运算等等概念都是关系的特例
21、这里有两个特别简单的从集合 X到集合 Y的关系，一个是 XY本身，另一个是空集 请读者自己对它们进行简单的考查 定义 1.3.5 设 R是从集合 X到集合 Y的一个关系，即 R XY这时笛卡儿积 YX的子集 （y，x）YX|xRy 合运算关系映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理只是稍稍提了一下进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论如果对集合的理论有进一步的需求们也无意使本章的内容构成一个完自我封闭的体系主要是我们没有打算重建数系而假定读者了解有关正整数整数有理数实数的基本知识以及其中的四则运算大小的比较和和实数理论中关于实
22、数的完备性的论断任何由实数构成的集合而不另作逻辑上的处理集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说正在这里听课的体学生的集合所有整数的集合等等集合也常称为集族类集合即通常所谓的是从集合 Y到集合 X的一个关系，我们称它为关系 R的逆，并且记作如果 B Y，X的子集（B）是集合 B的象,我们也常称它为集合 B对于关系 R而言的原象，或者集合 B的 R原象特别，关系的值域（Y）也称为关系 R的定义域 定义 1.3.6 设 R是从某个 X到集合 Y的一个关系，即 R XY，S是从集合 y 到集合 Z的一个关系，即 SYZ集合（x，z）XY
23、|存在 yY使得 xRy 并且 ySz 是笛卡儿积 XZ的一个子集，即从集合X到集合 Z的一个关系，此关系称为关系 R与关系 S 的复合或积，记作S R 定理 1.3.1 设 R是从集合 X到集合 Y的一个关系，S是从集合 Y到集合 Z的一个关系，T是从集合 Z到集合 U的一个关系则：证明(略)定理 1.3.2 设 R是从集合 X到集合 Y的一个关系，S是从某个 Y到集合 Z的一个关系则对于 X的任意两个子集 A和 B，我们有：（1）R（AB）R（A）R（B）；（2）R（AB）R（A）R（B）；（3）（S R）（A）S(R(A)证明(略)合运算关系映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理只是
24、稍稍提了一下进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论如果对集合的理论有进一步的需求们也无意使本章的内容构成一个完自我封闭的体系主要是我们没有打算重建数系而假定读者了解有关正整数整数有理数实数的基本知识以及其中的四则运算大小的比较和和实数理论中关于实数的完备性的论断任何由实数构成的集合而不另作逻辑上的处理集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说正在这里听课的体学生的集合所有整数的集合等等集合也常称为集族类集合即通常所谓的 在本节的最后我们要提到有限个集合的笛卡儿积的概念
25、，它是两个集合的笛卡儿积的概念的简单推广 定 义1.3.7 设是n 1个 集 合 集 合称为的笛卡儿积，并且记作或者其中为有次 序的 n 元素组，(i=1,2,n)称为n 元素组的第 i 个坐标，（i 1，2，n）称为笛卡儿积的第 i 个坐标集 n1 个集合 X的笛卡儿积 XXX 常简单地记作 n 个集合的笛卡儿积的概念读者必然也不会感到陌生，在线性代数中 n 维欧氏空间作为集合而言就是 n 个直线（作为集合而言）的笛卡儿积 需要提醒读者的是，如果你在给定的 n 个集合中交换了集合的次序，一般说来得到的笛卡儿积会是完全不同的集合至今我们并未定义“0 个集合的笛卡儿积”，此事将来再以某种方式补充
26、（参见9 1）作业:理解“关系”的概念,掌握“关系”与“映射”的异同,“映射”与“函数”的异同.(映射要求象惟一,关系没要求.函数要求定义域与值域是数域,而映射不一定)掌握运算乘积的概念与性质 掌握集合的笛卡儿积中元素的形式 合运算关系映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理只是稍稍提了一下进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论如果对集合的理论有进一步的需求们也无意使本章的内容构成一个完自我封闭的体系主要是我们没有打算重建数系而假定读者了解有关正整数整数有理数实数的基本知识以及其中的四则运算大小的比较和和实数理论中关于实数的完
