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1、武汉理工大学考试试题纸（ 第 1 份卷）课程名称 线性代数专业班级 2005 级本科题号一二三四五六七八九十总分题分12 12 40 12 12 12 100 备注 : 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一单项选择题（每小题3 分，共 12 分）1. 设BA,均为 n阶矩阵，且222()2ABAABB ，则必有 _ ；(A)EB(B)BAAB(C)EA(D)BA2. 设向量组321,线性无关 , 向量组1234,线性相关 , 则以下命题中成立的是 _ ；(A) 1一定能由432,线性表示(B)2一定能由431,线性表示(C) 4一定能由321,线性表示(D)3一定能由421,
2、线性表示3. 设21,是三元线性方程组bAx的两个不同的解，且()2R A，则Axb的通解为 x_ ；(A)1122kk+122(B)1212()2k(C) 11212()kk(D)12221()kk4. 已知(1, ,1)Tk是矩阵211121112A的特征向量，则k_ ；(A) 1 或 2(B)-1 或-2(C) -1 或 2(D) 1 或-2二填空题（每小题3 分，共 12 分）1. 101210325_ ；2. 如果 A 是 3 阶可逆矩阵，互换A 的第一、第二行，得矩阵B ,且2001023111A，则1B=_ ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
3、 - - - - -第 1 页，共 48 页3. 设向量123(1 ,1,1) ,(2,0, ) ,(1,3,2) ,TTTa若123,线性相关，则 a=_；4. 已知 3 阶方阵 A 的特征值为 1、-1、2，则矩阵2AE的特征值为 _ ；三解答题（每小题8 分，共 40 分）1. 计算行列式11101101(2)10110111nDn；2. 设 3 阶方阵BA，满足方程EBABA2，试求矩阵 B，其中101020201A；3. 设 A 为三阶矩阵且13A，求1*(3)2AA；4. 求向量组1234(1, 1,2,4) ,(3,0,7,14) ,(0,3,1,2) ,(1 , 1,2,0)T
4、TTT的一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示；5. 已知三阶实对称矩阵A 的三个特征值为1230,2，且对应于特征值为0 的特征向量为1(1 ,0, 1)T，求矩阵 A.四(12 分) 设线性方程组为123123123304235xxxxxa xbxxx，问： a、b分别取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解. 五 （12 分）设二次型),(321xxxf=323121222xxxxxx由正交变换xPy可化为标准形2322212yyyf. 求的值及正交矩阵 P，并判断该二次型的正定性.六证明题（每小题6 分，共 12 分）1. 设向量组123,线性
5、无关 ,且1123，2123，3123. 试证明向量组123,线性无关 .2. 若方阵 A、B 满足2,AEBBB且. 证明 A 可逆，并求1A(用 A 的多项式表示 ). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 48 页武 汉 理 工 大 学 教 务 处试题标准答案及评分标准用纸课程名称 :线性代数 （A 卷）一、选择题（每小题3 分，共 12 分）1.B 2.C 3.B 4.D二、填空题（每小题 3 分，共 12分）1.2；2.113021002； 3.a=1；4. 2,2,5；（注：本小题每个数字为一分，错一个则减一分）三
6、、解答题（每小题8 分，共 40 分）1. 解：从第二列起，将其后各列加到第一列，有：1(1)1110111011011101(1)1011101111111111cnnnnDnnn121(1)(2)(1)12200010010(1)01001111( 1)( 1)(1)( 1)(1)nnnnrrrrrrn nnnnnnn4 分注：若采用其他方法计算出正确结果也应给满分，其正确的步骤也相应给分。2. 由题，有EABEA)(22 分且2202030360,402AE故2()AE可逆。2 分在等式左右两边左乘21()AE得21() ()BAEAE2 分11001001/ 2()0100102001
