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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版精选名师资料学习必备欢迎下载“任意”和“存在”在不等式含参问题中的差异在高三一轮复习中，我们经常接触到一些含有“任意”或“存在”字眼的不等式含参问题，这是复习中的难点，确是高考的热点，20XX年新课标全国高考文科21 题第二问就是一道涉及“任意”字眼的不等式含参问题。结合高三一轮复习，我发现这两个字眼在不等式含参问题中存在着戏剧性的差异，现做些简单分析。一、“任意”在不等式含参问题中的解法。王员外家有四个千金，想招一个年龄比四个女儿都 大的女婿， 那么王员外在年龄上应遵循什么呢？答案很显然，这个女婿只需比他的大女儿的岁数大即可。从这个浅显的例子我
2、们可以抽象出这样一个常识： “比最大值大， 则比其它值均大， 比最小值小， 则比其它值均小。 ”现实生活中，这样的逻辑常识比较常见，如，要比213 班全班学生都高，只需比全班最高的那个高； 要比全班学生都矮，只需比最矮的那个矮。我在个人的教学实践中发现这个常识在解含 “任意” 字眼的不等式含参问题中有着比较重要的作用，现举例说明它的重要性，同时也鼓励广大同学留意类似的生活常识，学着将其应用于数学难题的思考中，有时可以做到事半功倍。a例 1：求使不等式x4x3a 对任意xR恒成立的的取值范围？y =x-4 -x -3解析：令要使 x4x3a 对一切 xR只需aymaxy =x -4 -x -3y
3、max= 1法 1：由的图像可求得a1ababab法 2：由不等式的重要性质知x4x3( x4)( x3)1ymax= 1a1注：要使一个参数要比一个式子大恒成立，只须比这个式子的最大值还要大即可。x2( y1) 20 恒成立时， 求 d例 2：设实数 x, y 满足1 ，当 x的取值范围？yd解析：当 xyd0 恒成立，即d( xy)d( xy) 的最小值恒成立，只须精品学习资料第 1 页，共 6 页精选名师资料学习必备欢迎下载-( x +y) 的最值。即可，故而将问题转化为求解：设xcos, y1sin,xcos, ysin1（三角换元，也可以认为是将圆的方程改写为参数方程）则：d( x(
4、sin2(siny)cos)1)cos12 sin()14)2而22 sin(422 sin()24212 sin()12142 sin()1的最小值为21 ，即( xy) 的最小值为21 。4d21要使d( xy) 恒成立，只须注：要使一个参数要比一个式子小恒成立，只须比这个式子的最小值还要小。二、“存在”字眼在不等式含参问题中的解法。若王员外的择婿条件变成找一个比其中一个女儿的年龄大的女婿的话，那年龄的要求只需比最小女儿的年龄大。这一常识可以应用于解含“存在”字眼的不等式含参问题。axR使不等式x4x3a 成立时的例 1（引）：求存在的取值范围？y =x-4-x -3解析：令x4x3a 只
5、需存在xR使aymin由 y=x -4 -x -3-7的图像可求得ymina-7注：字眼从“任意”变到“存在”，结果就从aymaxaymin变为，真是戏剧性的转变呀。2x( y1) 2x, yd 的取1 ，使 x例 2（引）、设存在实数满足yd0 成立，求值范围？精品学习资料第 2 页，共 6 页精选名师资料学习必备欢迎下载x, y使 xyd0 成立，即 d( xy) 成立，只须 d(xy) 的解析：存在实数-(x+y) 的最值。最大值即可，故而将问题转化为求解：设xcos, y1sin,xcos, ysin1（三角换元，也可以认为是将圆的方程改写为参数方程）则：d( x(sin2(siny)
6、cos)1)cos12 sin()14而)222 sin(422 sin()24212 sin()12142 sin()1的最大值为21，即( xy)21 。的最大值为4x, y使 xyd0 成立，只须d21存在实数注：字眼从“任意”变到“存在”，结果就从dymin变为 dym ax，真是戏剧性的转变呀。三、典例分析通过以上的例子大家对含“任意” 或“存在” 字眼的不等式含参问题的解法已有了认识，下面一起来解决20XX年新课标全国卷（文）21 题x例 3、2012 课标全国卷21设函数 f ( x) e ax 2.(1) 求 f ( x) 的单调区间；(2) 若 a 1， k 为整数，且当x0
