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1、一、确定大事：包括必定大事和不行能大事1 、在肯定条件下必定要发生的大事,叫做必定大事；必定大事是指肯定能发生的大事,或者说发生的可能性是 100%；如：从一包红球中,任凭取出一个球,肯定是红球；2 、在肯定条件下不行能发生的大事, 叫做不行能大事； 不行能大事是指肯定不能发生的大事, 或者说发生的可能性是0,如：太阳从西边出来；这是不行能大事；3 、必定大事的概率为 1,不行能大事的概率为 0二、随机大事在肯定条件下可能发生也可能不发生的大事,叫做随机大事；一般地,随机大事发生的可能性是有大小的,不同的随机大事发生的可能性的大小有可能不同 一个随机大事发生的可能性的大小用概率来表示；三、例题
2、：指出以下大事中,哪些是必定大事,哪些是随机大事,哪些是不行能大事,哪些是确定大事？ 一个玻璃杯从一座高楼的第 10 层楼落到水泥地面上会摔破； 明天太阳从西方升起；掷一枚硬币,正面朝上； 某人买彩票,连续两次中奖； 今日天气不好,飞机会晚些到达解：必定大事是；随机大事是；不行能大事是确定大事是 三、概率1、一般地,对于一个随机大事 A ,把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机大事A 发生的概率,记为 PA（1）一个大事在多次试验中发生的可能性, 反映这个可能性大小的数值叫做这个大事发生的概率；（ 2）概率指的是大事发生的可能性大小的的一个数值；2、概率的求法：一般地,假如在一次试验中,有n
3、种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,大事 A 包含其中的 m种结果,那么大事 A发生的概率为 PA =mn（1）一般地,全部情形的总概率之和为1； （2）在一次试验中 , 可能显现的结果有限多个 .（3） 在一次试验中 , 各种结果发生的可能性相等 .（4） 概率从数量上刻画了一个随机大事发生的可能性的大小,大事发生的可能性越大, 就它的概率越接近 1；反之,大事发生的可能性越小,就它的概率越接近0；（5） 一个大事的概率取值： 0P（A） 1当这个大事为必定大事时,必定大事的概率为1,即 P（必定大事） 1不行能大事的概率为 0,即 P（不行能大事） 0随机大事的概率：假如 A 为随机
4、大事,就 0 P（ A） 1（6） 可能性与概率的关系大事发生的可能性越大, 它的概率越接近于 1,大事发生的可能性越小, 就它的概率越接近 03、求概率的步骤：(1) 列举出一次试验中的全部结果 n 个 ；(2) 找出其中大事 A 发生的结果 m 个 ；(3) 运用公式求大事 A 的概率： PA =mn5、在求概率时,肯定要是发生的可能性是相等的,即等可能性大事等可能性大事的两种特点：（1）显现的结果有限多个 ;（2）各结果发生的可能性相等；例 1：图 1 指针在转动过程中,转到各区域的可能性相等,图3 中的第一个图, 指针在转动过程中,转到各区域的可能性不相等,由上图可知,在求概率时,肯定
5、是显现的可能性相等,反映到图上来说,肯定是等分的；例 2、以下大事哪些是等可能性大事？哪些不是？（1） 抛掷一枚图钉,钉尖朝上或钉帽朝上或横卧；不是（2） 某运动员射击一次中靶心或不中靶心；不是（3） 从分别写有 1,3,5,7 中的一个数的四张卡片中任抽一张结果是1,或 3 或 5 或 7；是6、古典概率模型在一次试验中 , 可能显现的结果有限多个, 每个基本领件显现的可能性相等； 将具有以上两个特点的概率模型成为古典概率模型,简称古典概型；例题：（ 1）从标有数字 1,2,3,4, 5 的 5 个小球（小球之间只有号码不同,其他均相同）中摸出一球,求摸出号码是 2 的概率（2） 从标有数字
