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1、椭圆、双曲线、抛物线综合测试题一 选择题 (本大题共12 小题, 每题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1 设双曲线2212yxm的一个焦点为(0, 2),则双曲线的离心率为( ). A 2 B 2 C 6 D 2 22 椭圆221167xy的左、右焦点分别为12,FF,一直线经过1F交椭圆于A、B两点,则2ABF的周长为()A 32 B 16 C 8 D 4 3 两个正数a、b的等差中项是52,等比中项是6,则椭圆22221xyab的离心率为 ()A 32B 133C 53D 134 设1F、2F是双曲线22124yx的两个焦点,P是双曲线上的一点,且
2、31|PF=42|PF,则12PF F的面积为()A 4 2B 8 3C 24 D 48 5 P是双曲线22916xy=1 的右支上一点, M、 N 分别是圆22(5)1xy和22(5)xy=4上的点,则|PMPN的最大值为()A6 B7 C8 D9 6 已知抛物线24xy上的动点P在x轴上的射影为点M,点(3,2)A,则|PAPM的最小值为()A 101B 102C 101D 1027 一动圆与两圆221xy和228120 xyx都外切,则动圆圆心的轨迹为()A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线8 若双曲线22221(0,0)xyabab的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则双曲线的离心率为()精
3、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页A 2B 3C 5D 2 9 抛物线2yx上到直线20 xy距离最近的点的坐标()A 3 5,2 4B (1,1)C 3 9,2 4D (2,4)10 已知c是椭圆22221xyab(0)ab的半焦距,则bca的取值范围()A (1,)B ( 2,)C (1, 2)D (1,211 方程2mxny0 与22mxny1(0,0,)mnmn表示的曲线在同一坐标系中图象可能是()12 若AB是抛物线22(0)ypx p的动弦,且|(2 )ABa ap,则AB的中点 M 到y轴的最近距离是()
4、A 12aB 12pC 1122apD 12a12p二 填空题 (本大题共4 个小题,每小题5 分,共 20 分. 把答案填写在题中横线上)13 设1F、2F分别是双曲线的左、右焦点,P是双曲线上一点,且12F PF=60o,12PF FS=123,离心率为2,则双曲线方程的标准方程为14 已知椭圆221xymn与双曲线221xypq(, ,)m n p qRmn,有共同的焦点1F、2F,点P是双曲线与椭圆的一个交点,则12|PFPF?= 15 已知抛物线22(0)xpy p上一点 A(0, 4)到其焦点的距离为174,则p= 16 已知双曲线2222xya=12a的两条渐近线的夹角为3,则双
5、曲线的离心率为三 解答题 (本大题共6 小题,共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 (10 分)求适合下列条件的双曲线的标准方程:yxo B yxo C yxo D yxo A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页 焦点在x轴上,虚轴长为12,离心率为54; 顶点间的距离为6,渐近线方程为32yx. 18 (12 分)在平面直角坐标系中,已知两点( 3,0)A及(3,0)B动点 Q 到点 A 的距离为10,线段 BQ 的垂直平分线交AQ 于点 P求|PAPB的值;写出点P的轨迹方程19 (12 分
6、)设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F,过右焦点2F且与x轴垂直的直线l与椭圆相交,其中一个交点为(2,1)M求椭圆的方程;设椭圆的一个顶点为(0,)Bb,直线2BF交椭圆于另一点N,求1F BN的面积20 (12 分)已知抛物线方程24xy,过点( , 4)P t作抛物线的两条切线PA、PB,切点为A、B求证:直线AB过定点(0, 4);求OAB(O为坐标原点)面积的最小值21 (12 分)已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F,点P在双曲线的右支上,且1|PF=3|2|PF求双曲线离心率e的取值范围,并写出e取得最大值时,双曲线的渐
7、近线方程;若点P的坐标为43(10,10)55,且12PFPF?uu u ruuu u r=0,求双曲线方程22 (12 分)已知O 为坐标原点,点F、T、M、1P满足OFuu u r=(1,0),( 1, )OTtuu u r,FMMTu uuu ruu u r,1PMu uu u rFTuu u r,1PTuuu rOFuuu r求当t变化时,点1P的轨迹方程;若2P是轨迹上不同于1P的另一点,且存在非零实数使得12FPFPuuu ruuu r,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页求证:1211|FPFPu uu
8、ruuu r=1. 参考答案1A 提示:根据题意得222cab=2m=4,m=2,222cabeaa= 222112ba=2故选 A2B 提示:2ABF的周长 =12|AFAF+12|BFBF=4a=16.故选 B3C 提示:根据题意得56abab,解得a3,b2,c=5,cea=534C 提示:P是双曲线上的一点,且31|PF=42|PF,1|PF2|PF=2,解得1|PF=8,2|PF=6,又12|F F=2c=10,12PF F是直角三角形,1 2PF FS=18 62=24.故选 C5 D 提示:由于两圆心恰为双曲线的焦点,|PM1|PF+1,|PN2|PF2,|PMPN1|PF+1(