27、备性的论断任何由实数构成的集合而不另作逻辑上的处理集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说正在这里听课的体学生的集合所有整数的集合等等集合也常称为集族类集合即通常所谓的1.4 等价关系 初等数论中的同余类的概念，群论中的商群的概念，乃至于解析几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的等价关系的概念在本书中我们将通过等价关系来定义拓扑空间的商空间 定义 1.4.1 设 X是一个集合 从集合 X到集合 X的一个关系将简称为集合 X中的一个关系集合 X中的关系（x，x）|xX称为恒同关系，或
28、恒同，对角线，记作（X）或 定义 1.4.2 设 R是集合 X中的一个关系.关系 R称为自反的，如果(X)R，即对于任何 xX，有 xRx；关系 R称为对称的，如果，即对于任何 x，yX，如果 xRy 则 yRx；关系 R 称为反对称的，如果，即对于任何 x，yX，xRy 和 yRx 不能同时成立；关系 R称为传递的，如果 R R R，即对于任何 x，y，zX，如果xRy，yRz，则有 xRz 集合 X 中的一个关系如果同时是自反、对称和传递的，则称为集合 X中的一个等价关系 容易验证集合 X 中的恒同关系（X）是自反、对称、传递的,因此是 X中的一个等价关系 集合 X的幂集P(X)中两个元素
29、（即集合 X的两个子集）之间的“相等关系”可以理解为集合P(X)P(X)的子集 （A，B）|A，BP(X)，A=B 合运算关系映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理只是稍稍提了一下进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论如果对集合的理论有进一步的需求们也无意使本章的内容构成一个完自我封闭的体系主要是我们没有打算重建数系而假定读者了解有关正整数整数有理数实数的基本知识以及其中的四则运算大小的比较和和实数理论中关于实数的完备性的论断任何由实数构成的集合而不另作逻辑上的处理集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的它指的是由某些
30、具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说正在这里听课的体学生的集合所有整数的集合等等集合也常称为集族类集合即通常所谓的 从定理 1.1.l中可见，它是自反、对称、传递的，因此是P（X）中的一个等价关系 集合 X的幂集P(X)中两个元素（即集合 X的两个子集）之间的“包含关系”可以理解为集合P(X）P(X)的子集 （A，B）|A，BP(X)，A B 根据定理 1.1.2可见，它是自反的、传递的，但容易知道它不是对称的，因此不是P(X)中的一个等价关系 集合 X的幂集P(X)中两个元素（即集合 X的两个子集）之间的“真子集关系”可以理解为集合P(X)P(X)的子集 (A，B)|A，BP(X)，
31、A B,AB 根据定理 1.1.3 可见，它是反对称的，传递的，但它不是自反的，因而不是P(X)中的一个等价关系 实数集合 R中有一个通常的小于关系，即 RR的子集 （x，y）|x，yR，xy 容易验证关系是反对称的，传递的，但不是自反的 设 p 是一个素数，我们在整数集合 Z中定义一个关系p 如下：=（x，y）ZZ|存在 nZ 使得 xy=np 关系常称为模 p 等价关系，容易验证模 p 等价关系是自反的，对称的，传递的，因此是 Z中的一个等价关系 定义 1.4.3 设 R是集合 X中的一个等价关系 集合 X中的两个点x，y，如果满足条件：xRy，则称 x 与 y 是 R等价的，或简称为等价
32、的；合运算关系映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理只是稍稍提了一下进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论如果对集合的理论有进一步的需求们也无意使本章的内容构成一个完自我封闭的体系主要是我们没有打算重建数系而假定读者了解有关正整数整数有理数实数的基本知识以及其中的四则运算大小的比较和和实数理论中关于实数的完备性的论断任何由实数构成的集合而不另作逻辑上的处理集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说正在这里听课的体学生的集合所有整数的集合等等集合也常称为集族类集合即
