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1、中考数学几何模型复习 专题11 动点最值之将军饮马模型（学生版+解析版）-正文内容开始- PAGE 2 中考数学几何模型复习 专题11 动点最值之将军饮马模型 模型一、两定一动模型 如图，在矩形ABCD中，AB10，AD6，动点P满足SPABS矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为 如图，正方形ABEF的面积为4，BCE是等边三角形，点C在正方形ABEF外，在对角线BF上有一点P，使PCPE最小，则这个最小值的平方为（ ） A. B. C. 12D. 如图RtABC和等腰ACD以AC为公共边，其中ACB90，ADCD，且满足AD AB，过点D作DEAC于点F，DE交AB于
2、点E，已知AB5，BC3，P是射线DE上的动点，当PBC 的周长取得最小值时，DP的值为（） ABCD 如图，等边ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE2，当EFCF取得最小值时，则ECF的度数为多少？ 模型二、一定两动 如图，AOB30，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为AOB内一点，且OP4，则PMN的周长的最小值为（） A2B4C6D8 如图，点P是AOB内任意一点，且AOB40，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，当PMN周长取最小值时，则MPN的度数为（） A140B100C50D40 如图，在菱形ABCD中，AB，A
3、120o，点P,Q,K分别为线段BC,CD，BD上的任意一点，则PKQK的最小值为 . 如图所示，在四边形ABCD中，A90o，C90o，D60o，AD3，AB，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则BMN的周长最小值为（ ） A. B. C. 6D. 3 如图，在ABC中，C90，CBCA4，A的平分线交BC于点D，若点P、Q分 别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是 模型三、两段之差模型 例.如图，在ABC中，ABAC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB12，BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PAPB的最大值为（ ） A. 12B. 8C. 6D. 2 如图
4、，在菱形ABCD中，AB6，ABC60o，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN2，点M在BC上且BMBC,P为对角线BD上一点，则PMPN的最大值为 . 如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC16，B到MN的距离BD10，CD8，点P在直线MN上运动，则|PAPB|的最大值等于 模型四、特殊型 已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A位置 问题化为求AN+NB最小值
5、，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置 如图，矩形ABCD中，AB4，BC8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ3，当CQ时，四边形APQE的周长最小 如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线yx上的一条动线段且PQ（Q在P 的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（） A（，）B（，）C（0，0）D（1，1） （2021?聊城）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点，分别在轴，轴上，两点坐标分别为，线段在边上移动，保持，当四边形的周长最小时，点的坐标为 课后训练 1.如图，在锐角ABC中，ACB50；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的
6、动点，当PMN的周长最小时，MPN的度数是（） A50B60C70D80 2.如图，在四边形ABCD中，DAAB，DA6，BC150o，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BPPQ最小值是( ) A. 12B. 15C. 16D. 18 3.如图，已知等边ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（） A3B2CD4 4.如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作A、B，M，N 分别是A、B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（） A54B1C62D
7、5.如图，矩形ABCD中，AB4，BC6，点P是矩形ABCD内一动点，且，则PCPD的最小值为 . 6.如图，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6）， 点E、F分别足OC、BC的中点，点M，N分别是线段OA、AB上的动点（不与端点重合），则当四边形EFNM 的周长最小时，点N的坐标为 7.如图，在ABC中，ACB90o，以AC为边在ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE （1）说明：AECEBE； （2）若DAAB,BC6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PBPC最小，并求出此时PBPC