6、 1,2,2, 3, 4,5 的 6 个小球（小球之间只有号码不同,其他均相同）中摸出一球,求摸出号码是 2 的概率此题考查概率的求法：假如一个试验有n 种等可能的结果,大事 A 包含其中的 m种结果,那么事件 A 的概率 P（A）=m,解题时留意对概率意义的懂得. n在（1）这次摸球试验中,共有 5 中可能的结果,大事 A（摸出号码 2 这件事）包含其中的一种结果,那么摸出号码是 2 的概率为 1/5.在（2）这次摸球试验中,共有 6 中可能的结果,大事 A（摸出号码 2 这件事）包含其中的二种结果,那么摸出号码是 2 的概率为 2/6=1/3.7、求概率的通用方法：在一次试验中,假如可能显
7、现的结果只有有限个,且各种结果显现的可能性大小相等,那么我们可以通过列举试验结果的方法,求出随机大事发生的概率,这种求概率的方法叫列举法列举法包括枚举法、列表法、树状图法（1） 枚举法（列举法）：通常在一次大事中可能发生的结果比较少时,我们可以把全部可能产生的结果全部列举出来,并且各种结果显现的可能性相等时使用；等可能性大事的概率可以用列举法而求得；但是我们可以通过用列表法和树形图法来帮助枚举法；（2） 列表法：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）,并且可能显现的结果数目较多时,为不重不漏地列出全部可能的结果时使用；（3） 列树形图法：当一个试验要涉及 3 个或更多的因素（例如从 3 个
8、口袋中取球）时,列表就不便利了,为不重不漏地列出全部可能的结果时使用；四、频率与概率1 、频数：在多次试验中,某个大事显现的次数叫频数2 、频率：某个大事显现的次数与试验总次数的比,叫做这个大事显现的频率3、一般地,在大量重复试验中,假如大事A 发生的频率 mn会稳固在某个常数 p 邻近 ,那么,这个常数 p 就叫作大事 A 的概率 ,记为 P（A）=P ；五、概率公式中 m、n 之间的数量关系, P（A）的取值范畴；在概率公式 PA =m 中 m、n 取何值, m、n 之间的数量关系, P（A）的取值范畴；n0 mn,m、n 为自然数0 m n 1,0PA1.当 m=n时,A 为必定大事,概
9、率 PA=1, 当 m=0时,A 为不行能大事,概率 PA=0. 0PA 1六、几何概率1、假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度（面积或体积）成比例,就称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型；（1） 几何概型的特点 :1 试验中全部可能显现的结果 基本领件 有无限多个 . 2每个基本领件显现的可能性相等 .（2） 在几何概型中 , 大事 A 的概率的运算公式如下 :七、例题汇总（一） 确定三大事例 1 以下大事中, 哪些是不行能大事？哪些是必定大事？哪些是不确定大事？哪些是确定大事？,分析其发生概率的大小（1）抛掷一枚匀称的骰子, 6 点朝上；（2）367 人中有 2 人的诞
10、生日期相同；（3）1+3 2；（ 4）太阳从西边升起解析：依据大事发生的可能性大小判定相应大事的类型即可（1）抛掷一枚匀称的骰子, 1, 2,3,4,5,6 点都有可能朝上,故 6 点不肯定朝上；（ 2）一年有 365（或 366）天,故 367 人中必定有 2 人的诞生日期相同； （3）1+3 确定大于 2；（4）太阳不行能从西边升起由以上分析知：（1）是不确定大事,（ 2）（ 3）是必定大事,（ 4）是不行能大事（2）（ 3）（ 4）是确定大事发生概率的大小判定,第一需要懂得必定大事、不行能大事、不确定大事的意义必定大事是指肯定会发生的大事,发生的概率是1；不行能大事是指不行能发生的大事,
11、发生的概率是0； 不确定大事是指可能发生也可能不发生的大事,发生的概率介于0 和 1 之间例 2、以下大事属于必定大事的是（）A.打开电视,正在播放新闻B. 我们班的同学将会有人成为航天员C.实数 a0,就 2a 0D. 新疆的冬天不下雪解析： A是随机大事,由于可能是播新闻也可能是其它电视节目；B 为随机大事,一个班有几十个同学当然有可能成为航天员； D是不行能大事,由于新疆气温低,每年都会下雪应选C例 3、（福建龙岩）以下大事：在足球赛中,弱队战胜强队；抛掷一枚硬币,落地后正 面朝上；任取两个正整数,其和大于1；长分别为 3、5、9 厘米的三条线段能围成一个三角形其中确定大事的个数是（）A
