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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版数的开方 知识点及复习知识点一：平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于aa，这个数就叫做的平方根。（2）开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.2a（3）平方根的表示：a 的平方根记作:a或。a 叫做被开方（4） 求一个数的平方根的方法：利用平方和开平方互为逆运算（5） 平方根的性质一个正数有两个平方根，它们互为相反数身负数没有平方根。0 有一个平方根，它是0 本（6） 算术平方根的定义：非负数（7） 算术平方根表示：一个非负数a 叫做被开方数a 的正的平方根。a 的平方根用符号表示为： “a ”，读作：“根号 a”，其中（8）算术
2、平方根的性质没有算术平方根。注：: 正数a 的算术平方根是一个正数；0 的算术平方根是0；负数aa(a 0)是一个非负数 , 0;算术平方根是非负数，具有非负数的性质；即若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；0，算术平方根等于本身的数有0、1;平方根等于本身的数只有a )2=a(a 0)；(非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：a aa a02a=|a|=某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即0a，aa ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，平方根有三种表示形式：，a a非负数 a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。要特别
3、注意：平方根与算术平方根的区别与联系：区别：定义不同联系 : 具有包含关系： 知识点二、立方根：个数不同：存在条件相同：表示方法不同： 00。的平方根和算术平方根都是（ 1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根（也叫三次方根）。3如果 x3=a，则 x 叫做 a 的立方根。记作：xa,a” 。读作“三次根号（ 2）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方（ 3）求一个数的立方根的方法：利用立方和开立方互为逆运算3（ 4）立方根的性质一个正数有一个正的立方根，即若a0，则0一个负数有一个负的0。a33a0 0 的立方根是立方根，即若a0，则a=0，则a0，即若注：若两
4、数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；0、1、-1.立方根等于本身的数有精选精品精选学习资料第 1 页，共 12 页典型例题 :例 1、x 为何值时，下列代数式有意义。13 xxx11x232xx22x3（ 1）（ 2）（ 3）（ 5）（ 4）1( x1)2（ 6）4 ，求 a+2b 的平方根。例 2、已知 2a-1 的算术平方根是3， 3a+b-1 的平方根是yx33x2 ，求 x+3y例 3、若 x、y 都是实数，且的平方根。a ba2b3例 4、如果Mab3 是a+b+3 的算术平方根，Na2b 是a+2b 的立方根，求M N的立方根。a 273aba49
5、0 ，求实数例 5已知：a, b的值。练习：1、填空：（ 1）0.25 的平方根是92;16,的算术平方根是的平方根是。2 的相反数是3 的倒数是31的绝对值是。（ 2），；（ 3）（ 3）=81，1625，( 3) 2 =精选精品精选学习资料第 2 页，共 12 页2x1 有意义； 若xx 有意义， 则 x；当 m 时，（ 4）当 x时,33（ 5）m 有意义；当m 时，m3 有意义381 的平方根是 ，4 的算术平方根是64 的平方根是 ，64 的 ，立方根是。a ，这个正数是（ 6）若一个正数的平方根是2a1 和a2 ，则2 是 m的一个平方根, 那么 m的算术平方根是（ 7）如果有 ;
6、(1)2(1)233（ 8）计算：1= 2ab3222a1(b3)0 ，则3c（ 9）已知；(a+2)|b 1| 0，则 a bc3。m3（ 10）某种洗衣机的包装箱是长方形, 其高为1.2m ,体积为 1.2,底面是正方形, 则该包装箱m.的底面边长为2( c3)（ 11）已知 ABC的三边长分别为a、b、c, ，且满足0 , 则此 ABC的周a3b4长=。112121（ 12）请你观察、思考下列计算过程：因为12111，同样，因为，所以21112、选择：（ 1）一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（12321 ，所以1232111112345678987654321= 由此猜想）A
7、、 1 B、 0C、 -1D(、1， -1)或 0（ 2）下列各式中无意义的是32233)BA、BC、D3、（ 3）下列说法正确的是(A、4 的平方根是2、-164的平方根是3C、实数 a 的平方根是aD、实数 a 的立方根是）a（ 4）有理数中，算术平方根最小的是（A、1B、0C、0.1D、不存在（ 5）下列说法中，正确的是（）27 =3A 、27 的立方根是3，记作B、-255的算术平方根是3C 、 a 的三次立方根是aa、正数 a 的算术平方根是D3a 的值是（ 6）（ B） 是负数（A） 是正数（C）（ D） 以上都可能是零20.7，则（B ） 0.7x 2（ 7）若x（）（A ） -