33、通常所谓的对于每一个 xX，集合X的子集：yX|xRy称为 x 的 R等价类或等价类，常记作或x，并且任何一个 y都称为 R等价类的一个代表元素；集族|xX称为集合 X相对于等价关系 R而言的商集，记作 XR 我们考虑整数集合 Z中的模 2 等价关系,易见，13 和 28 因此 1 与 3 是等价的，2 和 8 也是等价的整数 2 所属的等价类是所有偶数构成的集合，每一个偶数都可以叫做这个等价类的一个代表元素此外易见，商集 Z/有且仅有两个元素：一个是所有奇数构成的集合，另一个是所有偶数构成的集合 下面这个定理说明，给定了一个等价关系，等于说给定了一个分类的原则，把一个非空集合分割成一些非空的
34、两两无交的等价类，使得这集合的每一个元素都在某一个等价类中.定理 1.4.1 设 R是非空集合 X中的一个等价关系则：（1）如果 xX，则x，因而；（2）对于任意 x，yX，或者=，或者 证明（1）设 xX，由于R是自反的，所以 xRx，因此 x,（3）对于任意 x，yX，如果，设 zxy.此时有zRx,且zRy 由于 R是对称的，所以 xRz 又由于 R是传递的，所以 xRy 对于任何一个 t，有 tRx，由上述 xRy和 R的传递性可见 tRy，即 t这证明 合运算关系映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理只是稍稍提了一下进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之
35、中这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论如果对集合的理论有进一步的需求们也无意使本章的内容构成一个完自我封闭的体系主要是我们没有打算重建数系而假定读者了解有关正整数整数有理数实数的基本知识以及其中的四则运算大小的比较和和实数理论中关于实数的完备性的论断任何由实数构成的集合而不另作逻辑上的处理集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说正在这里听课的体学生的集合所有整数的集合等等集合也常称为集族类集合即通常所谓的 同理可证因此=(注意:要证或者或者,应从以下入手:否定掉一个,去证另一个)在初等数论中我们早就知道整数模（素数）p 的等价关
36、系将整数集合 Z分为互不相交的等价类，每一个等价类记作，称为整数 x 的模 p 同余类 让我们再回忆一下在解析几何学中定义自由向量的过程：首先将固定向量定义为平面（或 n 维欧氏空间）中的有序偶；然后在全体固定向量构成的集合（暂时记为 X）中定义一个关系，使得两个固定向量 x 和 y相关（即 xy）当且仅当 x 能通过平面（或 n 维欧氏空间）的一个平移与 y 重合 容易验证这个关系是 X中的一个等价关系 每一个等价类便称为一个自由向量 作业:熟练掌握等价关系,等价类的概念.掌握商集的概念.明确商集的构成 1.5 映射 数学分析中的函数概念，群论中的同态概念，线性代数中的线性变换概念等等都是读
37、者所熟知的概念这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的映射概念 合运算关系映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理只是稍稍提了一下进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论如果对集合的理论有进一步的需求们也无意使本章的内容构成一个完自我封闭的体系主要是我们没有打算重建数系而假定读者了解有关正整数整数有理数实数的基本知识以及其中的四则运算大小的比较和和实数理论中关于实数的完备性的论断任何由实数构成的集合而不另作逻辑上的处理集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说正
38、在这里听课的体学生的集合所有整数的集合等等集合也常称为集族类集合即通常所谓的 定义 1.5.1 设 F是从集合 X到集合 Y的一个关系 如果对于每一个 xX存在惟一的一个 yY使得 xFy，则称 F是从 X到 Y的一个映射，并且记作 F：XY换言之，F是一个映射，如果对于每一个 xX：（1）存在 yY，使得xFy；（2）如果对于Y有和，则 定义 1.5.2 设 X和 Y是两个集合，F：XY(读做F是从 X到 Y的一个映射)对于每一个 xX，使得xFy 的唯一的那个 yY称为 x 的象或值，记作 F（x）；对于每一个 yY，如果xX使得 xFy（即 y 是x 的象），则称 x 是 y 的一个原象