7、00AE3.解：2 分2 分2 分2 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 48 页111111311322312133313*()AAAA AAAAA2 分1133,AA,上式3113392 分注：若前面所有步骤正确，最后计算出现符号错误，扣一分。4. 解 ： 令 矩 阵123413011031(,)271241420A， 并 通 过 初 等 行 变 化 化 成 最 简 形 ， 有 ：130110301031011027120001414200000Ar4 分故向量组 A 的的一个最大无关组为124,，2 分且3123。2
8、 分5.解：因为实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量是正交的，设特征值为2 时所对应的特征向量为123(,) ,Txx xx则有：113,0,0 xxx即2 分其基础解系为231,0,1,0,1,0,TT若矩阵 A 相似与对角矩阵022，则相似变换矩阵为123110,001110P，2分求得11/ 201/ 21/ 201/ 2010P，2 分2 分2 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 48 页由1102,2PAPAPP得101020101注：本题也可使用参数法求解，即：设111213122223132333aaaAaa
9、aaaa, 2 分由题意有1112131222231323331100 011aaaaaaaaa2 分得111312231333;aaaaaa，故矩阵111211122212111211aaaAaaaaaa, 由特征值为2 得20,A2AE22代入得a，2 分由特征多项式为2(2)AE，比较系数得11121;0aa故 A=1010201012 分四 (共 12 分)解：线性方程组的系数矩阵为：13114,213Aa增广矩阵为：13101310,1401121350021rA bababab4 分故（ 1）当2,1,ab 方程组无解；1 分(2) 当2a 时，方程组有唯一解；1分（3）当2,1,
10、ab方程组有无穷解；2 分当2,1,ab 时，原增广矩阵为13101023,1421011121350000rA b2 分2 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 48 页其等价方程组为：1323231xxxx，故其通解为：12323(,)11 ,10Txx xxccR2 分注：本题也可采用如下方法判断方程组有唯一解：系数行列式为：5(2)Aa，故当2a 时，方程组有唯一解；若 a=-2 时，代入原方程组进行化简，其计算步骤和评分标准同上。五 （共 12 分）解：f的矩阵011101110A，有特征值2, 1321故12 分
11、当1时，解方程组()0,AE x得方程组的基础解系为：0111，1012, 2 分正交单位化，有：011211，211612； 3 分当2时，解方程组(2 )0,AE x得方程组的基础解系为：1113, 单位化，得：1113132 分令123111362111,36212036P, 故xP y即为所求的正交变换。2 分因为矩阵A 特征值不全为正，故为非正定型（或不定）。1 分六 （每小题6 分，共 12 分）1. 证明：设有321,kkk使1122330kkk，2 分则有：112321233123()()0kkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
12、 - -第 6 页，共 48 页即：123112321233()()()0kkkkkkkkk由于321,线性无关，则必有000321321321kkkkkkkkk2 分解得：0321kkk，所以，321,线性无关。2 分2.证明：由222;()2AEBBAE BAEAAE2 分2222,320BBAEAAEAAE即，2 分故有：11(3)-20,=(3 )2A AEEAAAAE故 可逆，且2 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 48 页武汉理工大学考试试题纸（第 2 份卷）课程名称线性代数 A 专业班级 全校 06 本科题
13、号一二三四五六七八九十总分题分15 15 40 10 10 10 100 备注 : 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、单项选择题（每题3 分，共 15 分）1、已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，D=( ) A.-15 B.15 C.0 D.1 2、设 A是 mn矩阵， B 是nm 矩阵，则（）A当 mn 时，必有行列式0AB；B当 mn 时，必有行列式0ABC当 mn 时，必有行列式0AB；D当 mn 时，必有行列式0AB3、设123,为3R的一个基，则下列仍为3R的一个基的是（）A.1232123, 2,B.
