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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版学习必备欢迎下载高一数学知识总结必修一 一、集合一、集合有关概念 集合的含义 集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由元素的无序性: 如：3.集合的表示：用拉丁字母表示集合：HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Ya,b,c 和 a,c,b 是表示同一个集合如： 我校的篮球队员 ， 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋A= 我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N正整数集N* 或整数集 Z有理数集 Q实数集 RN+列举法： a
2、,b,c描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。x-32 ,x| x-32xR|语言描述法：例：Venn 图 : 4、集合的分类： 不是直角三角形的三角形有限集无限集 空集含有有限个元素的集合含有无限个元素的集合 不含任何元素的集合例： x|x2= 5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集AB 有两种可能（ 1） A 是 B 的一部分，；（ 2）A 与 B 是同一集合。注意：反之 : 集合A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合A, 记作 AB 或BA2“相等”关系：(5 5，且 5 5，则 5=5)A=B实例：设“元素相同则两集合相等”AAA=x|x2-1=
3、0B=-1,1即：任何一个集合是它本身的子集。真子集 :如果AB,且 AB 那就说集合A 是集合 B 的真子集，记作B( 或ABA)如果B, BC ,那么AAC 如果 AB同时A 那么 A=BB3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有2n 个子集， 2n-1 个真子集精品资料精品学习资料第 1 页，共 29 页学习必备欢迎下载二、函数1、函数定义域、值域求法综合2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略3、恒成立问题的求解策略4、反函数的几种题型及方法5、二次函数根的问题一题多解 & 指数函数y=ax aa*ab=
4、aa+b(a0,a 、 b 属于 Q)(aa)b=aab(a0,a 、 b 属于 Q)(ab)a=aa*ba(a0,a 、b 属于指数函数对称规律：Q)1、函数2、函数3、函数y=ax 与y=ax 与y=ax 与关于关于y 轴对称x 轴对称y=a-xy=-axy=-a-x 关于坐标原点对称& 对数函数y=logaxa0 ，且a1 ， M0 ， N0，那么：如果log a (MlogMlog a N ；N )a1MNlog alogMlogN2aa；nlog aMlogM(nR) n3a注意：换底公式loglogbclogbaaa0 ，且a1 ； c0 ，且c1 ； b0 ）c（R)幂函数 y=
5、xa(a 属于yx(aR)的函数称为幂函数，其中为常数1、幂函数定义：一般地，形如2、幂函数性质归纳（ 1）所有的幂函数在（0， +）都有定义并且图象都过点（1， 1）； 0,) 上是增函数 特别地，当0 时，幂函数的图象通过原点，1（ 2）并且在区间01时，幂函数的图象上凸；时，幂函数的图象下凸；当(0,) 上是减函数在第一象限内，当0 时，幂函数的图象在区间x 从右边趋（ 3）向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当限地逼近 x 轴正半轴x 趋于x 轴上方无时，图象在方程的根与函数的零点精品资料精品学习资料第 2 页，共 29 页学习必备欢迎下载yf ( x)( xD) ，把使
6、f ( x)0 成立的实数x 叫做函数1、函数零点的概念：对于函数yf (x)( xD )的零点。yf ( x) 的零点就是方程f ( x)0 实数根， 亦即函数yf (x)2、函数零点的意义： 函数的图象与 x 轴交点的横坐标。f ( x)0 有实数根yf ( x) 的图象与yf (x) 有x 轴有交点即：方程函数函数零点3、函数零点的求法：f (x)0 的实数根；1（代数法）求方程yf ( x) 的图象联系起来，2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：2yaxbxc(a0) 二次函数2x 轴有两个交点，axbxc0 有两不等实根，二次
7、函数的图象与（ 1），方程二次函数有两个零点2x 轴有一个交点，axbxc0 有两相等实根，二次函数的图象与（ 2），方程二次函数有一个二重零点或二阶零点2x 轴无交点，二次函数axbxc0 无实根，二次函数的图象与（ 3），方程无零点三、平面向量 向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量 有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为0 的向量单位向量：长度等于1个单位的向量相等向量：长度相等且方向相同的向量& 向量的运算 加法运算AB BC AC ，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。已知两个从同一点O 出发的两个向量OA 、 OB，以 OA 、OB 为邻边作平行四边
