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1、概率知识点总结及题型汇总一、确定事件：包括必然事件和不可能事件1、在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件。必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是100%；如：从一包红球中，随便取出一个球，一定是红球。2、 在一定条件下不可能发生的事件， 叫做不可能事件。 不可能事件是指一定不能发生的事件，或者说发生的可能性是0，如：太阳从西边出来。这是不可能事件。3、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0 二、随机事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同一个随机事件发生的可能性的大小用概率来表
2、示。三、例题：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是随机事件，哪些是不可能事件，哪些是确定事件？ 一个玻璃杯从一座高楼的第10 层楼落到水泥地面上会摔破； 明天太阳从西方升起；掷一枚硬币，正面朝上； 某人买彩票，连续两次中奖； 今天天气不好，飞机会晚些到达解：必然事件是；随机事件是；不可能事件是确定事件是三、概率1、一般地，对于一个随机事件A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率，记为 P(A) （1） 一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。2、概率的求法：一般地，如果在一次试验
3、中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率为 P(A) = mn（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中 ,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中 ,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大， 则它的概率越接近 1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。（5）一个事件的概率取值： 0P（A）1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即 P（必然事件） 1 不可能事件的概率为0，即 P（不可能事件） 0 随机事件的概率：如果A
4、 为随机事件，则 0P（A）1 （6）可能性与概率的关系事件发生的可能性越大， 它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小， 则它的概率越接近0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页3、求概率的步骤：(1)列举出一次试验中的所有结果(n 个)；(2)找出其中事件 A 发生的结果 (m 个)；(3)运用公式求事件 A 的概率： P(A) = mn5、在求概率时，一定要是发生的可能性是相等的，即等可能性事件等可能性事件的两种特征：（1）出现的结果有限多个 ; （2）各结果发生的可能性相等；例 1：图 1 指针在转动过程中，转
5、到各区域的可能性相等，图3 中的第一个图，指针在转动过程中，转到各区域的可能性不相等，由上图可知，在求概率时，一定是出现的可能性相等，反映到图上来说，一定是等分的。例 2、下列事件哪些是等可能性事件？哪些不是？（1）抛掷一枚图钉，钉尖朝上或钉帽朝上或横卧。不是（2）某运动员射击一次中靶心或不中靶心。不是（3）从分别写有 1，3，5，7 中的一个数的四张卡片中任抽一张结果是1，或 3 或 5 或 7。是6、古典概率模型在一次实验中 ,可能出现的结果有限多个，每个基本事件出现的可能性相等。将具有以上两个特点的概率模型成为古典概率模型，简称古典概型。例题：（ 1）从标有数字 1，2，3，4，5 的
6、5 个小球（小球之间只有号码不同，其他均相同）中摸出一球，求摸出号码是2 的概率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页（2）从标有数字 1，2，2，3，4，5 的 6 个小球（小球之间只有号码不同，其他均相同）中摸出一球，求摸出号码是2 的概率此题考查概率的求法：如果一个试验有n 种等可能的结果，事件A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= mn，解题时注意对概率意义的理解. 在（1）这次摸球实验中，共有5 中可能的结果，事件A（摸出号码 2 这件事）包含其中的一种结果，那么摸出号码是2 的概率为
7、1/5. 在（2）这次摸球实验中，共有6 中可能的结果，事件A（摸出号码 2 这件事）包含其中的二种结果，那么摸出号码是2 的概率为 2/6=1/3.7、求概率的通用方法：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫列举法列举法包括枚举法、列表法、树状图法（1）枚举法（列举法）：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。（2）