14、122313,C. 122313,22D. 1312123,24、对非齐次方程组m nAxb，设()R Ar，则( ) A. rm 时，方程组Axb有解；B. rn时，方程组Axb有唯一解C. mn 时，方程组Axb有唯一解；D. rn时，方程组Axb有无穷多解5、下列命题中不正确的是( ) AAA A101精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 48 页2、21111121()_46223697AR A设， 则3、若二次型2221231213232224fxxtxx xx xx x 为正定二次型，则 t。4、若1234213,
15、2,则13412。5、设 A 是 n阶矩阵，2A，*A是 A 的伴随矩阵若 A 有特征值，则1*2A必有一个特征值是三、解答题。（每题8 分，共 40 分）1、求12312310000100001000010nn（8 分）2、求矩阵方程AXB，其中123001321,010111100AB。（8 分）3、设123(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),kkk及2(0, ,),k k试求：当k为何值时可由123,线性表出，并且表示法唯一。（8 分）4、求211020413A的特征值和特征向量。（8 分）5、设 A为 3 阶矩阵，12A，求1(2)5AA。（8 分）精选学习资料 - - -
16、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 48 页四、当 a、b为何值时，线性方程组12342342341234022132321xxxxxxxxaxxbxxxax有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解（10 分）五、设矩阵 A 与 B 相似，其中200200001 ,01001001ABx，求 x; 求正交阵 P，使得TP APB.（10 分）六、证明题。（每题 5 分，共 10 分）1、设 A 是 n阶矩阵，如果存在正整数k，使得AOk（O为 n阶零矩阵）， 则矩阵 A 的特征值全为02、设向量组12,r是齐次方程组0AX的一个基础
17、解系， 向量不是方程组0AX的解，求证：1,r线性无关。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 48 页武 汉 理 工 大 学 教 务 处试题标准答案及评分标准用纸课程名称：线性代数A （ A 卷）一、选择题（每题3 分，共 15 分）1、A 2、B 3、B 4、A 5、D 二、填空题（每题3 分，共 15 分）1、1，1，-1 2、3 3、2 4、1 5、4三、解答题（每题8 分，共 40 分）11 12 2112233.123111000100001000100001000100001000100000(8)nn nrrr
18、rnnnniiiniii分（5 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 48 页123100123100321010088310111001034101123100123100313101100110 (3)88880341011300118811912038811010122130011882. 解：分31100188110101(5)2213001188分131188123113211(6)2211113188分故1XA B131881112231188（8分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
19、总结 - - - - - - -第 12 页，共 48 页123001123001321010088013111100034101123001123001131301100110(3)8888034101310011889111203881101012231001188( 解法 2) ：分13100188110101(6)2231001188分故X131881112231188（8分）32222311101111110(1)1110032kkkkkkkkkk kkkkkk221110(1)00(3)(1 2)kkkkkkk kkkk，（4分）当0k且3k时可由123,线性表出，并且表示法唯一。
20、（8分）4解: 2211020(1)(2)413IA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 48 页解得特征值1231,2。（3分）解齐次线性方程组()0EA X得基础解系为1101故对应于11的特征值为：1111100cccc其中（5分）解齐次线性方程组(2)0EA X得基础解系为：2311441 ,001（7分）故对应于232的特征值向量为：23223322331()4,0cccccccc其中不全。（8分）5解：因为*|11AAA，（2分）所以|521|*5)2( |111AAAAA|2521|11AA（5分）| 2A1|
