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1、第3章 量子力学初步原子物理学(褚圣麟)第三章 量子力学初步 Four short words sum up what has lifted most successful Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. individuals above the crowd: a little bit more. -author -author -date-date第3章 量子力学初步一、经典物理中的粒子和波一、经典物理中的粒子和波粒
2、子：空间局域性，用粒子：空间局域性，用 和和 描述其运动。描述其运动。rp波：空间弥散性，用波：空间弥散性，用 和和 描述其运动。描述其运动。二、光的波粒二象性二、光的波粒二象性 1672年，牛顿，光的年，牛顿，光的微粒说微粒说 1678年，惠更斯，光的年，惠更斯，光的波动说波动说 19世纪末，光是一种世纪末，光是一种电磁波电磁波 20世纪初，光电效应和康普顿效应散射直接和间接地证明光不仅具有波的叠加世纪初，光电效应和康普顿效应散射直接和间接地证明光不仅具有波的叠加性，可以产生干涉、衍射的性，可以产生干涉、衍射的波动性波动性，而且还具有质量、动量、能量和角动量的，而且还具有质量、动量、能量和角
3、动量的粒粒子性子性。光同时具有的这两种属性统称为光的。光同时具有的这两种属性统称为光的波粒二象性波粒二象性，由爱因斯坦关系式表示，由爱因斯坦关系式表示为：为：hE hp ,PE -光的波粒二象性3.1物质的二象性物质的二象性第3章 量子力学初步光的波粒二象性是否具有更深刻的普遍意义？光的波粒二象性是否具有更深刻的普遍意义？1924年，年轻的法国物理学家德布罗意反向思考了这一问题在向巴黎大学理学院年，年轻的法国物理学家德布罗意反向思考了这一问题在向巴黎大学理学院提交的题为提交的题为量子理论的比较量子理论的比较的博士论文中提出了的博士论文中提出了所有粒子都具有波动性的假所有粒子都具有波动性的假设设
4、。他指出：。他指出：“在整个世纪以来，人们在辐射理论上，比起关注波动的研究方法在整个世纪以来，人们在辐射理论上，比起关注波动的研究方法来，是过于忽视了粒子的研究方法；在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？来，是过于忽视了粒子的研究方法；在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是否我们关于粒子的图象想的太多，而过分忽视了波的图象？是否我们关于粒子的图象想的太多，而过分忽视了波的图象？”于是他将光的波于是他将光的波粒二象性大胆地赋予了电子这样的实物粒子上，即承认实物粒子也具有波粒二象粒二象性大胆地赋予了电子这样的实物粒子上，即承认实物粒子也具有波粒二象性。性。第3章 量子力学初步三、德布罗意关系式三
5、、德布罗意关系式 微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波 动性。具有一定能量动性。具有一定能量E和一和一定动量定动量p的自由粒子，相当于具有一定频率的自由粒子，相当于具有一定频率 和一定波长和一定波长 的平面波，二者之间的关的平面波，二者之间的关系为：系为：EknhphE hp -德布罗意关系式。德布罗意关系式。与实物粒子相应的波称为与实物粒子相应的波称为德布罗意波德布罗意波或或物质波物质波， 称为德布罗意波长。称为德布罗意波长。德布罗意关系式还可以写成德布罗意关系式还可以写成 式中，式中， ：角频率；：角频率； ：传播方向上的单位矢量：传播方向上
6、的单位矢量2n第3章 量子力学初步适用条件：适用条件：(1)(1)电子，电子，(2)(2)非相对论非相对论(U(U不能太大不能太大) )。 220/1cmmm1eVm221埃伏特)(25.122/2VemVhmeVmhnk2sJh3410054588. 12：波矢量：波矢量mhph粒子的德布罗意波长：粒子的德布罗意波长：1当当 时，时，2当当 时，时， omm经过电场加速的经过电场加速的电子电子：cc第3章 量子力学初步四、德布罗意假设的实验验证四、德布罗意假设的实验验证德布罗意曾指出由于实物粒子的波粒二象性，当加速后的电子穿过晶体时，将德布罗意曾指出由于实物粒子的波粒二象性，当加速后的电子穿