8、列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。（3）列树形图法：当一个实验要涉及3 个或更多的因素（例如从3 个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。四、频率与概率1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率3、一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn会稳定在某个常数p 附近 ，那么，这个常数 p 就叫作事件 A 的概率 ，记为 P（A）=P 。五、概率公式中 m、n 之间的数量关系， P（A）的取值范围。
9、在概率公式 P(A) = mn中 m、n 取何值， m、n 之间的数量关系， P（A）的取值范围。0 mn, m、n 为自然数0 mn 1, 0P(A) 1. 当 m=n 时,A 为必然事件，概率P(A)=1，当 m=0 时,A 为不可能事件，概率P(A)=0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页0P(A) 1 六、几何概率1、如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。（1）几何概型的特点 : 1)试验中所有可能出现的结果(基本事件 )有无
10、限多个 . 2)每个基本事件出现的可能性相等. （2）在几何概型中 ,事件 A 的概率的计算公式如下 : 七、例题汇总（一） 确定三事件例 1 下列事件中， 哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是不确定事件？哪些是确定事件？，分析其发生概率的大小（1）抛掷一枚均匀的骰子， 6 点朝上；（2）367 人中有 2 人的出生日期相同；（3）1+32；（4）太阳从西边升起解析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可（1）抛掷一枚均匀的骰子， 1，2，3，4，5，6 点都有可能朝上，故6 点不一定朝上；（ 2）一年有 365（或 366）天，故 367 人中必然有 2 人的出生日期相同；（ 3
11、）1+3 肯定大于 2；（4）太阳不可能从西边升起由以上分析知：（1）是不确定事件，（2）（3）是必然事件，（4）是不可能事件（2）（3）（4）是确定事件发生概率的大小判断，首先需要理解必然事件、不可能事件、不确定事件的意义必然事件是指一定会发生的事件，发生的概率是1；不可能事件是指不可能发生的事件，发生的概率是0；不确定事件是指可能发生也可能不发生的事件，发生的概率介于0 和 1 之间例 2、下列事件属于必然事件的是（）A.打开电视，正在播放新闻B.我们班的同学将会有人成为航天员C.实数 a0，则 2a0 D.新疆的冬天不下雪解析： A 是随机事件，因为可能是播新闻也可能是其它电视节目；B
12、为随机事件，一个班有几十个学生当然有可能成为航天员；D 是不可能事件，因为新疆气温低，每年都会下雪故选C 例 3、（福建龙岩）下列事件：在足球赛中，弱队战胜强队；抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；任取两个正整数，其和大于1；长分别为 3、5、9 厘米的三条线段能围成一个三角形其中确定事件的个数是（）A1 B2 C3D4B 解析：是确定事件（二）概率意义的理解例 1、 某商场举办购物有奖活动， 在商场购满价值50元的商品可抽奖一次， 丽丽在商场购物共花费 120 元， 按规定抽了两张奖券， 结果其中一张中了奖， 能不能说商场的抽奖活动中奖率为50%？（面积或体积）面积或体积的区域长度试验的全部结果所
13、构成)(构成事件A的区域长度P(A)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页为什么？解析：因为中奖是不确定事件，而计算中奖率应该是以中奖的奖券数除以奖券的总数，但这些数据在本题中没有给出，所以不能计算出这次抽奖活动的中奖率，所以不能说商场的抽奖活动中奖率为50%. 点评：概率是在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定常数的附近摆动，显示一定的稳定性，它是大量试验的结论随机事件每次发生的结果是不可以预见的，但每次发生的概率是不变的例 2、下列说法正确的是（）A.某市“ 明天降雨的概率是75”
14、 ，表示明天有 75的时间会降雨B.随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上C.在一次抽奖活动中， “ 中奖的概率是1100” 表示抽奖 l00 次就一定会中奖D.在平面内，平行四边形的两条对角线一定相交解析：明天降雨的概率是75是说明明天有 75%的可能性会降雨，而不是说明天有75%的时间在下雨；抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5，说的是在做大量的抛一枚硬币的试验中，有一半的可能性出现正面朝上，而随机抛一格硬币落地后正面不一定朝上；抽奖活动中，中奖的概率为1100，指的是每抽奖一次都有1100的可能性中奖；故A、B、C 都错，因而选 D. （三） 利用简单枚举法求概率例 1 某小商店开展购物