21、 ( 2)3|A1|8|A|18 216（8 分）四、解： 将方程组的增广矩阵A用初等行变换化为阶梯矩阵：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 48 页01000101001221001111112323101221001111abaabaA（3 分）所以，当1a时，4AArr，此时线性方程组有唯一解 当1a，1b时，2Ar，3Ar，此时线性方程组无解 当1a，1b时，2AArr，此时线性方程组有无穷多组解（6 分）此时，原线性方程组化为12342340221xxxxxxx因此，原线性方程组的通解为4433432431122
22、1xxxxxxxxxx或者写为001110210121213321kkxxxx（10 分）五、解：因 A 与 B 相似，故有21( 1)20 x解得0 x.（2 分）A 的特征根为1231,1,2.（3 分）解齐次线性方程组0EA X，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 48 页对应于11的特征向量为*1011P，将它单位化得101212P.（5分）对应于21的特征向量为*2011P，将它单位化得201212P. （7分）对应于32的特征向量为*33100PP. （9分）令321,PP P P ，则321,PP P P
23、即为所求正交矩阵 . （10分）六 1、设是矩阵A的特征值，0是矩阵A的属于的特征向量，则有A所以，AAAAkkkk11，（3分）但是OAk，所以0k，但0，所以0（5分）2、假设1,r线性有关，则存在不全为零的01,r使得011()()0rr，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 48 页于是01()r=11rr，（2分）又由于12,r的线性无关性知01()0r，于是（4分）011r（11rr） ，这与已知向量不是方程组0AX的解矛盾。（5 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
24、 - - -第 17 页，共 48 页武汉理工大学考试试题纸（第三份 卷）课程名称 线 性 代 数专业班级 全校 07 级本科题号一二三四五六七八九十总分题分12 12 36 15 15 10 100 备注 : 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、填空题（每小题3 分，共 12 分）1、已知ijA是行列式729102101的元素( ,1,2,3)ijai j的代数余子式，则111282AA_；2、设矩阵(1, 2,1)Adiag，*A为A的伴随矩阵，且*2A BAE，则B_；3、设向量组1，2，3是3R空间的一组基，要使12t，12t，3可以构成3R空间的一组基，则t必须满
25、足；4、要 使实二次型222( , , )()22f x y zk xyzxyxz为正定的，则必有k 的值满足 。二、单项选择题（每小题3 分，共 12 分）1、设A为 3 阶矩阵，若Ak，则kA；(A) 4k；(B) 3k；(C) 3k；(D) k；2、设 有齐次线性方程组0Ax和0Bx，其中AB，均为mn矩阵，则下列命题正确的是；(A) 若0Ax的解均是0Bx的解，则()()R AR B；(B)若()()R AR B，则0Ax的解均是0Bx的解； (C) 若0Ax与0Bx同解，则()( )R AR B；(D)若( )()R AR B，则0Ax与0Bx同解3、设 P 为 n 阶正交矩阵， x
26、 是一个 n 维列向量，且 |x|=3，则 |Px|=_；(A) 1；(B) 3；(C) 6；(D) 9；4、 设x为n维列向量， 且1Tx x；E为n阶单位矩阵；令2THExx， 则下列说法错误的是_。(A)H是对称矩阵；(B)H是可逆矩阵； (C)H是正交矩阵；(D)H是正定矩阵 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 48 页三、计算题 ( 每小题 9 分，共 36 分) 1、计算 n 阶行列式1111121111311111111nnDnnn2、设矩阵1600170000270013A，求1A；3、设A是 3 阶方阵
27、，互换A 的第一、第二列，得矩阵B；再将 B 的第二列加到第三列上得矩阵C；求满足AXC的可逆矩阵X；4、 设向量组1234(0,1,2,3),(3,0,1,2),(4, 1,0,1),(8,1,4,7)TTTT求它的一个最大无关组，并用此最大无关组表示其余向量。四、(15 分)已知线性方程组23213213211ttxxxtxtxxxxtx（1）t为何值时，无解，有唯一解，有无穷多个解？（10 分）（2）在有无穷多解时求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）。 （5 分）五、 （15 分）已知实二次型123121323(,)222f xxxx xx xx x；（1）写出f对应的
28、矩阵A； （3 分）（ 2）求正交变换XPY（必须写出相应的正交变换矩阵P）将f化为标准形（或法式） 。 （12 分）六、证明题 ( 每小题 5 分，共 10 分）1、 设1和2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为1p和2p， 证明12pp不再是A的特征向量。2、 设*是非齐次线性方程组Axb的一个解，12,n r是对应的齐次线性方程组0Ax的一个基础解系，试证明*12,n r线性无关。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 48 页武 汉 理 工 大 学 教 务 处试题标准答案及评分标准用纸课程名称 :线性代数