8、形，OACB则以 O 为起点的对角线边形法则。 对于零向量和任意向量OC 就是向量OA 、 OB 的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四a，有： 0 a a 0 a。精品资料精品学习资料第 3 页，共 29 页学习必备欢迎下载|a b| |a| |b|。向量的加法满足所有的加法运算定律。减法运算与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 是零向量。a 的相反向量，( a) a，零向量的相反向量仍然（1） a ( a) ( a) a 0（ 2） a b a ( b)。数乘运算实数与向量a 的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘，记作 a，| a| |a|，当0 时， a 的方向和a 的方向相同，当
9、 0 时， a 的方向和a 的方向相反，当a = 0。设、 是实数， 那么：（ 1）( )a = ( a)（ 2）( )a = a a（3） (a a b（4） ( )a = ( a) = ( a)。= 0 时，b) =向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。向量的数量积已知两个非零向量a、b，那么 |a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积或内积，记作 a?b，是 a 与b的夹角， |a|cos （ |b|cos ）叫做向量a 在 b 方向上（ b 在 a 方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。a?b 的几何意义：数量积a?b 等于 a 的长度 |a|与 b 在a 的方向上
10、的投影|b|cos 的乘积。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。四、三角函数1、善于用“ 1“巧解题2、三角问题的非三角化解题策略3、三角函数有界性求最值解题方法4、三角函数向量综合题例析5、三角函数中的数学思想方法15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函y 数sin xycosxytan x性质图象定x xk, k义域RR2值1,11,1R域精品资料精品学习资料第 4 页，共 29 页学习必备欢迎下载当x2kk当时，x2kkymax1；当2x2k时，最既无最大值也无最小值kymin1 值时，x2 kymax1 ；当2kymin1时，周22期性奇奇函数偶函数奇函数偶性在2k,
11、 2k2k,2 kk22在k,k2单上是增函数；在k2在上是增函数；在调性2k,2kk32上是增函数2k, 2kk2上是减函数k上是减函数对称中心对称中心对称中心k,0k对k,0kk2称性,0k2对称轴xkkxkk无对称轴对称轴2必修四x 轴的非负半轴重合，角的顶点与原点重合，角的始边与终边落在第几象限，则称为第几象限角oook360k 36090 , k第一象限角的集合为ooook36090k360180 , k第二象限角的集合为ooook360180k360270 , k第三象限角的集合为ooook360270k360360 , k第四象限角的集合为精品资料精品学习资料第 5 页，共 29
12、 页学习必备欢迎下载ok180 , k终边在 x 轴上的角的集合为ook18090 , k终边在 y 轴上的角的集合为k90o , k终边在坐标轴上的角的集合为ok360, k终边相同的角的集合为3、与角*nn 等份，再n是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分4、已知从 x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应n的标号即为终边所落在的区域1弧度5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做口诀：奇变偶不变，符号看象限公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（ 2k）cos（2k） tan（ 2k） cot（ 2k） 公式二：设为任意角
13、，sin（）cos（）sincostan cot的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sincostan（） tancot（） cot公式三：任意角与-的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（） cos tan（） tan cot（） cot公式四：利用公式二和公式三可以得到sin（）sin-与的三角函数值之间的关系：cos（）tan（）costan精品资料精品学习资料第 6 页，共 29 页学习必备欢迎下载cot（）cot公式五：利用公式一和公式三可以得到 sin（ 2） sin cos（2） cos tan（ 2） tancot（ 2） cot2 -与的三角函数值之间的关系：公式六
14、：/2 及 3/2 与的三角函数值之间的关系：sin（ /2） coscos（ /2）tan（ /2 ）cot（ /2 ）sincottansin（ /2）cos（ /2） tan（ /2 ） cot（ /2 ）cossin cot tansin（ 3/2 ） coscos（3 /2） sintan（ 3 /2）cot（ 3 /2）cottansin（ 3/2 ）cos（3 /2）cossintan（ 3 /2） cotcot（ 3 /2） tan(以上 k Z)其他三角函数知识：同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系 :tansincos?cot 1?csc 1?sec 1商的