8、 0.7（ C） 0.7（ D） 0.49精选精品精选学习资料第 3 页，共 12 页1161，83232 ， 3388 164 ，（ 8）下列等式： 22 ，242 ；正确的有（ B） 3（A） 4）个（ C）2（ D） 1（ 9）设 x 、y 为实数，且5 ，则y 的值是（）y45xxxA、1B、9C、 4D、5（ 10）下列说法中正确的是（ A 、4 是 8 的算术平方根C、6 是 6 的平方根（ 11）下列各式中错误的是（）B 、16 的平方根是4a 没有平方根D 、）0.361.440.61.20.361.440.61.2A 、B、C、D 、）（ 12）下列计算中正确的是（A、321
9、8232B164a 29169431、123123C、D、2a423、求下列各数的平方根和算术平方根：2542（ 1）284（ 2）（ 3）16252561.440.014、计算：（1）（2）（ 3）（ 4）21167 )28231043（ 7）（ 5）0.125 -3(13（ 6）+1) 23( 4)5126) 2（ 8）(1（9） 383322184精选精品精选学习资料第 4 页，共 12 页5、解方程：1214922（ 1） 4 x 29（ 2） x11（ 3） 53 x0 333（ 5） (2 x1)8（ 4） (x+3)=27+125=0（ 6） 64(x-1)121 )226、已知
10、实数a, b, c 满足ab2bc(c0 ，求a(bc) 的值 .1)2(b1)2(ab) 27、a、 b 在数轴上的位置如图所示，化简：(a8、已知 2x-1 的平方根是3， 3x+y-1 的平方根是 4，求 x+2y 的平方根。2) 2a 、 b 满足条件9、已知：实数1(ab0a1ab11)( b12)( b12004)(b试求的值(a1)( a2)( a2004)精选精品精选学习资料第 5 页，共 12 页知识点三：实数1无理数的定义基础知识: （）叫做无理数有理数总可以用（2有理数与无理数的区别：）或（）表示；反过来，）小任何（）或（）也都是有理数。而无理数是（数，有理数和无理数区别
11、之根本是有限及无限循环和无限不循环。有理数可以化成（），无理数不能化成（3. 常见的无理数类型）。1.41421356(1)(2)一般的无限不循环小数，如：0.1010010001 ( 相邻两个1 之间0 的个数逐次看似循环而实际不循环的小数，如加 1) 。(3)有特定意义的数，如： =3.14159265 3, 3(4).开方开不尽的数。如：5 。4实数 、概念 ： 和 统称为实数。- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -有限小数或小数- - - - - - - - - - - - - - -5、 分类按定义实数- - - - - - -
12、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -无限不循环小数- - - - - -正实数0负实数按性质6、实数的有关性质a 与 b 互为相反数 =a+b=0a 与 b 互为倒数 =ab=1任何实数的绝对值都是非负数，即a 0,即 a =a互为相反数的两个数的绝对值相等正数的倒数是正数; 负数的倒数是负数; 零没有倒数 .A. 实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点是一一对应的关系B. 实数的大小比较：1. 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。2.正数大于
13、零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。C.实数中的非负数及其性质非负数有如下三种形式任何一个实数a 的绝对值是非负数，即a 0a 2任何一个实数的平方是非负数，即 0；精选精品精选学习资料第 6 页，共 12 页a 0任何一个非负数a 的算术平方根是非负数，即(4)、非负数有以下性质：几个非负数之和等于0，则每个非负数有最小值零非负数都等于0。二、典型例题有限个非负数之和仍然是非负数类型一有关概念的识别22，73例 1下面几个数：0.123 7，1.0100100015 ，其中，无理数-0.064 ， 3 ，的个数有（）A、1举一反三：B、2C 、3D 、 4【变式
14、 1】下列说法中正确的是（）A、81 的平方根是3相反数C 、1 = 1D 、 -5 是 5 的平方根的B、 1 的立方根是1【变式 2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对A，则点A 表示的数是（角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点）A、 1 12C 、2D、3B 、1.422【变式 3】3- 93- 10类型二计算类型题26a ，则下列结论正确的是（例 2设）C.A. 4.5a举一反三：5.0B. 5.0a5.55.5a6.0D. 6.0a6.5【变式 1】（ 1） 25 的算术平方根是 ；平方根是 . （ 2） -27立方根是1827 .（ 3）2 ，41
15、69 ，3 .【变式 2】求下列各式中的2x2x325（ 1）x1964（ 2）（ 3）精选精品精选学习资料第 7 页，共 12 页类型三数形结合点 A 在数轴上表示的数为35 ，点 B 在数轴上表示的数为5 ，则 A， B两点的距离为例 3.例 4. 已知实数、在数轴上的位置如图所示：2cacbabacb化简举一反三：2 的对应点分别为【变式 1】如图，数轴上表示1，A， B，点B 关于点A 的对称点为C，则点 C 表示的数是（）2 - 1 1 -2 2 -22 - 2ABCD类型四实数绝对值的应用例 5、化简下列各式：(1)21.42(2) | -3.14 (3)232(4) |x-|x-