15、摸奖活动，声明：购物时每消费2 元可获得一次摸奖机会，每次摸奖时，购物者从标有数字1，2，3，4，5 的 5 个小球（小球之间只有号码不同，其他均相同）中摸出一球，若号码是 2 就中奖，奖品为一张精美图片（1）摸奖一次得到一张精美图片的概率是多少？（2）一次，小聪购买了10 元钱的物品，前4 次摸奖都没有摸中，他想：“ 第 5 次摸奖我一定能摸中” ，你同意他的想法吗？说说你的想法解析： （1）每次摸奖时，有5 种情况，只有摸到号码是2 的球才中奖，于是得到一张精美图片的概率是 P=15；（2）不同意，因为小聪第5 次得到一张精美图片的概率仍是15，所以他第 5 次不一定中奖点评：此题考查概率
16、的求法：如果一个试验有n 种等可能的结果，事件A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= mn，解题时注意对概率意义的理解. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页例 2、随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么这粒豆子停在黑色方格中的概率是解析：1、这粒豆子落在每一个方格中的可能性是一样的，因此这粒豆子停在方格中的可能性共有 12 种，黑色方格的可能性有四种，所以黑色方格中的概率等于311242、 黑色方格中的概率等于黑色方格的面积与所有方格的面积比设每个方格的面积是
17、1， 则 P （这粒豆子停在黑色方格） =31124点评：概率的大小与面积大小有关. 事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图形面积例 3 、掷两枚硬币，求下列事件的概率（1）两枚硬币正面全部朝上；（2）两枚硬币反面全部朝上（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。解：用枚举法（列举法）列出可能的结果是：正正、正反、反正、反反。所有结果共有4 种。并且这四个结果出现的可能性相等。用列表法：解 :其中一枚硬币为 A,另一枚硬币为 B,则所有可能结果如表所示: 正反正(正,正) (正,反) 反(反,正) (反,反) （1）所有的结果中，满足两枚硬币全部正面朝上（
18、记为事件A）的结果只有一个，即“正正”所以 P（A）=1/4 （2）所有的结果中，满足两枚硬币全部反面朝上（记为事件B）的结果只有一个，即“反反”所以 P（B）=1/4 （3）所有的结果中， 满足一枚硬币正面朝上， 一枚硬币反面朝上 （记为事件 C）的结果共有 2 个，即“正反”“反正”所以P（C）=2/4=1/2 例 4、一口袋中装有四根长度分别为1cm，3cm，4cm 和 5cm 的细木棒，小明手中有一根长度为3cm 的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，回答下列问题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6
19、 页，共 20 页（1）求这三根细木棒能构成三角形的概率；（2）求这三根细木棒能构成直角三角形的概率；（3）求这三根细木棒能构成等腰三角形的概率解析：从四根木棒中任选两根，共有以下六种情况：（1，3）、（1，4）、（1，5）、（3，4）、（3，5）、（4，5），其中与 3cm长的线段构成三角形的有（1，3，3）、（3，3，4）、（3，3，5）、（3，4，5）四种；构成直角三角形的有（3，4，5）一种；构成等腰三角形的有（1，3，3）、（ 3，3，4）、（ 3，3，5）三种，所以有：（1）P（构成三角形） =4263；（2）P（构成直角三角形） =16；（3）P（构成等腰三角形） =3612（四
20、） 列表法求概率当试验涉及两个因素 (例如两个转盘 )并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有的结果，通常采用“列表法”。例 1、如图 ,袋中装有两个完全相同的球,分别标有数字“ 1”和“ 2”.小明设计了一个游戏 :游戏者每次从袋中随机摸出一个球,并自由转动图中的转盘(转盘被分成相等的三个扇形).游戏规则是 :如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2,那么游戏者获胜 .求游戏者获胜的概率 .解:每次游戏时 ,所有可能出现的结果如下: 1 2 3 1 （1，1）（1, 2）（1, 3）2 （2, 1）（2, 2）（2, 3）总共有 6 种结果 ,每种结果出现的可能性相同,而所摸球上
21、的数字与转盘转出的数字之和为2 的结果只有一种 :(1,1),因此游戏者获胜的概率为1/6. 例 2、如图，甲转盘的三个等分区域分别写有数字1、2、3，乙转盘的四个等分区域分别写有数字 4、5、6、7。现分别转动两个转盘，求指针所指数字之和为偶数的概率。解：列表4 5 6 7 1 （1,4）（1,5）（1,6）（1,7）2 （2,4）（2,5）（2,6）（2,7）3 （3,4）（3,5）（3,6）（3,7）共有 12种不同结果，每种结果出现的可能性相同，其中数字和为偶数的有【6 】 种1 2 3 甲乙1 2 3 4 5 6 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
22、 - - - - - -第 7 页，共 20 页P（数字和为偶数） =6/12=1/2 例 3、例、同时掷两个质地均匀的骰子,计算下列事件的概率 : (1)两个骰子的点数相同(2)两个骰子点数之和是9 (3)至少有一个骰子的点数为2 分析：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法。解: 两枚骰子分别记为第1 枚和第 2 枚.列出所有可能的结果：1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3