39、（注意：yY 可以没有原象，也可以有不止一个原象）由于映射本身便是关系，因此，如果 F 是从集合 X到集合 Y的一个映射，那么：（1）对于任何 A X，象 F（A）有定义，并且 F(A)=F(x)|xA （2）对于任何 B Y，原象（B）有定义，并且（B）=xX|F(x)B(注意:(x)与(x)的异同,前者不一定有意义,而后者总存在；前者表示元素，后者表示集合)（3）如果 Z也是一个集合并且 G：YZ，则关系的复合G F 作为一个从 X到 Z的关系有定义；（4）作为从 Y到 X的一个关系有定义，但一般说来不是一个从 Y到 X的映射(这要看 F是否是一一映射)；合运算关系映射以及集合的基数等方面
40、的知识至于选择公理只是稍稍提了一下进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论如果对集合的理论有进一步的需求们也无意使本章的内容构成一个完自我封闭的体系主要是我们没有打算重建数系而假定读者了解有关正整数整数有理数实数的基本知识以及其中的四则运算大小的比较和和实数理论中关于实数的完备性的论断任何由实数构成的集合而不另作逻辑上的处理集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说正在这里听课的体学生的集合所有整数的集合等等集合也常称为集族类集合即通常所谓的 （5）F的定义域有定义，并
41、且它就是 X；(意味着 X中的每个元素都必须有象)（6）F的值域有定义，并且它就是 F（X）(F(X)不一定充满 Y)定理 1.5.1 设 X，Y和 Z都是集合如果 F：XY和 G：YZ，则 G F：XZ；并且对于任何xX，有 G F（x）G(F(x)(这实际上是映射的积的本质)证明(略)(但要理解上式等号左右两边的不同含义,前者是两个映射的积（也是一个映射）作用在 x 上,后者是 F 先作用在 x 上,然后 G再作用在 F(x)上)今后我们常用小写字母 f，g，h，表示映射 定理 1.5.2 设 X和 Y是两个集合，f:XY如果 A，B Y 则 （1）（AB）（A）（B）；（2）（AB）（A
42、）（B）；（3）（A-B）（A）-（B）简言之，映射的原象保持集合的并，交，差运算 证明(略)定义 1.5.3 设 X和 Y是两个集合，XY 如果 Y中的每一个点都有原象（即 f 的值域为 Y，亦即 f（X）=Y），则称 f 是一个满射，或者称 f 为一个从 X到 Y上的映射；如果 X中不同的点的象是 Y中不同合运算关系映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理只是稍稍提了一下进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论如果对集合的理论有进一步的需求们也无意使本章的内容构成一个完自我封闭的体系主要是我们没有打算重建数系而假定读者了解有
43、关正整数整数有理数实数的基本知识以及其中的四则运算大小的比较和和实数理论中关于实数的完备性的论断任何由实数构成的集合而不另作逻辑上的处理集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说正在这里听课的体学生的集合所有整数的集合等等集合也常称为集族类集合即通常所谓的的点（即对于任何，如果，则有，则称 f是一个单射；如果 f 既是一个单射又是一个满射，则称 f 为一个既单且满的映射，或者一一映射 如果 f（X）是一个单点集，则称 f 是一个常值映射，并且当 f（X）=y 时，我们也说 f 是一个取常值 y 的映射 易见，集合 X中的恒同关系（X
44、）是从 X到 X的一个一一映射，我们也常称之为（集合 X 上的）恒同映射或恒同，有时也称之为单位映射，并且也常用记号或 i：XX来表示它根据定义易见，对于任何 xX，有i(x)=x 概言之，恒同映射便是把每一个点映为这个点自身的映射 由于下面的这个定理，一一映射也称为可逆映射 定理 1.5.3 设 X和 Y是两个集合又设 f:XY如果 f 是一个一一映射，则便是一个从 Y到 X的映射（因此我们可以写：YX），并且是既单且满的此外我们还有：和 证明(略)定理 1.5.4 设 X，Y 和 Z 都是集合，f:XY，g：YZ如果f和 g 都是单射，则 gof:XZ 也是单射；如果 f 和 g都是满射，