12、BCD B解析：是确定大事（二）概率意义的懂得例 1、 某商场举办购物有奖活动, 在商场购满价值 50 元的商品可抽奖一次, 丽丽在商场购物共花费 120 元,按规定抽了两张奖券, 结果其中一张中了奖, 能不能说商场的抽奖活动中奖率为50%？ 为什么？解析： 由于中奖是不确定大事,而运算中奖率应当是以中奖的奖券数除以奖券的总数,但这些数据在此题中没有给出,所以不能运算出这次抽奖活动的中奖率,所以不能说商场的抽奖活动中奖率为50%.点评：概率是在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个大事显现的频率,总在一个固定常数的邻近摇摆,显示肯定的稳固性,它是大量试验的结论随机大事每次发生的结果是不行以
13、预见的,但每次发生的概率是不变的例 2、以下说法正确选项（ ）A. 某市“明天降雨的概率是 75”,表示明天有 75的时间会降雨B. 随机抛掷一枚匀称的硬币,落地后正面肯定朝上C. 在一次抽奖活动中,“中奖的概率是1100 ”表示抽奖 l00 次就肯定会中奖D. 在平面内,平行四边形的两条对角线肯定相交解析：明天降雨的概率是75是说明明天有 75%的可能性会降雨,而不是说明天有75%的时间在下雨；抛一枚硬币正面朝上的概率是,说的是在做大量的抛一枚硬币的试验中,有一半的可能性显现正面朝上,而随机抛一格硬币落地后正面不肯定朝上；抽奖活动中,中奖的概率为1100,指的是每抽奖一次都有 1100的可能
14、性中奖；故 A、B、C 都错,因而选 D.（三） 利用简洁枚举法求概率例 1 某小商店开展购物摸奖活动,声明：购物时每消费2 元可获得一次摸奖机会,每次摸奖时,购物者从标有数字 1,2,3, 4, 5 的 5 个小球（小球之间只有号码不同,其他均相同）中摸出一球,如号码是 2 就中奖,奖品为一张精致图片（1） 摸奖一次得到一张精致图片的概率是多少？（2） 一次,小聪购买了 10 元钱的物品,前 4 次摸奖都没有摸中,他想：“第 5 次摸奖我肯定能摸中”,你同意他的想法吗？说说你的想法解析： （1）每次摸奖时,有 5 种情形,只有摸到号码是 2 的球才中奖,于是得到一张精致图片1的概率是 P=5
15、；（2）不同意,由于小聪第 5 次得到一张精致图片的概率仍是15,所以他第 5 次不肯定中奖点评：此题考查概率的求法：假如一个试验有n 种等可能的结果,大事 A包含其中的 m种结果,那么大事 A 的概率 P（A）=m,解题时留意对概率意义的懂得. n例 2、随便地抛一粒豆子,恰好落在图中的方格中（每个方格除颜色外完全一样）,那么这粒豆子停在黑色方格中的概率是解析： 1、这粒豆子落在每一个方格中的可能性是一样的,因此这粒豆子停在方格中的可能性共有 12 种,黑色方格的可能性有四种,所以黑色方格中的概率等于411232、黑色方格中的概率等于黑色方格的面积与全部方格的面积比设每个方格的面积是 1,就
16、 P（这粒豆子停在黑色方格） = 41 123点评：概率的大小与面积大小有关 . 大事发生的概率等于此大事全部可能结果所组成的图形面积除以全部可能结果组成的图形面积例 3 、掷两枚硬币,求以下大事的概率（1）两枚硬币正面全部朝上；（ 2）两枚硬币反面全部朝上（3） ）一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上；解：用枚举法（列举法）列出可能的结果是：正正、正反、反正、反反；全部结果共有4 种；并且这四个结果显现的可能性相等；用列表法：解 : 其中一枚硬币为 A, 另一枚硬币为 B, 就全部可能结果如表所示 :正反正 正, 正 正, 反反 反, 正 反, 反（1） ）全部的结果中,满意两枚硬币全部正面朝