16、3| (x 3)(5) |x+6x+10|举一反三：322232 -3【变式 1】化简：类型五实数应用题例 6、有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm 的矩形，要作一个面积为这两个cm。图形的面积之和的正方形，问边长应为多少精选精品精选学习资料第 8 页，共 12 页类型六实数非负性的应用a 273aba490 ，求实数a, b例题 7、已知：的值。举一反三：22+3-z3 的值。【变式 1】已知(x-6)2 x6 y+|y+2z|=0，求 (x-y)2【变式 2】已知2510 那么 a+b-c 的值为 abc类型七易错题例题 8、判断下列说法是否正确2（ 1）（2）225
17、 的平方根是15.- 3的算术平方根是-3 ；3 是分数2（ 3）当 x=0 或 2 时，xx20（ 4）类型八引申提高22例题 9、已知29 的整数部分为a，小数部分为b，求 a -b 的值.A 组（基础）一、选择题1下列各式中正确的是（）25 195 133164644AB.C.- 93D.精选精品精选学习资料第 9 页，共 12 页16 的平方根是2.( )A 4下列说法中B.C. 2D.无理数都是无限小数3. -2 是 4 的平方根无限小数都是无理数带根号的数都是无理数。其中正确的说法有（）个A 3 个B. 2C. 1）C.D. 0个个4和数轴上的点一一对应的是（A整数5对于B. 有理
18、数D.实数无理数2 -3 来说（）A有平方根B只有算术平方根C.D.不能确定没有平方根， 0，- 3 0.001， ,3 ,3.14，2276在,0.10100100011”之间依次多1 个“ 0”）中，（两个“2,3无理数的个数有（）A 3 个7. 面积为A 1B. 4C. 5个D. 6个个11 的正方形边长为x，则x 的范围是（）5x3B.3x4C.x10D. 10x1008下列各组数中，互为相反数的是（）122333A -2 与288 与82 与2B.C.D.与9-8 的立方根与A 04 的平方根之和是（）B. 4C. 0或-4D. 0或 410已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然
19、数的下一个自然数的算术平方根是（）a2a 2A a二、填空题1a11B.C.1D.6 的相反数是 ，绝对值等于2 的数是 ，11 = 。381281 的算术平方根是12 。 ， 313. 的平方根等于它本身，14. 已知 x的算术平方根是 的立方根等于它本身， 的算术平方根等于它本身。8，那么 x 的立方根是 。15填入两个和为6 的无理数，使等式成立： + =6 。2 ，小于10 的整数有 个。16大于17若 2a-5 与b2 互为相反数，则a= ， b= 。18若 a=6，b =3，且 ab0，则 a-b= 。5 、52 ，则 A、 B 两点间的距离为19. 数轴上点20. 一个正数三、解
20、答题21计算A，点 B分别表示实数x 的两个平方根分别是 。a+2 和 a-4 ，则 a= ， x= 。精选精品精选学习资料第 10 页，共 12 页 3- 729212223-22 - 23-9- 2- 4- 45 - 2 ） 4 9 + 23 个有效数字）（结果保留22、在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排- 1.5,0,2，-2，-列，用“”号连接：B组（提高）一、选择题：1 0.0196 的算术平方根是（ ）C 0.140.014A0.14B 0.014D2- 6的平方根是（2）6A 6B 36C 6Da 33a ；64 的立方根是3下列计算或
21、判断：3 都是 27 的立方根；2；2384 ，其中正确的个数有（）A1 个B 2 个C 3 个（ ）D4 个4在下列各式中，正确的是233233322 ; B 0.064）0.4 ;220A22 ;C D 5下列说法正确的是（A 有理数只是有限小数B无理数是无限小数C无限小数是无理数D 是分数36下列说法错误的是（）23B311A2323211C2 的平方根是D 精选精品精选学习资料第 11 页，共 12 页a 24, b29 ，且B ab0 ，则Cab 的值为D7若A（ ）8下列结论中正确的是（ ）A数轴上任一点都表示唯一的有理数;B数轴上任一点都表示唯一的无理数;C.两个无理数之和一定是
22、无理数;D.数轴上任意两点之间还有无数个点9-27的立方根与81的平方根之和是（）D -12A 0B 6C 0 或-6（ ）或 610下列计算结果正确的是0.430.06689530253660.490096AB C D 二填空题 :2、57 、 、2.25 、11下列各数：3.141 、 0.33333、3 0.3030003000003（相邻两个3 之间 0 的个数逐次增加2）、 0 中, 其中是有理数的有 ；无理数的有 . （填序号）12 4 的平方根是 ； 0.2169的立方根是 .13算术平方根等于它本身的数是 . ；立方根等于它本身的数是314.7 的相反数是 ；绝对值等于3 的数是 15. 一个正方体的体积变为原来的三、解答题：16. 计算或化简：27 倍，则它的棱长变为原来的 倍.1332 x28(1)2x827 -12(2)(3)（ 4）16x21) 28(x3)33610（5） ( x2527（6）17观察右图，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？估计边长的值在哪两个整数之间。把边长在数轴上表示出来。精选精品精选学习资料第 12 页，共 12 页