8、的值. 8.已知：矩形ABCD中，AD2AB，AB6，E为AD中点，M为CD上一点，PEEM交CB于点P，EN平分PEM交BC于点N. （1）求证：PEEM； （2）用等式表示BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明； （3）过点P作PGEN于点G，K为EM中点，连接DK、KG，求DKKGPG的最小值. 中考数学几何模型复习 专题11 动点最值之将军饮马模型 模型一、两定一动模型 例题1. 如图，在矩形ABCD中，AB10，AD6，动点P满足SPABS矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为 解：设ABP中AB边上的高是h SPABS矩形ABCD，AB?hAB?AD
9、，hAD4， 动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离 在RtABE中，AB10，AE4+48，BE2， 即PA+PB的最小值为2故答案为：2 如图，正方形ABEF的面积为4，BCE是等边三角形，点C在正方形ABEF外，在对角线BF上有一点P，使PCPE最小，则这个最小值的平方为（ ） A. B. C. 12D. B 连接AC、AE，过点C作CGAB，如图所示： 正方形ABEF，AEBF,OAOE， 即可得：E关于BF的对称点是A，连接AC交BF于P，则此时EPCP的值最小，EPCPAC， 正方形ABEF的
10、面积为4，BCE是等边三角形，ABBE2，BEBC2， 在RtBCG中，CBG90o60o30o，BC2，CG1， ， ，即这个最小值的平方为. 如图RtABC和等腰ACD以AC为公共边，其中ACB90，ADCD，且满足AD AB，过点D作DEAC于点F，DE交AB于点E，已知AB5，BC3，P是射线DE上的动点，当PBC 的周长取得最小值时，DP的值为（） ABCD 解：连接PB、PC、PA，要使得PBC的周长最小，只要PB+PC最小即可， PB+PCPA+PBAB，当P与E重合时，PA+PB最小， ADCD，DEAC，AFCF， ACB90，EFBC，AEBEAB2.5，EFBC1.5，
11、ADAB，AEFDEA， DE，故选：B 如图，等边ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE2，当EFCF取得最小值时，则ECF的度数为多少？ ECF30o 过E作EMBC，交AD于N，如图所示： AC4，AE2，EC2AE，AMBM2，AMAE， AD是BC边上的中线，ABC是等边三角形，ADBC，EMBC，ADEM， AMAE，E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EFCF的值最小， ABC是等边三角形，ACB60o，ACBC，AMBM，ECFACB30o. 模型二、一定两动 例.如图，AOB30，点M、N分别是射线OB、OA上
12、的动点，点P为AOB内一点，且OP4，则PMN的周长的最小值为（） A2B4C6D8 分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、 OD、PM、PN点P关于OA的对称点为C，PMCM，OPOC，COBPOB； 点P关于OB的对称点为D，PNDN，OPOD，DOAPOA， OCODOP4，CODCOB+POB+POA+DOA2POA+2POB2AOB60， COD是等边三角形，CDOCOD4当M、N与M、N重合时， PMN周长最小PM+MN+PNDN+MN+CMCD4，选B 如图，点P是AOB内任意一点，且AOB40，点M和点N分别是射线OA和射线OB
13、 上的动点，当PMN周长取最小值时，则MPN的度数为（） A140B100C50D40 解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2， 连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1OPOP2，OP1MMPO，NPONP2O， 根据轴对称的性质，可得MPP1M，PNP2N，则PMN的周长的最小值P1P2， P1OP22AOB80，等腰OP1P2中，OP1P2+OP2P1100， MPNOPM+OPNOP1M+OP2N100，故选：B 如图，在菱形ABCD中，AB，A120o，点P,Q,K分别为线段BC,CD，BD上的任意一点，则PKQK的最小值为 . 过点C作CEAB，如图所示： 菱形ABC
14、D中，AB2，A120o，ABC60o，BC2，BD平分ABD， BE，CEBE， BD平分ABD，在AB上作点P关于BD的对称点P，PKQKPKKQ， 当P,K,Q三点共线且PQAB时，PKQK有最小值， 即最小值为平行线AB,CD的距离，则最小值为. 如图所示，在四边形ABCD中，A90o，C90o，D60o，AD3，AB，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则BMN的周长最小值为（ ） A. B. C. 6D. 3 C 作点B关于CD、AD的对称点分别为点B和点B，连接BB交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M和N（不同于点M和N），连接MB，MB，NB
15、和NB，如图1所示： BBMBMNNB，BMBM， BNBN，BMMNBNBB， 又BBBMMNNB，MBMB，NBNB， NBNM BM BMMNBN，NBNMBM时周长最小； 连接DB，过点B作BHDB于BD的延长线于点H，如图示2所示： 在RtABD中，AD3，AB，230o， 530o，DBDB，又ADC1260o，130o，730o，DBDB， BDB1257120o，DBDBDB， 又BDB6180o，660o，HD，HB3， 在RtBHB中，由勾股定理得：BB， NBNMBM6，故选C. 如图，在ABC中，C90，CBCA4，A的平分线交BC于点D，若点P、Q分 别是AC和AD上