7、过晶体时，将会发生会发生电子波的衍射现象电子波的衍射现象。1925年戴维孙革末在一次偶然的真空破坏事故，使镍棒样品被氧化，为了还年戴维孙革末在一次偶然的真空破坏事故，使镍棒样品被氧化，为了还原，他们对镍加热，结果形成了镍的单晶结构，即将镍单晶化，镍的晶格成了电原，他们对镍加热，结果形成了镍的单晶结构，即将镍单晶化，镍的晶格成了电子衍射的光栅。从而当电子穿过镍单晶时，观察到电子的衍射图象，测量了电子子衍射的光栅。从而当电子穿过镍单晶时，观察到电子的衍射图象，测量了电子波的波长，证实了德布罗意假设。波的波长，证实了德布罗意假设。1927 年在物质波概念的指导下，年在物质波概念的指导下，Daviss
8、on 和和Gemmer重新进行了较为精确的重新进行了较为精确的实验，实验装置如下图所示实验，实验装置如下图所示第3章 量子力学初步1实验装置实验装置 第3章 量子力学初步2实验结果实验结果(1)当V不变时，I与的关系如图不同的，I不同；在有的上将出现极值。(2)当不变时，I与V的关系如图当V改变时，I亦变；而且随了V周期性的变化V第3章 量子力学初步3实验解释实验解释 晶体结构：晶体结构：第3章 量子力学初步当当 时加强时加强-布拉格公式布拉格公式。 ndsin22)12(sin2nnd波程差：波程差：第3章 量子力学初步实验证明了电子确实具有波动性，实验证明了电子确实具有波动性，也证明了德布
9、罗意关系式的正确性。也证明了德布罗意关系式的正确性。并并进一步证明：一切实物粒子进一步证明：一切实物粒子( (电电子、中子、质子等都具有波动性。子、中子、质子等都具有波动性。 )(225. 1伏特Vnm2 , 1n 可见，当可见，当 、 满足此式时，测得电流的极大值。满足此式时，测得电流的极大值。 对于通过电压对于通过电压V加速的加速的电子电子：当当V不变时，改变不变时，改变 ，可使某一，可使某一 满足上式，出现极大值满足上式，出现极大值 当当 不变时，改变不变时，改变V，可使某一，可使某一V满足上式满足上式，出现极大值。出现极大值。第3章 量子力学初步1928年，菊池正士把电子束射在云母薄片
10、上，在云母后面一段距离处用照相底片接受电子，获得了衍射图样。同年，G. P Thomson用电子束穿透晶体薄片，也得到环状的衍射图像，此时晶体起到了透射光栅作用。第3章 量子力学初步3.2 测不准原理测不准原理在经典力学的概念中，一个粒子的位置和动量可以同时具有确定值。量子理论建在经典力学的概念中，一个粒子的位置和动量可以同时具有确定值。量子理论建立后，由微观粒子的波粒二象性揭示出微观粒子的位置和动量具有不确定性，这立后，由微观粒子的波粒二象性揭示出微观粒子的位置和动量具有不确定性，这可用电子单缝衍射实验说明，并验证不确定关系。可用电子单缝衍射实验说明，并验证不确定关系。第3章 量子力学初步3
11、.2 测不准原理测不准原理第3章 量子力学初步2dx sinppxppxsinxd2sinxppx2hppxx22/hpxx一、一、电子的单缝衍射电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出年，约恩逊成功的做出)sind电子以速度电子以速度 沿着沿着y轴射向轴射向A屏，其波屏，其波长为长为 ，经过单缝发生衍射，缝，经过单缝发生衍射，缝宽为宽为d，到达，到达C屏。第一级暗纹的位屏。第一级暗纹的位置：置：x方向上，粒子坐标的不确定度为方向上，粒子坐标的不确定度为又又粒子动量的不确定度为粒子动量的不确定度为 2/hpxxph单缝衍射时，粒子位置和动量的确定度第3章 量子力学初步狭缝对电子束起了两种作
12、用：一是将它的坐标限制在缝狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝宽宽d的范围内，一是使电子在的范围内，一是使电子在坐标方向上坐标方向上的动量发生了的动量发生了变化。这两种作用是相伴出现的，变化。这两种作用是相伴出现的，不可能不可能既既限制了电子限制了电子的坐标，又能避免动量发生变化。的坐标，又能避免动量发生变化。如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有确定的值。确定的值。0 xxp/2xxph 第3章 量子力学初步1927年，海森堡首先推
