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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版因式分解初二数学（上）应知应会的知识点1 / 91. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式、叫做把这个多项式因式分解； 注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2. 因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.3. 公因式的确定：系数的最大公约数相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a；a-b=-(b-a；) 4因式分解的公式：(a-b)2=(b-a)；2(a-b)3=-(b-a)3.(1)平方差公式： a2-b2=（a+ b）（a- b）；(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2、 a
2、2-2ab+b2=(a-b)2. 5因式分解的注意事项：（1） 选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二 公式、三 分组、四 十字；（2） 使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3） 因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4） 因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（5） 因式分解的最后结果要求加以整理；（6） 因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6. 因式分解的解题技巧：（1）换位整理、加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括
3、号或全部括号；（10）拆项或补项.7. 完全平方式：能化为（m+n）2 的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q、有“ x2+px+q是完全平方式 ”.分式1. 分式：一般地、用A、B 表示两个整式、A B 就可以表示为的形式、如果B 中含有字母、式子 叫做分式.2. 有理式：整式与分式统称有理式；即.3. 对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零、则分式无意义、反之有意义；（2）若分式的分子为零、而分母不为零、则分式的值为零；注意：若分式的分子为零、 而分母也为零、则分式无意义.4. 分式的基本性质与应用：（1） 若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式、分式的值
4、不变；（2） 注意：在分式中、分子、分母、分式本身的符号、改变其中任何两个、分式的值不变；即（3） 繁分式化简时、采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法、比较简单.5. 分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去、叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.6. 最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式、这个分式叫做最简分式；注意： 分式计算的最后结果要求化为最简分式.7. 分式的乘除法法则：.8. 分式的乘方：.9. 负整指数计算法则：（1）公式： a0=1(a0)、a-n= (a0)；（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；（3）公式：、；（4） 公 式 ： （-1）-
5、2=1、 （-1）-3=-1. 10分式的通分：根据分式的基本性质、把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式、叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.11. 最简公分母的确定：系数的最小公倍数相同因式的最高次幂.12. 同分母与异分母的分式加减法法则： .13. 含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a0)中、x 是未知数、a 和 b 是用字母表示的已知数、对x 来说、字母a是 x 的系数、叫做字母系数、字母b 是常数项、 我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中、一般用 a、b、c 等表示已知数、用 x、y、z 等表示未知数.14. 公
6、式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式、叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时、一般需要先确认这个代数式的值不为0.15. 分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的、分母里不含未知数的方程是整式方程.16. 分式方程的增根：在解分式方程时、为了去分母、方程的两边同乘以了含有未知数的代数式、所以可能产生增根、故分式方程必须验增根；注意：在解方程时、方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式、因为可能丢根.17. 分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母）、若值为零