16、的动点，则CQ+PQ的最小值是2 解：如图，作点P关于直线AD的对称点P，连接CP交AD于点Q，则 CQ+PQCQ+PQCP根据对称的性质知APQAPQ，PAQPAQ 又AD是A的平分线，点P在AC边上，点Q在直线AD上， PAQBAQ，PAQBAQ，点P在边AB上 当CPAB时，线段CP最短在ABC中，C90，CBCA4， AB4，且当点P是斜边AB的中点时，CPAB， 此时CPAB2，即CQ+PQ的最小值是2故填：2 模型三、两段之差模型 例.如图，在ABC中，ABAC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB12，BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PAPB的最大值为（ ）
17、 A. 12B. 8C. 6D. 2 B MN垂直平分AC，MAMC， 又BMMCBC20，BMMAAB12，BC20128， 在MN上取点P，MN垂直平分AC，如图所示，连接PA、PB、PC，PAPC， PAPBPCPB， 在PBC中PCPBBC 当P、B、C共线时（PCPB）有最大值，此时PCPBBC8，故选B. 如图，在菱形ABCD中，AB6，ABC60o，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN2，点M在BC上且BMBC,P为对角线BD上一点，则PMPN的最大值为 . 2 如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N，连接PN,MN， 根据轴对称性质可知，PNPN，PMPNPMPNMN， 当
18、P,M,N三点共线时，取“”, 在菱形ABCD中，AB6，ABC60o，AC6， O为AC中点，AOOC3， AN2，ON1，ON1，CN2，AN4， ，CMABBM642， ，PMABCD，CMN60o， NCM60o，NCM为等边三角形，CMMN2，即PMPN的最大值为2. 如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC16，B到MN的距离BD10，CD8，点P在直线MN上运动，则|PAPB|的最大值等于10 10 解：延长AB交MN于点P， PAPBAB，AB|PAPB|，当点P运动到P点时，|PAPB|最大， BD10，CD8，AC16， 过点B作BEAC，则BECD8，AEA
19、CBD16106， AB10，|PAPB|的最大值等于10， 故答案为：10 模型四、特殊型 已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A位置 问题化为求AN+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置 例1.如图，矩形ABCD中，AB4，BC8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ3，当CQ时，四边形APQE的周长最小 解：点A向右平移3个单位到M，点E关于BC
20、的对称点F，连接MF，交BC于Q， 此时MQ+EQ最小，PQ3，DECE2，AE2， 要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行， 即AP+EQMQ+EQ，过M作MNBC于N，设CQx，则NQ83x5x， MNQFCQ， MNAB4，CFCE2，CQx，QN5x，解得：x，则CQ 故答案为： 如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线yx上的一条动线段且PQ（Q在P 的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（） A（，）B（，）C（0，0）D（1，1） 解：作点B关于直线yx的对称点B（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线yx，并沿MN向下平移单位后得A（2，0
21、），连接AB交直线yx于点Q，如图 理由如下：AAPQ，AAPQ，四边形APQA是平行四边形，APAQ AP+PQ+QBBQ+AQ+PQ且PQ，当AQ+BQ值最小时，AP+PQ+QB值最小 根据两点之间线段最短，即A，Q，B三点共线时AQ+BQ值最小 B（0，1），A（2，0），直线AB的解析式yx+1 xx+1，即x，Q点坐标（，），故选：A （2021?聊城）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点，分别在轴，轴上，两点坐标分别为，线段在边上移动，保持，当四边形的周长最小时，点的坐标为 解：在上截取，作点关于轴的对称点，连接交于点， ， 四边形是平行四边形， ， 点与点关于轴对称，
22、 ，点坐标为， 四边形的周长， 四边形的周长， 和是定值， 当有最小值时，四边形的周长有最小值， 当点，点，点共线时，有最小值， 点， 点， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 当时， 点， 故答案为：， 课后训练 1.如图，在锐角ABC中，ACB50；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当PMN的周长最小时，MPN的度数是（） A50B60C70D80 D PDAC，PGBC，PECPFC90，C+EPF180， C50，D+G+EPF180，D+G50， 由对称可知：GGPN，DDPM，GPN+DPM50，MPN1305080， 选D 2.如图，在四边形