29、（A 卷）一、填空题（每小题 3 分，共 12 分）1、2；2、1；3、21t；4、2k二、选择题（每小题3 分，共 12 分）1、A ；2、C ；3、 B ；4、 D三、解答题（每小题9 分，共 36 分）1、11(2, )(2, )110001111110010002001200020001000100iinininrrrrnnnnnDnnnnnnn.（4 分）(1)(2)(1)11220000001(1)1(1)(1)()( 1)1222000000nnn nnnnnn nn nnnnnnnn.（9 分）2、记121624,1713AA，则121,1AA； . . .（ 4 分）又111
30、2767637,111112AA，所以17600110000370012A。 .（9 分）3、由题意有010100001AB，100011001BC， .（4 分）于是010100100011001001AC，所以011100001X。. .（9 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 48 页4、123403481011,21043211101103480122024410110122002200001000010400110000.（4 分）则1234,3R， 且123,线性无关， 所以123,即为1234,的一个极大
31、无关组， （7 分）且412304；. .（ 9 分）或者取124,，312404；还可以取134,，2341144四、解2111,1111tA btttt2223110110111ttttttttt22321101100(1)(2)1ttttttttttt . .（4 分）所以当12tt且时，方程组有唯一解； . . .（6 分）当2t时，,A b112403360001,32R A bR A，所以方程组无解。 .（8 分）当1t时，,A b111100000000；此时原方程组有无穷多解； . .（10 分）有1231xxx，取230 xx得原方程组一个特解T010， 0，； . .（12
32、 分）2310,01xx；得导出组的基础解系TT121011 ， 1， ， 0，；所以原方程组的通解为：01 122cc，其中12,c c为任意常数。.（15 分）五、011101110A .（3 分）由1121111101001111111111112rrccAE212求得A的特征值为1232,1 . . .（6 分）对应12，解方程12，解方程20AE x，由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 48 页2112121112AE101011000，得基础解系1111。将其单位化得111131p。 .（9 分）对应231，
33、解方程0AE x，由111111111AE111000000，得基础解系23111,001； .（12 分）将23,正交化，取22，2333222111,11011,22102；再将23,单位化，得2311111,12602pp.（14 分）得正交矩阵123111326111,32612036Pppp，有1200010001TPAPP AP .（15 分）六、 1、按题意，有111222,AppApp，故121122()A pppp .（1 分）假设12pp是A的对应于特征值的特征向量，则121212()()A pppppp； .（2 分）于是12pp1122pp；即1122()()0pp .
34、（3 分）又因为1和2是矩阵A的两个不同的特征值，所以1p与2p线性无关，故1200，即得12这与题设矛盾，所以假设不成立，即12pp不是A的特征向量。 .（ 5 分）2、设*01122()()()0n rn rkkkk，即*0121 122()0nrnrn rkkkkkkk。 .（1 分）以A左乘该式两边；因为*是非齐次线性方程组Axb的一个解，12,n r是对应的齐次线性方程组0Ax的一个基础解系，有012()0nrkkkkb，又0b，所以0120n rkkkk（3分）于是有1 1220n rn rkkk，又12,n r线性无关，所以120n r，得00k。所以12,n r线性无关。 .
35、. .（5 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 48 页武汉理工大学考试试题纸（第四份 卷）课程名称 线 性 代 数专业班级 全校 06 级本科题一二三四五六七八九十总题1131111备注 : 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、填空题（每小题3 分，共 15 分）1、已知 A， B均为三阶方阵，且A =2， B =3，则1TA B=_ 。2、设 n阶方阵 A的 n个列向量两两正交且均为单位向量，则TA A。3、如果三阶方阵A相似于对角矩阵)2, 1, 1(diag，则行列式 2A +E 。4、设向