7、、求出的根是增根、这时原方程无解；若值不为零、求出的根是原方程的解；注意：由此可判断、使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18. 分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样、但需要增加“验增根”的程序.数的开方1平方根的定义：若x2=a、那么x 叫a 的平方根、（即 a 的平方根是x）；注意：（1）a叫 x 的平方数、（2）已知x 求a叫乘方、已知a求x 叫开方、乘方与开方互为逆运算. 2平方根的性质：（1）正数的平方根是一对相反数；2 / 9（2）0 的平方根还是0；（3）负数没有平方根.3. 平方根的表示方法：a 的平方根表示为和.注意：可以看作是一个数、也
8、可以认为是一个数开二次方的运算.4. 算术平方根：正数 a的正的平方根叫a的算术平方根、表示为.注意：0 的算术平方根还是 0.13 / 95. 三个重要非负数： a20 、|a|6. 两个重要公式：（1） ; (a0)（2）.0 、0 .注意：非负数之和为0、说明它们都是0.7. 立方根的定义：若x3=a、那么 x 叫 a 的立方根、（即 a 的立方根是x）.注意：（1）a叫 x 的立方数；（2）a 的立方根表示为；即把a开三次方. 8立方根的性质：（1）正数的立方根是一个正数；（2）0 的立方根还是0；（3）负数的立方根是一个负数. 9立方根的特性：.10. 无理数：无限不循环小数叫做无理
9、数.注意： 和开方开不尽的数是无理数.11. 实数：有理数和无理数统称实数.12实数的分类：（1）（2） .13. 数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14. 无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求、则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求、则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时、中间过程要多保留一位；（2）要求记忆： .三角形几何A 级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1. 三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交、这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图）2. 三角形的中线定义：在三角形中、连结
10、一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线 .（如图）几何表达式举例：(1) AD 平分BACBAD=CAD(2) BAD=CADAD 是角平分线几何表达式举例：(1) AD 是三角形的中线 BD = CD(2) BD = CDAD 是三角形的中线3. 三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂 线、顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.（如图）几何表达式举例：(1) AD 是ABC 的高ADB=90(2) ADB=90AD 是ABC 的高4三角形的三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边、三角形的两边之差小于第三边.（如图）几何表达式举例：(1) AB+BCAC、(2) AB-BC
11、AC、5. 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （如图）6. 等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形. （如图）7. 三角形的内角和定理及推论：（1） 三角形的内角和180；（如图）（2） 直角三角形的两个锐角互余；（如图）几何表达式举例：(1) ABC 是等腰三角形 AB = AC(2) AB = ACABC 是等腰三角形几何表达式举例： (1)ABC 是等边三角形AB=BC=AC(2) AB=BC=ACABC 是等边三角形几何表达式举例：(1) A+B+C=180、（3） 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(2) C=90（如图）（4）三角形的
12、一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.（1）（2）（3）（4）8. 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三A+B=90(3) ACD=A+B、(4) ACD A、几何表达式举例：(1) C=90角形.（如图）ABC 是直角三角形(2) ABC 是直角三角形C=909. 等腰直角三角形的定义：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.（如图）几何表达式举例：(1) C=90CA=CBABC 是等腰直角三角形(2) ABC 是等腰直角三角形C=90CA=CB10. 全等三角形的性质：（1） 全等三角形的对应边相等；（如图）（2） 全等三角形的对应角相等.（如图）几何表达式举例：(1)
13、ABCEFG AB = EF、(2) ABCEFGA=E、11. 全 等 三 角 形 的 判 定 ： “SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”. （如图）（1）（2）（3） （3）几何表达式举例：(1) AB = EF B=F 又 BC = FGABCEFG (2)、(3)在 RtABC 和RtEFG中 AB=EF又 AC = EGRtABCRtEFG12. 角平分线的性质定理及逆定理：（1） 在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）（2） 到角的两边距离相等的点在角平分线上.（如图）几何表达式举例：(1) OC 平分AOB又CDOACEOB CD = CE(2) CDOACEOB
14、又CD = CEOC 是角平分线13. 线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段且平分这条线段的直线、叫做这条线段的垂直平分线 .（如图）几何表达式举例：(1) EF 垂直平分ABEFABOA=OB(2) EFABOA=OBEF 是AB 的垂直平分线14. 线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1） 线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（如图）（2） 和一条线段的两个端点的距离相等的点、在这条线段的垂直平分线上.（如图）几何表达式举例：(1) MN 是线段AB 的垂直平分线 PA = PB(2) PA = PB点P在线段AB 的垂直平分线上15. 等腰三角形的性质定理及推论：（1）