23、 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 由表可看出，同时投掷两个骰子，可能出现的结果有36 种，它们出现的可能性相等。（1）满足两个骰子点数相同（记为事件A）的结果有 6 种，P(A)=6/36=1/6 (2) 满足两个骰子点数和为9（记为事件 B）的结果有 4 种，P(B)=4/36=1/9 (3) 满足至少有一个骰子的点数为2（记为
24、事件 C）的结果有 11种，P(C)=11/36 思考题：如果把刚刚这个例题中的“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”,所得的结果有变化吗 ? 没有变化（五）树形图法求概率当一个实验要涉及3 个或更多的因素（例如从3 个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。1、现有一项“抖空竹”的表演已知有塑料、木质两种空竹，甲、乙、丙三名学生各自随机选用其中的一种 空竹求甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹的 概率解：甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹为事件 M 塑料 A 木质 B 方法 1：方法 2：A A A B A B B B A A B A B B AAA ，A
25、AB ， ABA ， ABB ，BAA ，BAB ， BBA ， BBB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页2、甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状相同的卡片若干，甲盒中装有2张卡片，分别写有字母 A和 B；乙盒中装有 3 张卡片，分别写有字母C 、D和 E；丙盒中装有 2 张卡片，分别写有字母 H和 I ；现要从 3 个盒中各随机取出一张卡片求（1）取出的 3 张卡片中恰好有 1 个，2 个，3 个写有元音字母的概率各是多少？（2）取出的 3 张卡片上全是辅音字母的概率是多少？解：根据题意，我们可以画出如下“树
26、形图”：由树形图可以得到，所有可能出现的结果有12 个，这些结果出现的可能性相等（1）只有一个元音字母的结果有5 个，所以125一个元音P；有两个元音字母的结果有4 个，所以31124个元音两P；全部为元音字母的结果有1 个，所以61122个元音三P；（2）全是辅音字母的结果有2 个，所以61122音辅三个P3、小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：图1 是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形。游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A 转出了红色，转盘 B 转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色。（1）利用树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果。（2
27、）游戏者获胜的概率是多少？解析：（ 1）所有可能出现的结果可用表1 或图 2 表示。MP4182MP4182A B 甲盒C D E 乙盒H I 丙盒甲乙丙A C H I D H I E H I B C H I D H I E H I 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页表 1 B A 黄蓝绿红（红，黄）（红，蓝）（红，绿）白（白，黄）（白，蓝）（白，绿）（2）所有可能出现的结果共有6 种，配成紫色的结果只有1 种，故游戏获胜的概率为61。这道题为两步试验的随机事件发生的概率计算，采用的方法是树状图法和列表法。接下来仍
28、然以“配紫色”为主要情景进行游戏：，让同学们进一步经历用树状图法和列表法解决概率问题的过程。用图 3 所示的转盘进行“配紫色”游戏。小颖制作了图 4，并据此求出游戏者获胜的概率为21。小亮则先把左边转盘的红色区域等分成2 份，分别记作“红色1”“红色 2”，然后制作了表2，据此求出游戏者获胜的概率也是21。红色蓝色红色 1 （红 1，红） （红 1，蓝）红色 2 （红 2，红） （红 2，蓝）蓝色（蓝，红）（蓝，蓝）你认为谁做得对？说说你的理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页解析：因为左边的转盘中红色部分和蓝
29、色部分的面积不同，因而指针落在这两个区域的可能性不同，故小颖的做法不正确，而小亮的方法则是解决这一类问题的一种常用方法。4、小明与父母从广州乘火车回北京，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是多少？解：为了方便起见，我们不妨设三个坐位号为1，2，3。可以看出坐在2 号位上，则为中间位置。画出树状图如图4 或图 5 或图 6。从图中可以看出，不论小明第几个坐，所有的可能能是6 种，而小明坐 2 号位置的情况有2 种（记为事件A），所以小明恰好坐在父母中间的概率是P （A）= （六）概率与方程1、（2011广西防城港23，8 分）一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑
30、、白两种颜色的围棋，其中白色棋子3 个（分别用白 A、白 B、白 C 表示），若从中任意摸出一个棋子，是白色棋子的概率为43（1）求纸盒中黑色棋子的个数；（2）第一次任意摸出一个棋子（不放回），第二次再摸出一个棋子，请用树状图或列表的方法，求两次摸到相同颜色棋子的概率解答： （1）34331 黑色棋子有 1 个（2）(黑， C）(黑， B）(C，黑）(B，黑）(黑， A）(C， B）(C，A）(B，C）(B，A）(A，黑）(A，C）(A， B）结果第二摸第一摸黑白A白B白C白C白B白A黑共 12 种情况，有 6 种情况两次摸到相同颜色棋子，所以概率为21另外，本题还可以用树状图解答如下：开始父
31、亲母亲1 2 3 2 1 3 3 1 2 图 5 小明3 2 3 1 2 1 开始母亲父亲1 2 3 2 1 3 3 1 2 图 6 小明3 2 3 1 2 1 2163精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页（黑，白 C）（黑，白 B）（白 C，黑）（白 C，白 A）（黑，白A）（白 C，白 B）（白 B，黑）（白 B，白 C）（白 B，白 A）（白 A，黑）（白 A，白 C）（白 A，白 B）结果：第二摸：第一摸：开始白C白B黑白 B黑白C黑白A白A白 A白B黑白C白C白 B白A因为由上面树状图可知：共12 种情况
32、，有 6 种情况两次摸到相同颜色棋子，所以概率为212、湘潭是我家，爱护靠大家”自我市开展整治“六乱”行动以来，我市学生更加自觉遵守交通规则某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为（ ） ABCD解：遇到绿灯的概率为1-1/3-1/9=5/9 【点评】所有情况的概率之和为1，用 1 减去其它情况的概率就是遇到绿灯的概率。3、（2014?武威模拟）袋子里有10 个红球和若干个蓝球，小明从袋子里有放回地任意摸球，共摸 100 次，其中摸到红球次数是25 次，则袋子里蓝球大约有（）A.
33、20 B.30 C.40 D.50 【解析】共摸 100 次，其中摸到红球次数是25 次，摸到红球的概率为= ，袋子里有 10 个红球和若干个蓝球，设篮球有x 个，则= ， 解得： x=30，故选 B4、（2010铁岭） 将红、黄、蓝三种除颜色不同外，其余都相同的球，放在不透明的纸箱里，其中红球 4 个，蓝球 3 个，黄球若干个 .若每次只摸一球 (摸出后放回 )，摸出红球的概率是52，则黄球有 _个. 解析：设黄球有 x 个，则摸出红球的概率为52344x，解得 x3 5、（2010 湖南衡阳） 在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外都相同，其中红色卡片2 张，黄色卡
34、片 1 张，现从中任意抽出一张是红色卡片的概率为21. 试求箱子里蓝色卡片的张数. 第一次随机抽取一张卡片(不放回 )，第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表格的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率. 分析 :（1）设箱子里蓝色卡片的张数为x 张，由21(红色）P,则x12221，解关于 x 的方程即可求出箱子里蓝色卡片的张数.（2）要注意题目中的条件，第一次抽取后不放回. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页解：（ 1）设箱子里有x 张蓝色卡片，则有21122x，解得： x=1. （2）从树状图图可知，一共有1
35、2 种结果，两次抽到的都是红色的有两种（两次抽到都是红色卡片）611226、（2010 湖北随州） 甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q 分别表示两人各投掷一次的点数.（1）求满足关于 x的方程02qpxx有实数解的概率 . （2）求（ 1）中方程有两个相同实数解的概率. 分析:通过列表或画树状图，可以求出p、q 的各种可能的取值；方程02qpxx有实数解的条件是判别式qp420 ；方程02qpxx有两个相同实数解的条件是判别式qp420. 解:通过列表或画树状图可得，两人投掷骰子后p、q 的取值共有36 种等可能情况，其中满足qp420 的有12qp、13qp、14qp、15qp、16qp
36、、23qp、24qp、25qp、26qp、34qp、35qp、36qp、44qp、45qp、46qp、55qp、56qp、65qp、66qp以上19 种情况，方程02qpxx有实数解的概率为3619；其中满足qp42 0 的有12qp、44qp以上2 种情况，方程02qpxx有两个相同实数解的概率为181362. 7、（ 2010 茂名）已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100 个从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、 0.3（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；（2）假设向纸箱中再放进红色球x个，这时从纸箱中任意取出一个球是红色球的概率为0.5，试求