45、则 g f:XZ 也是满射因此，如果 f 和 g 都是一一映射，则 g f:XZ 也是一一映射 这个定理的证明留给读者 合运算关系映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理只是稍稍提了一下进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论如果对集合的理论有进一步的需求们也无意使本章的内容构成一个完自我封闭的体系主要是我们没有打算重建数系而假定读者了解有关正整数整数有理数实数的基本知识以及其中的四则运算大小的比较和和实数理论中关于实数的完备性的论断任何由实数构成的集合而不另作逻辑上的处理集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的它指的是由
46、某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说正在这里听课的体学生的集合所有整数的集合等等集合也常称为集族类集合即通常所谓的 定义1.5.4 设 X和 Y是两个集合，A是X的一个子集 映射 f:XY和 g：AY如果满足条件 g f 即对于任何 aA有 f（a）=g（a），则称 g 是 f 的限制，也称 f 是 g 的一个扩张，记作 特别地，恒同映射：XX在 X的子集 A上的限制：AX称为内射这时我们有对于任何 aA，(a)=a 将映射定义作为一种特别的关系，从理论上来说是十分清晰的 这样做的本意在于使得在我们的理论系统中除了“集合”和“元素”不再有任何未经定义的对象如果每一次定义一个映射都要
47、将这个映射写成它的定义域与值域的笛卡儿积的一个子集，这毕竟是件麻烦事；因此我们在定义映射时宁愿采用我们从前惯用的办法：为定义域中的每一个点指定值域中的一个点作为它的象以下我们定义往后经常要用到的两个映射作为例子 定义 1.5.5 设是 n0 个集合，1in从笛卡儿积 到它的第 i 个坐标集的投射（或称第 i 个投射）：X定义为对于每一个 定义 1.5.6 设 R是集合 X中的一个等价关系 从集合 X到它的商集 X/R的自然投射：p:XX/R 定义为对于每一个 xX，p（x）=作业:熟练掌握本节的所有定义与定理；注意定理 1.3.2(2)与定理 1.5.2 的区别；熟练记忆 P23习题 1.2
48、与定理 1.5.2 合运算关系映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理只是稍稍提了一下进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论如果对集合的理论有进一步的需求们也无意使本章的内容构成一个完自我封闭的体系主要是我们没有打算重建数系而假定读者了解有关正整数整数有理数实数的基本知识以及其中的四则运算大小的比较和和实数理论中关于实数的完备性的论断任何由实数构成的集合而不另作逻辑上的处理集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说正在这里听课的体学生的集合所有整数的集合等等集合也常
49、称为集族类集合即通常所谓的 1.6 集族及其运算 设 是一个集合如果对于每一个，指定了一个集合 A，我们就说给定了一个有标集族，或者在不至于引起混淆的情形下干脆说给定了一个集族，同时 称为（有标）集族的指标集 定理 1.6.2 设是一个非空的有标集族，A是一个集合则 （1）对于任何，（2）分配律：（3）DeMorgan 律：证明（略）如果集族满足条件：对于每一个，都是某一个集合 X的子集，这时我们称这个集族为集合 X的一个子集族 以下的两个定理讨论关系和映射与集族运算之间的关联 定理 1.6.3 设 R是从集合 X到集合 Y的一个关系，则对于集合 X的任何一个非空子集族，有 合运算关系映射以及
50、集合的基数等方面的知识至于选择公理只是稍稍提了一下进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中这里所介绍的集合论通常称为朴素的集合论如果对集合的理论有进一步的需求们也无意使本章的内容构成一个完自我封闭的体系主要是我们没有打算重建数系而假定读者了解有关正整数整数有理数实数的基本知识以及其中的四则运算大小的比较和和实数理论中关于实数的完备性的论断任何由实数构成的集合而不另作逻辑上的处理集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说正在这里听课的体学生的集合所有整数的集合等等集合也常称为集族类集合即通常所谓的 证明（略）