36、量组1(1,1,1)T，2(1,2,3)T，3(1,3, )Tt ，当 t 满足时，向量组123,可以构成3R空间的一组基。5、已知实二次型222123121323()4()fa xxxx xx xx x，经过某个正交变换后，可以化成标准形216fy ，则 a。二、单项选择题（每小题3 分，共 15 分）1、设321,均为三维列向量，且1321，那么32122。(A) 0 (B) 1 (C)1(D) 不能确定2、设 A为 n阶方阵，且2A0，则下列选项中错误的是 _ 。(A) A可逆 (B)AE可逆 (C) AE可逆 (D)2AE可逆3、设向量组 ( ,3,1) ,(1,2,1) ,(2,3,
37、1)TTTa的秩为 2，则 a _。(A)1 (B)2 (C)0 (D)14、设 A 是 n 阶方阵(3)n，如果 A 的秩()R An，且 A 的伴随矩阵*0A，则齐次线性方程组0Ax的基础解系中所含解向量的个数为_。(A) n(B)1n (C) 1 (D) 0 5、设 n阶方阵 A与 B相似，则下列说法中正确的是 _。(A)AEBE(B) A与 B有相同的特征值及特征向量 ABkAkEBkE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 48 页三、计算题 ( 每小题 8 分，共 32 分) 1、计算 n阶行列式121121121
38、121nnnxnxnDxnnxnn；2、设矩阵113201002A，互换 A的第一、第二列得矩阵B，且BXA，求矩阵 X ；3、设矩阵0100120000110032A，求1A；4、设向量组1234(1,2, 1,3),(2,4,2,6),(1, 1,2, 3),( 1,0, 1,1)TTTT，求它的一个最大无关组，并用此最大无关组表示该向量组中的其余向量。四、(14 分) 已知线性方程组1234123423412343230265432xxxxaxxxxxxxbxxxx；讨论参数,a b取何值时，方程组有解、无解；在有解时，试用其导出组的基础解系表示其通解。五、 （14分）若矩阵220820
39、06Aa可以对角化，设与 A相似的对角矩阵为；试求常数 a的值及对角矩阵，并求可逆矩阵 P使得1PAP。六、证明题（每题5 分，共 10 分）1、设*是非齐次线性方程组Axb的一个解，12,nr是对应的齐次线性方程组0Ax的一个基础解系，试证明*12,n r线性无关；2、设 A为正交矩阵，且1A，试证明1是 A的特征值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 48 页武 汉 理 工 大 学 教 务 处试题标准答案及评分标准用纸课程名称 :线性代数 （A 卷）一、填空题（每小题3 分，共 15 分）1、23； 2、 E； 3、-
40、15 ； 4、5t； 5、 2 二、选择题（每小题3 分，共 15 分）1、C 2、A 3、B 4、C 5 、 D 三、解答题（每小题8 分，共 32 分）1、121000121000(1)2121000121121nnnxxnxnxn nDxxnnxxnnnn（ 4 分）(1)12(1)( 1)2n nnn nxx（8 分）2、由题意(1,2)BAE（4 分）又BXA，即(1,2)AEXA，所以1(1 ,2)XE(1,2)E（8分）3、记1200AAA，则1111200AAA，（2 分）又*11211,10AA，故112110A（4 分）*21211,31AA，故122131A（6 分）所以
41、12100100000210031A。（8 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 48 页4、记1234,A，对A进行行初等变换，将其化为行最简形：1211241012213631A12110032003200641211003200000000112032001300000000（ 4 分）()2R A，又显然13,线性无关，所以13,即为原向量组的一个最大无关组；（6 分）且212，4131233。（8 分）或取13,为原向量组的一个最大无关组；且212，3131322。取23,为原向量组的一个最大无关组；且1212
42、，4231263。取24,为原向量组的一个最大无关组；且1212，3241342。四（ 14 分） 、解先将方程组的增广矩阵通过初等行变换化成行阶梯形111132130012654312aBb1111012630126012625aaba101520126300003000022aabaa（ 4 分）可见当1a且3b时，()()2R BR A，方程组有解，否则方程组无解；（ 7 分）在方程组组有解时，同解方程组为13423452263xxxxxx，取340 xx，得原方程组一特解*2,3,0,0T；（ 9 分）取34,1,0, 0,1TTTxx， 得 原 方 程 组 导 出 组 的 基 础 解
43、 系 为11, 2,1,0T，25, 6,0,1T；（12 分）所以原方程组的同解为*1 122cc，12,c c为任意常数。（14 分）注：此题基础解系有很多种表示形式，改卷时需注意。五（ 14 分） 、矩阵 A的特征多项式222082(6) (2)006AEa，故 A的特征值为126，32。（4 分）由于A 相似于对角矩阵，故对应于126应有两个线性无关的特征向量，即齐次线性方程组(6)0AE x的基础解系中应含两个解，所以(6 )1R AE，（6 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 48 页而420684000A