17、上（记为大事A）的结果只有一个,即“正正”所以 P（A）=1/4（2） ）全部的结果中,满意两枚硬币全部反面朝上（记为大事B）的结果只有一个,即“反反”所以 P（B）=1/4（3） ）全部的结果中, 满意一枚硬币正面朝上, 一枚硬币反面朝上 （记为大事 C）的结果共有 2 个,即“正反”“反正”所以 P（C）=2/4=1/213例 4、一口袋中装有四根长度分别为 1cm,3cm,4cm和 5cm的细木棒, 小明手中有一根长度为 3cm2的细木棒,现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起,回答以下问题：（1） 求这三根细木棒能构成三角形的概率；（2） 求这三根细木棒能构成直角三角形的
18、概率；（3） 求这三根细木棒能构成等腰三角形的概率解析：从四根木棒中任选两根,共有以下六种情形：（1,3）、（1,4）、（ 1,5）、（ 3,4）、（3,5）、（4,5）,其中与 3cm长的线段构成三角形的有（ 1,3,3）、（3,3,4）、（3,3,5）、（3,4,5）四种；构成直角三角形的有（3,4,5）一种；构成等腰三角形的有（1,3,3）、（ 3, 3,4）、（ 3, 3, 5）三种,所以有：421（1）P（构成三角形） = 63 ；（2）P（构成直角三角形） = 6 ；31（3）P（构成等腰三角形） = 62 （四） 列表法求概率当试验涉及两个因素 例如两个转盘 并且可能显现的结果数
19、目较多时, 为不重不漏地列出全部的结果,通常采纳“列表法”；例 1、如图, 袋中装有两个完全相同的球 , 分别标有数字“ 1”和“ 2”. 小明设计了一个嬉戏 : 嬉戏者每次从袋中随机摸出一个球 , 并自由转动图中的转盘 转盘被分成相等的三个扇形. 嬉戏规章是 : 假如所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2, 那么嬉戏者获胜 . 求嬉戏者获胜的概率 .解: 每次嬉戏时 , 全部可能显现的结果如下 :1231（1,1）（ 1,2）（ 1, 3）2（2, 1）（ 2,2）（ 2, 3）总共有 6 种结果 , 每种结果显现的可能性相同 , 而所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2 的结果只有一种 :
20、1,1,因此嬉戏者获胜的概率为 1/6.例 2、如图,甲转盘的三个等分区域分别写有数字1、2、3,乙转盘的四个等分区域分别写有数字 4、5、6、7；现分别转动两个转盘,求指针所指数字之和为偶数的概率；解：列表45671（1,4 ）（ 1,5 ）（ 1,6 ）（1,7 ）2（2,4 ）（ 2,5 ）（ 2,6 ）（2,7 ）3（3,4 ）（ 3,5 ）（ 3,6 ）（3,7 ）1245乙7甲63共有 12 种不同结果,每种结果显现的可能性相同,其中数字和为偶数的有【6】 种P（数字和为偶数） =6/12=1/2例 3、例、同时掷两个质地匀称的骰子 , 运算以下大事的概率 :(1) 两个骰子的点数
21、相同(2) 两个骰子点数之和是 9(3) 至少有一个骰子的点数为 2分析：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能显现的结果数目较多时,为不重不漏地列出全部可能结果,通常采纳列表法；解:两枚骰子分别记为第1 枚和第 2 枚. 列出全部可能的结果：12345611,12,13,14,15,16,121,22,23,24,25,26,231,32,33,34,35,36,341,42,43,44,45,46,451,52,53,54,55,56,561,62,63,64,65,66,6由表可看出,同时投掷两个骰子,可能显现的结果有36 种,它们显现的可能性相等；（1）满意两个骰子点数相同