7、 时， ( xk) f (x) x 10，求 k 的最大值x解： (1) f ( x) 的定义域为( ， ) ， f (x) e a.若 a0，则 f (x)0 ，所以f ( x) 在 ( ， ) 单调递增若 a0，则当 x ( ， ln a) 时， f (x)0 ，所以， f ( x) 在 ( ， ln a) 单调递减，在(ln a， ) 单调递增(2) 由于 a 1，所以 ( xk) f (x) x 1( x k)(e 1) x1.x故当 x0 时， ( x k) f (x) x10 等价于精品学习资料第 3 页，共 6 页精选名师资料学习必备欢迎下载x 1k0) e 1（注： k 小于一
8、个式子对任意大于0 的 x 恒成立只需比它的最小值小）x 1令 g( x) x x，e 1所以kg(x)minxxxxe 1x xxe而 g(x) 2 1.2x由 (1) 知，函数h( x) e x 2 在 (0 ， ) 单调递增而h(1)0 ，所以 h( x)在(0 ， ) 存在唯一的零点故g(x) 在(0 ， ) 存在唯一的零点设此零点为 ，则 (1,2)当 x (0 ， ) 时， g(x)0.所以 g( x) 在 (0 ，)的最小值为g( ) 又由 g( ) 0，可得 e 2，所以 g( ) 1 (2,3)由于式等价于kg( ) ，k2故整数 k 的最大值为2.2xlnx, g(x)-x
9、 2例 4、已知 f(x)3ax（ 1）求函数f ( x)的最小值；若存在 x( 0,) ，使 f ( x)g ( x) 成立，求实数a 的取值范围。（ 2）) ， f ( x)解析：（ 1） f ( x) 的定义域为(0,2(ln1)x1e ( x)令 f0 得xx1(0,)e_1e01e,)(+f( x)f(x)2e-极小值1f ()e立 ， 即2-e存 在只有一个极小值点，也就是最小值点，所以，f(x)min（ 2 ） 存 在x(0,)f ( x)g( x)成x(0,)， 使使22xlnx-xax3 成立。3成立，x也就是存在x(0,) 使a2lnxx精品学习资料第 4 页，共 6 页精
10、选名师资料学习必备欢迎下载3x只需a(2lnxx) min3 , x x(0,)记h(x)2lnxx2x3( x3)( x1)3(舍）h (x)10 得 x1, x22xxx(0,1)(1,)1h _0+(x)极小值4h(x)h(x)f (1)4 ，所以a4所以，mina32例 5、设 f ( x) xlnx， g( x) x x 3.x(1) 当 a 2 时，求曲线y f ( x) 在 x 1 处的切线方程；(2) 如果存在x1，x20,2使得 g( x1) g( x2) M成立，求满足上述条件的最大整数M；12， 2(3) 如果对任意的s， t 都有f ( s) g( t ) 成立，求实数
11、a 的取值范围 .解：（ 1）当 a 2 时， f ( x) 2 xlnx2x 2(x)(1)x，fln1, f(1)x2, f1故y2(x1)x1处的切线方程为xy - 30所以曲线在（ 2 ） 存 在， x20,2使 得g( x2) M成 立 ，等价于x1g( x1)Mg(x 1 )g( x2 ) maxg(x)maxg( x) min23232)g( x) x x 3， g(x)3 x2 x3 x( xx2232302 ,2)30(0,)(_+g (x)g(x)-318527-极 ( 最) 小值852711227g(x)min =1- （ -所以，Mg(x 1 )g( x2 ) maxg
12、 (x) max）=所以满足条件的最大整数M=4精品学习资料第 5 页，共 6 页精选名师资料学习必备欢迎下载1,2,21, 22s,t（ 3）对 任 意 的f ( s) g( t ) 成 立 ， 等 价 于 在 区 间都 有上1,2 上，2f ( x) ming (x) max ，由（ 2）知，在区间g( x) maxg(2)1f ( x) min1 ，又因为所以，f (1)a,a11,2 上 f (x)2a1时，在区间下证明112a1x,2当 a1且 xx ln x xlnxfx时，() x1,h ( x)x12x11ln x1, h (1)0记h(x)xlnx2x1,1 时，2h ( x
13、)x当ln x10 ，h ( x)x1,2 时，ln x10当2x121x在 ,1) 上递减，在(1,2 上递增所以h(x)xlnxh( x) minh(1)1 ， h(x)1 ，所以 f (x)1 ， f ( x) min1a1所以从以上几个例子，大家发现灵活的处理好“任意”和“存在”在不等式含参问题中的戏剧性作用， 大家可从生活中留意类似的常识，尝试将他们用于数学问题的思考与解决中，有时难题可以迎刃而解，知识点的参悟也可以提到一定的高度上。让我们在数学的学习上也做个处处留心的有心人吧! 相信通过不懈的努力学习数学会越来越轻松的。这也是我们努力的目标，加油吧！精品学习资料第 6 页，共 6 页