13、导出不确定关系：2/xpx2/ypy2/zpz2/p2/tE二、不确定关系二、不确定关系第3章 量子力学初步三、讨论三、讨论1不确定关系只适用于微观粒子不确定关系只适用于微观粒子 2例1： 设电子与 的子弹均沿x方向运动， ， 精确度为 ，求测定x 坐标所能达到的最大准确度。kgm01. 0smx/500%01. 0smsmx/105/10500242/xpxxxmpx/电子：子弹：mmx3 . 2mx31101 . 22/tE0.00.51.01.52.0051015202530 Intensity (arb.units)Time (ms)0.00.51.01.52.005101520253
14、0 Intensity (arb.units)Time (ms)第3章 量子力学初步3.3 波函数及其物理意义波函数及其物理意义时间后，波面传到AB，其上任一点P的振动和时间前AB上任一点O的振动相同： 2costao一、波函数一、波函数自由粒子 平面波设一平面波沿速度 的方向传播，该方向的单位矢量为 ，即 ， 时刻，波面AB上O点的振动：vnvvnt第3章 量子力学初步nrrcosOPr ) t (2cosnra) t (2nripAe沿 方向传播的、波长为、频率为的平面简谐波方程。)(2costap欧拉公式： 取“”cossiniein第3章 量子力学初步用波方程来描写实物粒子，根据德布罗
15、意关系：hE nhp)(prEtipAe 自由粒子的波函数，描写动量为自由粒子的波函数，描写动量为 、能量为、能量为E E的自由粒子。的自由粒子。p经典力学经典力学 位置和速度位置和速度 量子力学量子力学 波函数波函数波函数体现了波粒二象性，其中的波函数体现了波粒二象性，其中的E E和和 是描写粒子性是描写粒子性的物理量，却处在一个描写波的函数中。的物理量，却处在一个描写波的函数中。p 第3章 量子力学初步二、波函数的统计解释二、波函数的统计解释电子衍射的强度分布图 用粒子的观点，极大值处意味着到用粒子的观点，极大值处意味着到达的电子多，极小值处意味着到达的达的电子多，极小值处意味着到达的电子
16、少。电子少。 从波的观点来看，极大值处表示波的从波的观点来看，极大值处表示波的强度大，极小值处表示波的强度小。强度大，极小值处表示波的强度小。 玻恩的观点就能将粒子和波的概念玻恩的观点就能将粒子和波的概念统一起来。统一起来。波函数波函数代表发现代表发现粒子的几率粒子的几率 干涉图像的出现体现了微观粒子干涉图像的出现体现了微观粒子的共同特性，而且它并不是由微观粒的共同特性，而且它并不是由微观粒子相互作用产生的而是个别微观粒子子相互作用产生的而是个别微观粒子属性的集体贡献属性的集体贡献第3章 量子力学初步 表示t时刻、（x、y、z）处、单位体积内发现粒子的几率。 2),(tzyx 即波的强度表示t
17、时刻、（x、y、z）处发现电子的几率密度。如果 大，则电子出现几率大，因而电子出现的目也多，此处为衍射极大值处；反之，如果 小，则电子出现几率小，电子出现的数目也少，此处为衍射极小值处。 2),(tzyx2),(tzyx2),(tzyx第3章 量子力学初步t时刻、xx+dx、yy+dy、zz+dz、的体元 内发现粒子的几率：dxdydzdV dVtzyxtzyxdW2),(),(*),(2tzyxW 表示t时刻、（x、y、z）处发现粒子的几率密度。1.波恩的波函数几率解释是量子力学基本原理之一2.经典波振幅是可测量，而波函数是不可测量，可测是几率3.单缝、双缝干涉实验在1961年前是假想实验讨讨 论论第3章 量子力学初步 2归一化条件由于粒子总在空间某处出现，故在整个空 间出现的总几率应当为1：1),(2dVtzyx三、波函数的标准条件及归一化三、波函数的标准条件及归一化1波函数必须单值、有限、连续。 单值：在任何一点，几率只能有一个值。 有限：几率不能无限大。 连续：几率一般不发生突变。