22、（记为大事A）的结果有 6 种, PA=6/36=1/6(2) 满意两个骰子点数和为 9（记为大事 B）的结果有 4 种, PB=4/36=1/9(3) 满意至少有一个骰子的点数为2（记为大事 C）的结果有 11 种, PC=11/36摸索题：假如把刚刚这个例题中的“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”, 所得的结果有变化吗 .没有变化（五）树形图法求概率当一个试验要涉及 3 个或更多的因素（例如从3 个口袋中取球）时,列表就不便利了,为不重不漏地列出全部可能的结果时使用；1、现有一项“抖空竹”的表演已知有塑料、木质两种空竹,甲、乙、丙三名同学各自随机选用其中的一种 空竹求甲、乙、丙三名同
23、学恰好挑选同一种空竹的概率解：甲、乙、丙三名同学恰好挑选同一种空竹为大事 M 塑料 A木质 B方法 1：方法 2：AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB.ABABABABAB ABAB2、甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、外形相同的卡片如干,甲盒中装有 2 张卡片,分别写有字母 A 和 B；乙盒中装有 3 张卡片,分别写有字母 C、D 和 E；丙盒中装有 2 张卡片,分别写有字母 H和 I ；现要从 3 个盒中各随机取出一张卡片求（1） ）取出的 3 张卡片中恰好有 1 个, 2 个, 3 个写有元音字母的概率各是多少？（2） ）取出的 3 张卡片上全是辅音
24、字母的概率是多少？ABCDEHI甲盒乙盒丙盒解：依据题意,我们可以画出如下“树形图”：AB甲乙C丙HIDECHIHIHIDEHIHI由树形图可以得到,全部可能显现的结果有12 个,这些结果显现的可能性相等（1） ）只有一个元音字母的结果有 5 个,所以P 一个元音5 ；12有两个元音字母的结果有 4 个,所以P 两个元音41 ；123全部为元音字母的结果有 1 个,所以P 三个元音21 ；126（2） ）全是辅音字母的结果有 2 个,所以P 三个辅音21 1263、小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”的嬉戏：图1 是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的几个扇形；嬉戏者同时转动两个转
25、盘,假如转盘A 转出了红色,转盘 B 转出了蓝色,那么他就赢了,由于红色和蓝色在一起配成了紫色；（1） 利用树状图或列表的方法表示嬉戏全部可能显现的结果；（2）嬉戏者获胜的概率是多少？解析：（ 1）全部可能显现的结果可用表1 或图 2 表示；表 1B黄蓝绿A红（红,黄）（红,蓝）（红,绿）白（白,黄）（白,蓝）（白,绿）（2）全部可能显现的结果共有 6 种,配成紫色的结果只有 1 种,故嬉戏获胜的概率为1 ；6这道题为两步试验的随机大事发生的概率运算,采纳的方法是树状图法和列表法；接下来仍旧以“配紫色”为主要情形进行嬉戏：,让同学们进一步经受用树状图法和列表法解决概率问题的过程；用图 3 所示
26、的转盘进行“配紫色”嬉戏；小颖制作了图 4,并据此求出嬉戏者获胜的概率为1 ；2小亮就先把左边转盘的红色区域等分成2 份,分别记作“红色 1”“红色 2”,然后制作了表2,据此求出嬉戏者获胜的概率也是1 ；2红色 蓝色红色 1（红 1,红） （红 1,蓝） 红色 2（红 2,红） （红 2,蓝） 蓝色 （蓝,红） （蓝,蓝）你认为谁做得对？说说你的理由；解析：由于左边的转盘中红色部分和蓝色部分的面积不同,因而指针落在这两个区域的可能性不同,故小颖的做法不正确,而小亮的方法就是解决这一类问题的一种常用方法；4、小明与父母从广州乘火车回北京,他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位,那么小明恰好坐在