37、x的值解： (1)由已知得纸箱中蓝色球的个数为：50)3 .02.01(100（个）(2) 方法一：根据题意得：5.010020 xx，解得：60 x（个）方法二：由已知得红色球20 个、黄色球30 个，蓝色球50 个，为使任意取出一个球是红色球的概率为0.5，所以纸箱中红色球的个数等于黄色球与蓝色球个数之和，得：x+20=30+50，解得：60 x（个）（七）几何概率1、在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示，转盘被平均分成 16 份），并规定：顾客每购买100 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么
38、顾客就可以分别获得50 元、30 元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物，如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券 10 元。1红2红黄蓝2红1红黄蓝黄蓝1红2红蓝1红2红黄第一次抽卡片：第二次抽卡片：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页（1）求每转动一次转盘所获50 元购物券的概率（ 2）求每转动一次转盘所获30 元购物券的概率（3）求每转动一次转盘所获20 元购物券的概率（ 4）求每转动一次转盘所获购物券的概率（5）求每转动一次转盘不获购物券的概率（6）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；（7
39、）如果你在该商场消费125 元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由。解：(1)每转动一次转盘所获50 元购物券的概率为： 1/16 （2）每转动一次转盘所获30 元购物券的概率为： 2/16=1/8 （3）每转动一次转盘所获20 元购物券的概率为： 4/16=1/4 （4）每转动一次转盘所获购物券的概率：1/16+2/16+4/16=7/16 （5）每转动一次转盘不获购物券的概率：1-7/16=9/16(或者是空白区域除以16）（6） 50 +30 +20 =11.875 （元）；（7）11.875元10 元，选择转转盘。2、某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图9所示
40、），并规定：顾客每购买100 元的商品，可转动两次转盘，当转盘停止后，看指针指向的数获奖方法是：指针两次都指向8 时，顾客可以获得100元购物券；指针两次中有一次指向8 时，顾客可以获得50 元购物券；指针两次都不指向8，且所指两数之和又大于 8 时，顾客可以获得所指两数之和与8 的差的 10 倍的购物券（如，获40 元购物券）；其余情况无奖（1）试用树状图或列表的方法，给出两次转动转盘指针所有可能指向的结果；（2）试求顾客可获得100 元购物券的概率；（3）试求顾客无奖的概率解：（ 1）列表得：2 4 6 8 2 （2，2）（2，4）（2，6）（2，8）4 （4，2）（4，4）（4，6）（4
41、，8）6 （6，2）（6，4）（6，6）（6，8）8 （8，2）（8，4）（8，6）（8，8）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页（2）因为两次转动转盘指针所有可能的结果共有16 种，其中两次指针指向8 的情况有一种，所以所求概率为 1/16 （3）因为两次转动转盘指针所有可能的结果共有16 种，其中无奖的情况有6 种，所以所求概率为 6/16=3/8 3、公共汽车在 05 分钟内随机地到达车站，求汽车在13 分钟之间到达的概率。分析：将 05 分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段，则13 分钟是这一线
42、段中的 2 个单位长度。解：设“汽车在 13 分钟之间到达”为事件A，则 P(A)=(3-1)/5=2/5 所以“汽车在 13 分钟之间到达”的概率为2/5 4、 取一根长为 3 米的绳子 ,拉直后在任意位置剪断 ,那么剪得两段的长都不少于1 米的概率有多大 ? 解：记“剪得两段绳子长都不小于1m”为事件 A，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件 A 发生。由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事件A 发生的概率 P（A）=1/3。5、在等腰直角三角形ABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M，求 AM 小于 AC 的概率。分析：点 M 随机地落在线段 AB 上，故线段 AB
43、 为区域 D。当点 M 位于图中的线段 AC上时，AM AC，故线段 AC即为区域 d。解：在 AB 上截取 AC=AC，于是P（AM AC）=P（AM AC）=AC/AB=AC/AB= 2/2则 AM 小于 AC 的概率为 2/26、取一个边长为 2a的正方形及其内切圆 (如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.解:记“豆子落入圆内”为事件A,则P(A)=圆的面积 /正方形面积 =a2/4a2=/4 7、在边长为 a 的正方形 ABCD 内随机取一点 P，求：（1）APB 90的概率（2）APB90的概率解：如图，以正方形的边 AB为直径作圆，根据直径所对的圆周角为直角，则