44、Ea42000000a，故0a（8 分）对126，解(6 )0AE x，6AE210000000，得基础解系12102 ,001pp（ 10 分）对32，解(2 )0AE x，2AE210001000，得基础解系3120p（ 12 分）记矩阵600060002，则矩阵101202010P即满足1PAP。（ 14 分）注：此题基础解系有很多种表示形式，故可逆矩阵P有多种形式都可以，改卷时需注意。六、证明题（每题5 分，共 10 分）1、证法一设存在一组数01,n rkkk，使得*011220n rnrkkkk以矩阵A左乘上式，因为*是Axb的一个解，12,n r是0Ax解，故*Ab，0iA，1,
45、inr，所以00k b，又0b，则必有00k。（ 3 分）又因为12,n r是0Ax的一个基础解系，故它们线性无关，所以，120n rkkk，即证得*12,n r线性无关；（5 分）证法二假设*12,n r线性相关，因为12,n r是0Ax的一个基础解系，故它们线性无关，则*可以由12,n r线性表示，（3 分）由其次线性方程组解的性质知*是0Ax的解， 这与已知*是Axb的一个解矛盾， 故假设不成立， 所以*12,n r线性无关。（5 分）2、证 因为A是正交矩阵，故1TAA； （2 分）又1A，则有TTAEAAEAEAE，所以0AE，即证得1是A的特征值。（5 分）精选学习资料 - - -
46、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 48 页武汉理工大学考试试题纸（第五份卷）课程名称线性代数专业班级全校 08 级本科题号一二三四五六七八九十总分题分10 10 40 15 15 10 100 备注 : 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、填空题（每小题2 分，共 10分）1、设321,均为三维列向量，且123,1,则3122,2,=_；2、已知三阶矩阵 A 的特征值为 1，- 1，2，矩阵123BAE,则B =；3、对 4 元线性方程组Axb，已知 R(A)=3，123,是它的三个解向量，且123(2,3,4,5) ,(2
47、,4,6,8) ,TT则其导出组0Ax的通解可表示为 _；4、设123(1,2,1) ,(2, ,1) ,(2,2,0)TTTt，当 t时，R(321,)=2；5、设方阵 A 和单位矩阵 E 满足220AAE，则1(2 )AE_。二、单项选择题（每小题2 分，共 10 分）1、以下命题中，正确的为 _。（A）若实对称矩阵 A 与对角矩阵 相似，则相似变换矩阵P 一定是正交矩阵（B）若向量13,线性无关，向量23,线性无关，则12,必线性无关（C）若方阵 A、B 满足0AB，则 A、B 中至少有一个矩阵不可逆（D）若非齐次线性方程组Axb有唯一解，则1xA b2、A 为 m n 矩阵，且 R(A
48、)=rmin m,n ，则矩阵 A 中_。（A）至少有一个 r 阶子式不等于 0，没有等于 0 的 r-1 阶子式（B）必有等于 0 的 r-1 阶子式，有不等于0 的 r 阶子式（C）有不等于 0 的 r 阶子式，所有 r+1 阶子式都等于 0 （D）所有 r 阶子式不等于 0，所有 r+1阶子式都等于 0 3、n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是A 与对角矩阵相似的 _。（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件4、设 A、B 为 n 阶可逆矩阵，且 AB=BA，则下列结论中错误的是_。（A）A-1B-1=B-1A-1（B）AB-1=B-
49、1A（C）A-1B=BA-1（D）A-1B=B-1A5、设123,是线性方程组 Ax=0 的基础解系，则下列仍为 Ax=0 的基础解系的是 _。（A）122313,（B）112123,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 48 页（C）122313,（D）12231233, 2,三、计算题 ( 每小题 8 分，共 40 分) 1、计算1212301524161203D；2、已知ijA 为行列式1352112131nn中元素ija 的代数余子式，求11121nAAA ；3、设10111121 1A，122011B，求矩阵 X
50、使AXB；4、 设向量组1234(1,1,1,3) ,( 1, 3,5,1) ,(3,2, 1,2) ,( 2, 6,10, )TTTTpp， 问 p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的一个最大无关组，用此最大无关组表示该向量组中的其余向量；5、设111为方阵2121312Axy属于特征值的特征向量，求和 x、 y 的值。四、(15 分)讨论参数取何值时，线性方程组123123123(1)1(3)20 xxxxxxxxx有唯一解、无穷多解、无解；并在有无穷多解时，求其通解。五、（15 分） 求正交变换xPy， 将二次型222123123121323(,)2()222f x xxxxxx