27、父母中间的概率是多少？解：为了便利起见,我们不妨设三个坐位号为1, 2,3；可以看出坐在 2 号位上,就为中间位置；画出树状图如图4 或图 5 或图 6；从图中可以看出,不论小明第开头几个坐,全部的可能能是 6 种,而父亲12小明坐 2 号位置的情形有 2 种（记为大事 A）,所以小明恰好坐在父母亲 2 31 3母中间的概率是P（ A） =开头母亲123父亲2 31 31 231 2小明323121图5小明 32 31 21图 6（六）概率与方程1、（2022 广西防城港 23 ,8 分）一个不透亮的纸盒中装有大小相同的黑、白两种颜色的围棋,其中白色棋子 3 个（分别用白 A、白 B、白 C表
28、示）,如从中任意摸出一个棋子,是白色棋子的概率为3 （ 1）求纸盒中黑色棋子的个数；4（2） 第一次任意摸出一个棋子（不放回）,其次次再摸出一个棋子,请用树状图或列表的方法,求两次摸到相同颜色棋子的概率解答： （1） 3（2）3 31黑色棋子有 1 个4共 12 种情形,有 6 种情形两次摸到相同颜色棋子,所以概率为1 2另外,此题仍可以用树状图解答如下：由于由上面树状图可知：共 12 种情形,有 6 种情形两次摸到相同颜色棋子,所以概率为1 22、湘潭是我家,爱惜靠大家”自我市开展整治“六乱”行动以来,我市同学更加自觉遵守交通规章某校同学小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口,该十字路口
29、有红、黄、绿三色交通信号灯, 他在路口遇到红灯的概率为, 遇到黄灯的概率为, 那么他遇到绿灯的概率为 （ ）A. BCD 解：遇到绿灯的概率为 1-1/3-1/9=5/9【点评】全部情形的概率之和为1,用 1 减去其它情形的概率就是遇到绿灯的概率；3 、（ 2022.武威模拟）袋子里有 10 个红球和如干个蓝球,小明从袋子里有放回地任意摸球, 共摸 100 次,其中摸到红球次数是25 次,就袋子里蓝球大约有（）【解析】共摸 100 次,其中摸到红球次数是 25 次,摸到红球的概率为 =,袋子里有 10 个红球和如干个蓝球,设篮球有x 个,就=, 解得： x=30,应选 B4 、（2022 铁岭
30、） 将红、黄、蓝三种除颜色不同外,其余都相同的球,放在不透亮的纸箱里,其中红球 4 个,蓝球 3 个,黄球如干个 . 如每次只摸一球 摸出后放回 ,摸出红球的概率是2 ,就5黄球有个.解析：设黄球有 x 个,就摸出红球的概率为443x2 ,解得 x 355、（ 2022 湖南衡阳） 在不透亮的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的卡片,这些卡片除颜色外都相同,其中红色卡片 2 张,黄色卡片 1 张,现从中任意抽出一张是红色卡片的概率为1 .2试求箱子里蓝色卡片的张数 .第一次随机抽取一张卡片 不放回 ,其次次再随机抽取一张,请用画树状图或列表格的方法,求两次抽到的都是红色卡片的概率.分析 : （ 1）
31、设箱子里蓝色卡片的张数为x 张,由11P红色）, 就22221x,解关于 x 的方程即可求出箱子里蓝色卡片的张数 . （ 2）要留意题目中的条件,第一次抽取后不放回.解：（ 1）设箱子里有x 张蓝色卡片,就有（ 2）221x1 ,解得： x=1.2从树状图图可知,一共有12 种结果,两次抽到的都是红色的有两种 （两次抽到都是红色卡片）211266 、（ 2022 湖北随州） 甲、乙两同学投掷一枚骰子,用字母p、q 分别表示两人各投掷一次的点数. （1）求满意关于 x 的方程 x 2pxq0 有实数解的概率 .（ 2）求（ 1）中方程有两个相同实数解的概率 .分析: 通过列表或画树状图,可以求出
