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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版名师归纳总结学习必备欢迎下载导数及其应用知识点总结一、导数的概念和几何意义f (x2 )x2f ( x1 )x1函数的平均变化率：函数f (x) 在区间。1. x1, x2 上的平均变化率为：导数的定义：设函数f ( x) 在区间 (a,b) 上有定义，2.yx0( a, b) ，若x 无限趋近于0 时，比值f (x0x)xf ( x0 )yx无限趋近于一个常数A，则称函数f (x) 在x0 处可导， 并称该常数A为函数f (x) 在xxx0 处的导数，记作f ( x0 ) 。函数f ( x)在xx0 处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。求函数导
2、数的基本步骤：（1 ）求函数的增量3.yf ( x0x)f ( x0 )；（ 2 ）求平均变化率：f ( x0x)xf ( x0 )f (x0x)xf (x0 )；（ 3）取极限，当x 无限趋近与时，无限趋近与一个常数A，则0f (x0 )A .导数的几何意义：4.函数 f (x) 在xx0 处的导数就是曲线f (x) 在点(x0 , f ( x0 )处的切线的斜率。由此，可以利用导数求y曲线的切线方程，具体求法分两步：（ 1）求出 yf ( x) 在 x0 处的导数，即为曲线f ( x) 在点y( x0 , f ( x0 )处的切线的斜率；（ 2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方
3、程为yy0f (x0 )( xx0 ) 。当点P 的P(x0 , y0 ) 不在yf ( x) 上时，求经过点的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到yf ( x)切线方程， 再将 P 点的坐标代入确定切点。特别地， 如果曲线f ( x) 在点y处的切线平行与y 轴，( x0 , f ( x0 )这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为xx0 。导数的物理意义：质点做直线运动的位移 二、导数的运算1.常见函数的导数：5.S是时间t 的函数S(t ) ，则 VS (t ) 表示瞬时速度，v (t) 表示瞬时加速度。a(kxb)k ( k,（ 1）b 为常数) ；（2） C0( C为常数 )
4、；2( x )（ 3）1 ；（4）(x)2x ；( 1 )12x3(x )23 x ；（ 5）（6）；x1( x)x 1 （ 为常数）；（ 7）；（8）(x)2x精品学习资料第 1 页，共 6 页名师归纳总结学习必备欢迎下载x)1 loge1xln a（ 9） (ax )xa ln a(a0, a1) ；（10） (log( a0, a1) ；aax1x（ 11） (ex )xe ；cosx ；（12） (lnx)；（ 13） (sin x)（ 14） (cos x)sin x 。函数的和、差、积、商的导数：2.（ 1） g ( x) ；（ 2） CfCf ( x) （ C 为常数）；f (
5、x)g( x)f (x)( x)ff ( x) g( x)( x)g( x)f ( x) g(x)（ 3） ;（ 4） f ( x) g( x)f (x)g (x)f (x) g ( x)。(g( x)0)2g (x)简单复合函数的导数：3.若 yaxb ，则f (u), uyxyuux，即yxyua 。三、导数的应用求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数1.在区间(a, b) 内可导，yf ( x)（ 1）如果恒（ 2）如果恒（ 3）如果恒0 ，则函数0 ，则函数0 ，则函数f ( x) 在区间f ( x) 在区间f ( x) 在区间(a,b) 上为增函数；(a,b) 上为减
6、函数；(a,b) 上为常数函数。ff f(x)(x)(x)yy y利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数f ( x) 的定义域；求导数(x) ；0 ，解集在定义域内的yf(x)解不等式0 ，解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式f ( x)f不间断区间为减区间。反过来 ,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）： 设函数 yf ( x) 在区间 (a,b) 内可导，x 值不构成区间) ；(1) 如果函数y(2)如果函数(3)如果函数f (x) 在区间 ( a,b) 上为增函数 , 则 f ( x)0 ( 其中使f (x)0 的在区间 (a,b) 上为减函数 , 则
7、0 ( 其中使0 的 x 值不构成区间) ；yyf ( x)f (x)f (x)f ( x) 在区间 (a,b) 上为常数函数, 则 f ( x)0 恒成立。求函数的极值：2.设函数 yf (x) 在x0 及其附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点都有f ( x)f ( x0 )（或 f ( x)f (x0 )），则称f (x0 ) 是函数f ( x) 的极小值（或极大值）。可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：（ 1）确定函数f ( x) 的定义域； （ 2）求导数 f ( x) ；（3）求方程 f ( x)0 的全部实根，x1x2xn ，顺次将定义域分成若干个小区间，并
8、列表：变化时，(x) 和f ( x) 值的变化情况：xfx(, x1 )x1( x1 , x2 )xn(xn ,)f (x)正负正负正负00f (x)单调性单调性单调性（ 4）检查f ( x) 的符号并由表格判断极值。求函数的最大值与最小值：3.如果函数f ( x) 在定义域I 内存在x0 ，使得对任意的xI ，总有f ( x)f ( x0 ) ，则称f (x0 ) 为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。精品学习资料第 2 页，共 6 页名师归纳总结学习必备欢迎下载求函数f ( x) 在区间 a, b 上的最大值和最小值的步骤：（ 1）求 f (
9、 x) 在区间 ( a, b) 上的极值；（ 2）将第一步中求得的极值与f (a), f (b) 比较，得到f ( x) 在区间 a, b 上的最大值与最小值。解决不等式的有关问题：（ 1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。4.0 ，即 b0 ；不等式f ( x)( xA) 的值域是 a, b 时，不等式f ( x)0 恒成立的充要条件是f ( x)maxa0 。0 恒成立的充要条件是0 ，即f ( x)f ( x) minb0 ；不等式f ( x)f ( x)( xA) 的值域是 ( a, b) 时，不等式0 恒成立的充要条件是0 恒成立的f (x)a0 。充要条件是（ 2 ） 证 明 不 等 式可 转 化 为 证 明f (x)00 ， 或 利 用 函 数的 单 调 性 ， 转 化 为 证 明f ( x) maxf (x)f ( x)f (x0 )0 。导数在实际生活中的应用：实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值 注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。5.在利用导数来求函数最值时，一定要.精品学习资料第 3 页，共 6 页名师归纳总结学习必备欢迎下载精品学习资料第 4 页，共 6 页名师归纳总结学习必备欢迎下载精品学习资料第 5 页，共 6 页名师归纳总结学习必备欢迎下载精品学习资料第 6 页，共 6 页