9、2|PF2)=1|PF2|PF+3=2a+3=9. 6A 提示:设d为点P到准线1y的距离,F为抛物线的焦点,由抛物线的定义及数形结合得,|PAPM=d1+|PA=|PA+|PF1|AF1=101故选 A7C 提示:设圆221xy的圆心为(0,0)O,半径为1,圆228120 xyx的圆心为1( 4,0)O,O为动圆的圆心,r为动圆的半径,则1|O OO O=(2)(1)rr=1,所以根据双曲线的定义可知故选Cx y P M N O F1F22 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页8C 提 示 : 设 其 中 一
10、个 焦 点 为( ,0)F c, 一 条 渐 近 线 方 程 为byxa, 根 据 题 意 得2|1bcaba=2a,化简得2ba,eca=222aba=21ba=14=5故选 C9 B 提 示 : 设2( ,)P x x为 抛 物 线2yx上 任 意 一 点 , 则 点P到 直 线 的 距 离 为2|24 |5xxd=2|(1)3 |5x,当1x时,距离最小,即点P(1,1)故选 B10 D 提示:由于22222bcbcbcaa22222bcbca=2,则bca2,又bca,则bca1. 故选 D11 C 提示:椭圆与抛物线开口向左12 D 提示:设11(,)A xy,22(,)B xy,结
11、合抛物线的定义和相关性质,则AB的中点 M 到y轴的距离为122xx=|222ppAFBF=|2AFBFp,显然当AB过焦点时,其值最小,即为12a12p故选 D二 填空题13 221412xy提 示 : 设 双 曲 线 方 程 为22221xyab, 2cea, 2ca 12PF FS=123, 1|PF2|PF=48.22c21|PF+22|PF-21|PF2|PF12cosF PF,解得216c,2a=4,2b=12. 14 mp提 示 : 根 据 题 意 得1212| 2|2PFPFmPFPFp, 解 得1|PFmp,2|PFmp12| |PFPF?=mp15 12提示:利用抛物线的定
12、义可知4()2p=174,p=12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页16 2 33提示:根据题意得233a,6a,2 2c,cea2 33三 解答题17 解:因为焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为22221(0,0)xyabab,22221254abcbca,解得8a,6b,10c,双曲线的标准方程为2216436xy设以32yx为渐近线的双曲线的标准方程为2249xy,当0时, 24=6,解得94,此时所求的双曲线的标准方程为2218194xy;当0时, 29=6,解得1,此时所求的双曲线的标准方程为22194yx
13、18 解:因为线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点 P,|PB=|PQ,|PAPB=|PA+|PQ=|AQ=10;由知|PAPB=10(常数),又|PAPB=106=|AB,点P的轨迹是中心在原点,以,A B为焦点,长轴在x轴上的椭圆,其中210,26ac,所以椭圆的轨迹方程为2212516xy19 解:lx轴,2( 2,0)F,根据题意得22222112abab,解得2242ab,所求椭圆的方程为:22142xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页 由可知(0,2)B,直线2BF的方程为2yx,222142yxxy,解
14、得点N的纵坐标为23,1F BNS=12F F NS12FBFS=12(2)2223=8320 解:设切点11(,)A xy,22(,)B xy,又12yx,则切线PA的方程为:1111()2yyx xx,即1112yx xy;切线PB的方程为:2221()2yyxxx,即2212yx xy,又因为点( , 4)P t是切线PA、PB的交点,11142x ty,22142x ty,过A、B两点的直线方程为142txy,即1402txy,直线AB过定点(0,4) 由214024txyxy,解得2216xtx=0,122xxt,1216x xOABS=1214 |2xx=221212()4xxx
15、x=2464t16. 当且仅当0t时,OAB(O为坐标原点)面积的最小值21 解:1|PF2|PF=2a,1|PF=3|2|PF,1|PF=3a,2|PF=a,由题意得1|PF+2|PF12|F F,4a2c,ca2,又因为1e,双曲线离心率e的取值范围为(1,2故双曲线离心率的最大值为2. 12PFPF?uuu ruuu u r=0,21|PF+22|PF=24c,即22104ac,即2232ba,又因为点P43(10,10)55在双曲线上,22160902525ab=1,2216060aa=1,解得24a,26b,所求双曲线方程为;2222xyab=1.22 解 设1P ( , )x y,
16、 则 由FMMTu uu u ruuur得 点M是 线 段FT中 点 , (0, )2tM, 则1PMu uuu r=(,)2txy,又因为FTuuu r=( 2, ) t,1PTu uu r=( 1,)x ty,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页1PMuuuu rFTuuu r, 2()02txty,1PTuuu rOFuuu r,( 1)0()1xty?=0,即ty由 和消去参数得24yx证明:易知(1,0)F是抛物线24yx的焦点,由12FPFPuuu ru uu r,得F、1P、2P三点共线,即1P2P为过焦点F的弦当1P2P垂直于x轴时,结论显然成立;当1P2P不垂直于x轴时,设111(,)P xy,222(,)P xy,直线1P2P的方程为(1)yk x,24ykxkyx,整理得22222(2)0k xkxk,12xx2224kk,12x x1,1211|FPFPuu u ru uu r=121111xx=1212122()1xxx xxx=1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页