32、p、q 的各种可能的取值；方程x 2pxq0 有实数解的条件是判别式 p 24q 0；方程 x 2pxq0 有两个相同实数解的条件是判别式p 24q 0.解: 通过列表或画树状图可得,两人投掷骰子后p、q 的取值共有 36 种等可能情形,其中满意p24q 0的有p 2p、q 1q3p4p、1q1q5p6p3p4p、1q1q2q2q5p6p4、2q2q3p 5p、q 3q6p4p、3q4q5p6p、4 q4q5 p6p5p、5 q5q6q6 以上 19 种情形,方程6x2pxq0 有实数解的概率为19 ；其中满意 p 2364q 0 的有p 2p、q 1q4 以上 2 种情形,方程4x2pxq0
33、 有两个相同实数解的概率为21 .36187、（ 2022 茂名）已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100 个从纸箱中任意摸出一球,摸到红色球、黄色球的概率分别是、（ 1）试求出纸箱中蓝色球的个数；（ 2）假设向纸箱中再放进红色球x 个,这时从纸箱中任意取出一个球是红色球的概率为,试求x 的值解： 1 由已知得纸箱中蓝色球的个数为：10010.20.350 （个）2方法一：依据题意得：20x100x0.5 ,解得： x60 （个）方法二：由已知得红色球20 个、黄色球 30 个,蓝色球 50 个,为使任意取出一个球是红色球的概率为,所以纸箱中红色球的个数等于黄色球与蓝
34、色球个数之和,得：x+20=30+50,解得： x（七）几何概率60 （个）1、在一次促销活动中,某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘（如下列图,转盘 被平均分成 16 份）,并规定：顾客每购买 100 元的商品,就能获得一次转动转盘的机会,假如转盘停止后,指针正好对准红色、黄色、绿色区域,那么顾客就可以分别获得50 元、30 元、20 元的购物券,凭购物券可以在该商场连续购物,假如顾客不情愿转转盘,那么可以直接获得购物券 10 元；（ 1）求每转动一次转盘所获 50 元购物券的概率（ 2）求每转动一次转盘所获 30 元购物券的概率（ 3）求每转动一次转盘所获 20 元购物券的概率
35、（ 4）求每转动一次转盘所获购物券的概率（ 5）求每转动一次转盘不获购物券的概率（ 6）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；（ 7）假如你在该商场消费125 元,你会挑选转转盘仍是直接获得购物券？说明理由；解： 1 每转动一次转盘所获 50 元购物券的概率为： 1/ 16（2） ）每转动一次转盘所获30 元购物券的概率为： 2/16=1/8（3） ）每转动一次转盘所获20 元购物券的概率为： 4/16=1/4（ 4）每转动一次转盘所获购物券的概率：1/16+2/16+4/16=7/16（ 5）每转动一次转盘不获购物券的概率：1-7/16=9/16或者是空白区域除以 16）（ 6）50 +3
36、0 +20 =（元）； （ 7）元 10 元, 挑选转转盘；2、某商场为了吸引顾客, 设立了一个可以自由转动的转盘（如图 9 所示） ,并规定： 顾客每购买 100 元的商品, 可转动两次转盘,当转盘停止后,看指针指向的数获奖方法是：指针两次都指向8 时,顾客可以获得100 元购物券；指针两次中有一次指向8 时,顾客可以获得50 元购物券；指针两次都不指向8,且所指两数之和又大于 8 时,顾客可以获得所指两数之和与8 的差的 10 倍的购物券（如,获40 元购物券）；其余情形无奖（ 1）试用树状图或列表的方法,给出两次转动转盘指针全部可能指向的结果；（ 2）试求顾客可获得100 元购物券的概率
37、；（ 3）试求顾客无奖的概率2468（2,2）（2,4）（ 2, 6）（ 2, 8）（4,2）（4,4）（ 4, 6）（ 4, 8）（6,2）（6,4）（ 6, 6）（ 6, 8）（8,2）（8,4）（ 8, 6）（ 8, 8）解：（ 1）列表得：2468（2） ）由于两次转动转盘指针全部可能的结果共有16 种,其中两次指针指向 8 的情形有一种,所以所求概率为 1/16（3） ）由于两次转动转盘指针全部可能的结果共有16 种,其中无奖的情形有 6 种,所以所求概率为 6/16=3/83、公共汽车在 0 5 分钟内随机地到达车站,求汽车在13 分钟之间到达的概率；分析：将 05 分钟这段时间看