23、ABCD中，DAAB，DA6，BC150o，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BPPQ最小值是( ) A. 12B. 15C. 16D. 18 D 如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF，EF，则EBEF， BC150o，BEC30o，BEF60o，BEF是等边三角形， 连接BP，PF，PQ，则BPFP，BPQPFPPQ， 当F，P，Q在同一直线上且FQEB时，BPPQ的最小值为FQ的长， 此时，Q为EB的中点，故与A重合， DAAB.DA6，AE ， RtQEF中，FQAE18， BPPQ最小值值为18，故选D. 3.如图，已知等边ABC的
24、面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（） A3B2CD4 解：如图，作ABC关于AC对称的ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QRER， 当点E，R，P在同一直线上，且PEAB时，PR+QR的最小值是PE的长， 设等边ABC的边长为x，则高为x， 等边ABC的面积为4， xx4，解得x4， 等边ABC的高为x2， 即PE2，故选：B 4.如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作A、B，M，N 分别是A、B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（） A54B1C62D 解：作A关于x轴的对称A，
25、连接BA分别交A和B于M、N，交x轴于P，如图， 则此时PM+PN最小，点A坐标（2，3），点A坐标（2，3）， 点B（3，4），AB5， MNABBNAM53154，PM+PN的最小值为54故选：A 5.如图，矩形ABCD中，AB4，BC6，点P是矩形ABCD内一动点，且，则PCPD的最小值为 . 如图，作PMAD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC.设AM， 四边形ABC都是矩形，AB/CD， AB CD4， BCAD6， ，2， AM2，DMEM4，在RtECD中， PM垂直平分线段DE，PDPE，PCPDPCPEEC，PDPC， PDPC的最小值为. 6.如图，矩形ABC
26、O的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6）， 点E、F分别足OC、BC的中点，点M，N分别是线段OA、AB上的动点（不与端点重合），则当四边形EFNM 的周长最小时，点N的坐标为（4，6） 解：如图所示：作点F关于AB的对称点F，作点E关于y轴的对称点E， 连接EF交AB与点N C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点， OEOE4，FBCF3，EC12，CF9ABCE， FNBFEC，即，解得BN4， AN4N（4，6）故答案为：（4，6） 7.如图，在ABC中，ACB90o，以AC为边在ABC外作等边三角形ACD
27、，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE （1）说明：AECEBE； （2）若DAAB,BC6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PBPC最小，并求出此时PBPC的值. （1）见解析；（2）12 （1）ADC是等边三角形，DFAC， DF垂直平分线段AC，AEEC，ACECAE， ACB90o，ACEBCE90oCAEB90o， BCEB，CEEB，AECEBE； （2）连接PA,PB,PC，如图所示： DAAB，DAB90o， DAC60o，CAB30o，B60o，BCAEEBCE6. AB12， DE垂直平分AC，PCAP，PCPBPA， 当PBPC最小时，也就是PB
28、PA最小，即P,B,A共线时最小， 当点P与点E共点时，PBPC的值最小，最小值为12. 8.已知：矩形ABCD中，AD2AB，AB6，E为AD中点，M为CD上一点，PEEM交CB于点P，EN平分PEM交BC于点N. （1）求证：PEEM； （2）用等式表示BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明； （3）过点P作PGEN于点G，K为EM中点，连接DK、KG，求DKKGPG的最小值. （1）见解析；（2）BP2NC2PN2；（3） （1）证明：过P作PQAD于Q，则PQAB，如图所示： AD2AB，E为AD中点，AD2DE，PQDE， PEEM，PQEDPEM90o，QPEPEQPEQ
29、DEM90o， QPEDEM，PQEEDM（ASA），PEEM； （2）三者的数量关系是：BP2NC2PN2 点N与点C重合时，P为BC的中点，显然BP2NC2PN2成立； 点P与点B重合时，N为BC的中点，显然BP2NC2PN2成立； 证明：连接BE、CE，如图所示： 四边形ABCD为矩形，AD2AB，E为AD中点， AABC90o，ABCDAEDE， AEB45o，DEC45o，在ABE和DCE中， ABEDCE（SAS），BEC90o，BECE，EBCECB45o，EBCECD， 又BECPEM90o，BEPMEC，EBPECM 在BEP和CEM中，BEPCEM（ASA），BPMC，PE
30、ME， EN平分PEM，PENMEN45o，在EPN和EMN中， EPNEMN（SAS），PNMN， 在RtMNC中有：MC2NC2MN2，BP2NC2PN2； （3）连接PM，如图所示： 由（2），可得PN MN， PE ME，EN垂直平分PM，PGEN， P、G、M三点共线，且G为PM的中点， K为EM中点，又D90o， 由（2），可得PEM为等腰直角三角形， 根据勾股定理，可得， 当ME取得最小值时，DKGKPG取得最小值， 即当MEDE6时，DKGKPG有最小值，最小值为. 第25页 共25页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页