44、有当点P在圆周上时, APB=90 ，而点 P在圆内时 , APB 90，当点 P在圆外时 , APB 90设 AB=a,则正方形的面积为a2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页所以， APB90 的概率p=(*(a/2) 2/2) a2=/8 APB 90的概率为 1- /8 8、一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m ，宽 20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸小于2m的概率解：设事件 A“海豚嘴尖离岸边小于2m ”（见阴影部分）P（A）（ 3020-2616）3020=0.31 9、射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分
45、环，从外向内为白色、 黑色、蓝色、 红色，靶心为金色 金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为 12.2cm，运动员在 70m外射假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中靶心的概率有多大？P(A)=（1/4 12.22）（ 1/4 1222）=0.0110、某人午觉醒来 , 发现表停了 , 他打开收音机 , 想听电台整点报时 , 求他等待的时间不多于10 分钟的概率 . 解： 设 A=等待的时间不多于10 分钟. 我们所关心的事件 A恰好是打开收音机的时刻位于50,60时间段内 , 因此由几何概型的求概率的公式得P(A)=10/60=1/6（八）设
46、计公平的游戏规则例 1 有一个小正方体，正方体的每个面分别标有1，2，3，4，5，6 这六个数字现在有甲、乙两位同学做游戏，游戏规则是：任意掷出正方体后，如果朝上的数字是6，甲是胜利者；如果朝上的数字不是 6，乙是胜利者你认为这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？为什么？如果不公平，你打算怎样修改才能使游戏规则对甲、乙双方公平？解析： 看游戏是否公平，主要看双方是否具有均等的获胜机会，如果机会是均等的，那就公平，否则，则不公平；可以改变已知条件，使游戏对双方获得的机会是均等的就可以了（1）这个游戏不公平因为正方体的每个面分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字，其中数字6 只有 1 个，也就是甲胜利
47、的概率是16；不是 6 的数字有 5 个，也就是说乙胜利的概率是56，双方的胜30m 20m 2 m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页利的机会不是均等的，所以说这个游戏不公平. （2）可以把游戏规则改为：任意掷出正方体后，如果朝上的数字是奇数（1，3，5），甲是胜利者；如果朝上的数字是偶数（2，4，6），乙是胜利者，按这样的游戏规则就公平了点评：本题考查游戏公平性的判断，判断游戏规则是否公平，就要计算每个参与者取胜的概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平. （九）概率的实际应用例 1 某同学午觉醒来发现钟表停
48、了， 他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间不超过15分钟的概率是（）A.21B.31C.41D.51解析： 电台每小时报时一次时间，此人打开收音机时处于两次报时之间例如在13：00 至 14：00 之间，而且取各点的可能性一样要等待的时间不超过15分钟，只有当他打开收音机的时间处于13：45至 14：00之间才有可能，因此相应的概率应是41本题选 C点评：对于一个随机事件来说，它发生可能性大小的度量是由它们自身决定的，并且是客观存在的，就如同一块土地有面积一样. 概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件自身的一个属性误区点拨一、基本概念的理解有误例 1 有下列说法：随机事件A 发
49、生的概率是频率的稳定值；任意事件A 发生的概率 P（A）满足 0P（A）1；若事件 A 发生的概率为 0.000 001，则事件 A 是不可能事件其中正确的有（）A0 个B1 个 C2 个D3 个错解：选 D. 剖析：本题致错原因是不理解一些基本概念.频率是较少数据统计的结果， 是一种具体的趋势和规律在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加， 这种摆动幅度越来越小， 这个常数叫做这个事件的概率 随机事件 A 发生的概率是频率的稳定值，正确；由于必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率大于0 小于 1，所以任意事件 A 发
50、生的概率 P （A）满足 0P （A）1，错误；若事件 A 发生的概率为 0.000 001，则事件 A 发生的可能性很小，但也有可能发生，错误. 正解： 选 B.二、错误理解概率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页例 2 某同学掷一枚硬币，结果是一连9 次都掷出正面朝上，请问他第10 次掷出硬币时出现正面朝上的概率为（）A小于12B大于12C12D不能确定错解：选 B.剖析：无论哪一次抛掷硬币，都有2 种情况，即正面、反面，与第几次抛掷硬币无关，故第10次掷出硬币时出现正面朝上的概率为12正解： 选 C三、求概率