38、作是一段长度为5 个单位长度的线段,就 13 分钟是这一线段中的 2 个单位长度；解：设“汽车在 13 分钟之间到达”为大事A,就 PA=3-1/5=2/5所以“汽车在 13 分钟之间到达”的概率为 2/54、取一根长为 3 米的绳子 , 拉直后在任意位置剪断 , 那么剪得两段的长都不少于1 米的概率有多大.解：记“剪得两段绳子长都不小于1m”为大事 A,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,大事 A发生；由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一,所以大事 A 发生的概率 P（ A）=1/3 ；5、在等腰直角三角形 ABC中,在斜边 AB上任取一点 M,求 AM小于 AC的概率；分析：点
39、 M随机地落在线段 AB上,故线段 AB为区域 D；当点 M位于图中的线段 AC上时, AM AC,故线段 AC即为区域 d；解： 在 AB上截取 AC =AC,于是P（ AMAC）=P（ AMAC） =AC/AB=AC/AB=2/2就 AM小于 AC的概率为 2/230m20m6、取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆 如图, 随机地向正方形内丢一粒豆子 , 求豆子落入圆内的概率.2 m解: 记“豆子落入圆内”为大事 A, 就 PA=圆的面积 / 正方形面积 = a2/4a2= /47、在边长为 a 的正方形 ABCD内随机取一点 P,求：（ 1）APB 90 的概率（ 2）APB90的概率
40、解： 如图, 以正方形的边 AB为直径作圆,依据直径所对的圆周角为直角,就有当点P在圆周上时, APB=90,而点 P 在圆内时 , APB90,当点 P 在圆外时 , APB 90设 AB=a,就正方形的面积为 a2所以, APB 90的概率 p= *a/22/2 a2=/8APB90的概率为 1- /88、一海豚在水池中自由游弋,水池为长30m,宽 20m的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸小于2m的概率解：设大事 A“海豚嘴尖离岸边小于 2m”（见阴影部分） P（ A）（ 3020-26 16） 3020=9、射箭竞赛的箭靶涂有五个彩色得分环, 从外向内为白色、 黑色、蓝色、 红色,靶心为金色
41、金色靶心叫“黄心”；奥运会的竞赛靶面直径为122cm,靶心直径为,运动员在 70m外射假设射箭都能中靶,且射中靶面内任意一点都是等可能的,那么射中靶心的概率有多大？PA=（1/4 ）（ 1/4 1222）=10、某人午觉醒来 , 发觉表停了 , 他打开收音机 , 想听电台整点报时 , 求他等待的时间不多于10 分钟的概率 .解：设 A=等待的时间不多于 10 分钟. 我们所关怀的大事 A恰好是打开收音机的时刻位于 50,60时间段内 , 因此由几何概型的求概率的公式得PA=10/60=1/6（八） 设计公正的嬉戏规章例 1 有一个小正方体,正方体的每个面分别标有 1,2,3,4,5,6 这六个数字现在有甲、乙两位同学做嬉戏,嬉戏规章是：任意掷出正方体后,假如朝上的数字是 6,甲是成功者；假如朝上的数字不是 6,乙是成功者你认为这个嬉戏规章对甲、乙双方公正吗？为什么？假如不公正,你准备怎样修改才能使嬉戏规章对甲、乙双方公正？解析： 看嬉戏是否公正,主要看双方是否具有均等的获胜机会,假如机会是均等的,那就公正, 否就,就不公正；可以转变已知条件,使嬉戏对双方获得的机会是均等的就可以了（1） 这个嬉戏不公正由于正方体的每个面分别标有1,2, 3, 4, 5, 6 这六个数字,其中数字6 只