15、等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）（2） 等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高” 三线合一；（如图）（3） 等边三角形的各角都相等、并且都是60.（如图）（1）（2）（3）几何表达式举例：(1) AB = ACB=C(2) AB = AC又BAD=CADBD = CD AD BC、(3) ABC 是等边三角形A=B=C =6016. 等腰三角形的判定定理及推论：（1） 如果一个三角形有两个角都相等、那么这两个角所对边也相等；（即等角对等边）（如图）（2） 三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）（3） 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形；（如图）（4） 在直角
16、三角形中、如果有一个角等于30、那么它所对的直角边是斜边的一半.（如图）（1）（2）（3）（4）几何表达式举例：(1) B=C AB = AC(2) A=B=CABC 是等边三角形(3) A=60 又AB = ACABC 是等边三角形(4) C=90B=30AC =AB17. 关于轴对称的定理（1） 关于某条直线对称的两个图形是全等形；（如图）（2） 如果两个图形关于某条直线对称、那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图）18. 勾股定理及逆定理：（1） 直角三角形的两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方、即a2+b2=c2；（如图）（2） 如果三角形的三边长有下面关几何表达式举例：
17、(1) ABC、EGF 关于MN 轴对称ABCEGF(2) ABC、EGF 关于MN 轴对称OA=OEMN AE几何表达式举例：(1) ABC 是直角三角形a2+b2=c2(2) a2+b2=c2ABC 是直角三角形系: a2+b2=c、2 那么这个三角形是直角三角形.（如图）19. Rt斜边中线定理及逆定理：（1） 直角三角形中、斜边上的中线是斜边的一半；（如图）（2） 如果三角形一边上的中线是这边的一半、那么这个三角形是直角三角形.（如图）几何表达式举例：ABC 是直角三角形D 是 AB 的中点CD = AB(2) CD=AD=BDABC 是直角三角形几何 B 级概念：（要求理解、会讲、会
18、用、主要用于填空和选择题）一 基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二 常识：1. 三角形中、第三边长的判断： 另两边之差第三边另两边之和.2. 三角形中、有三条角平分线、三条中线、三条高线、它们都分别交于一点、其中前两个交点都在三角形内、而第三个交点可在三角形内、三角形上、三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3. 如图、三角形中、有一个重要的面积等式、即：若 CDAB 、 BECA 、则CDAB=BECA
19、.4. 三角形能否成立的条件是：最长边另两边之和.5. 直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.6. 分别含30、45、60的直角三角形是特殊的直角三角形.7. 如图、双垂图形中、有两个重要的性质、即：（1） ACCB=CDAB ；（2）1=B 、2=A . 8三角形中、最多有一个内角是钝角、但最少有两个外角是钝角.9全等三角形中、重合的点是对应顶点、对应顶点所对的角是对应角、对应角所对的边是对应边. 10等边三角形是特殊的等腰三角形.11. 几何习题中、“文字叙述题”需要自己画图、写已知、求证、证明.12. 符合“AAA ”“SSA”条件的三角形不能判定全等.13. 几何
20、习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14. 几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15. 会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL ”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16. 作图题在分析过程中、首先要画出草图并标出字母、然后确定先画什么、后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17. 几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3
21、）尺规画图.18几何重要图形和辅助线：（1） 选取和作辅助线的原则：构造特殊图形、使可用的定理增加；一举多得；聚合题目中的分散条件、转移线段、转移角；作辅助线必须符合几何基本作图.（2） 已知角平分线.（若BD 是角平分线） 在 BA 上截取 BE=BC 构造全等、转移线段和角；过D 点作 DEBC 交 AB 于 E，构造等腰三角形.（3） 已知三角形中线（若AD 是 BC 的中线） 过D 点作DEAC 交AB于 E、构造中位线 ； 延长AD 到E、使DE=AD 连结 CE 构造全等、转移线段和角；AD 是中线SABD= SADC（等底等高的三角形等面积）(4) 已知等腰三角形ABC 中、AB=AC 作等腰三角形ABC 底边的中线AD（顶角的平分线或底边的高）构造全等三角形； 作等腰三角形ABC 一边的平行线DE、构造新的等腰三角形.（5）其它作等边三角形ABC一边 的平行线 DE、构造新的等边三角形； 作CEAB 、转移角；延长BD 与AC 交于E、不规则图形转化为规则图形； 多边形转化为三角形； 延 长 BC 到 D 、 使CD=BC、连结 AD、直角三角形转化为等腰三角形； 若 ab、AC、BC是角平分线、则C=90.