15、关系：sin /cos tan sec/csc精品资料精品学习资料第 7 页，共 29 页学习必备欢迎下载cos/sin cot csc/sec平方关系：sin2( ) cos2( ) 11 tan2( ) sec2( ) 1 cot2( ) csc2( )两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin（）sin（） cos（） cos（）sin cos cos sinsin cos cos sin cos cos sin sin cos cos sin sintan tantan（） 1 tan ?tantan tantan（） 1 tan ?tan倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角
16、公式）sin2 2sin coscos2 cos2( ) sin2( ) 2cos2( ) 1 1 2sin2( )2tantan2 1 tan2( )半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）1 cossin2( /2) 21 coscos2( /2) 精品资料精品学习资料第 8 页，共 29 页学习必备欢迎下载21 costan2( /2) 1 cos万能公式万能公式2tan( /2) sin 1 tan2( /2)1 tan2( /2)cos 1 tan2( /2)2tan( /2)tan 1 tan2( /2)和差化积公式三角函数的和差化积公式sin sin 2sin -?co
17、s -2 2sin sin 2cos - ?sin -2 2cos cos 2cos - ?cos -2 2cos cos 2sin- ?sin -2 2积化和差公式精品资料精品学习资料第 9 页，共 29 页学习必备欢迎下载三角函数的积化和差公式sincos cossin?cos 0.5sin（）?sin 0.5sin（）?cos 0.5cos（）sin（） sin（） cos（） ?sin0.5cos（）cos（） 5 平面解析几何初步两点距离公式：根号(x1-x2)2+(y1-y2)2中点公式： X=(X1+X2)/2 Y=(Y1+Y2)/2直线的斜率倾斜角不是90的直线 ，它的倾斜角的
18、正切，叫做这条直线的斜率.通常用 k 来表示， 记作：k=tga(0 a 180且 a 90)倾斜角是90的直线斜率不存在，倾斜角不是90的直线都有斜率并且是确定的点斜式:y-y1=k(x-x1) ；斜截式： y=kx+b ；截距式： x/a+y/b=1直线的标准方程：圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0圆的标准方程Ax+Bx+C=02 表示平方(x-a)2+(y-b)2=r2圆与圆的位置关系：1 点在圆上 (点到半径的距离等于半径点在圆外 (点到半径的距离大于半径 ) 点在圆内 (点到半径的距离小于半径 ) 2 (1) 相切 :圆心到直线的距离等于半径(2) 相交 :圆心到直线的距离
19、小于半径(3) 相离 :圆心到直线的距离大于半径)3 圆的切线是指垂直于半径 ,直线到圆心距离等于半径的直线,垂足叫切点4 圆心距为Q大圆半径为R 小圆半径为r两圆外切两圆内切 两圆相交 两圆外离 两圆内含Q=R+rQ=R-r ( 用大减小QR+r Qr,反之d=r,反之 drd=r dr,.精品资料精品学习资料第 10 页，共 29 页学习必备欢迎下载空间直角坐标系的定义ABCD A B CO 是长方体， 以 O 为原点， 分别以射线 以线段 OB 、OB 、OA 、OB 为正方向，OA 、OB 建立三条坐标轴： x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了一个空间直角坐标系点 O 叫做坐标O xy
20、z ，原点，x、 y、 z 轴叫做坐标轴，由两条坐标轴组成的平面叫做坐标平面，分别叫做平标xOy坐面、yOz平zOx平面，这种坐标系叫做右手直角空间直角坐标系内点的坐标表示方法设点 M 为空间的一个定点，过点分别作垂直于x、 y、 z 轴的平面，依次交x、 y、 z 轴M于点 P、Q、 R 设点 P、Q、R 在 x、y、 z 轴上的坐标分别为x、y、z，那么就得到与点M 对M(x ，应惟一确定的有序实数组（x，y，z），有序实数组（ x，y，z）叫做点 M 的坐标，记作y， z)，其中 x、y、 z 分别叫做点空间内两点之间的距M 的横坐标、纵坐标、竖坐标。空间中两点- z2)2P1(x1 ，
21、y1，z1)、P2(x2 ，y2，z2)的距离 |P1P2| (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 + (z1空间中点公式空间中两点P1(x1 ，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)，中点 P 坐标 （ x1+x2 ）/2,(y1+y2)/2,(z1+z2)/2例题：1 直线 程。L 与直线3x+4y-7=0 平行，且和两坐标轴围成的三角形面积为24，求直线L 的方精品资料精品学习资料第 11 页，共 29 页学习必备欢迎下载解：直线 L 与 3x+4y-7 平行，所以斜率相等，同为-3/4设直线的方程是y=(-3/4)x+b它与两坐标轴的交点坐标分别是和两坐标轴围成的三角形面积为
22、(1/2)*|b|*|4b/3|=24|b2|=36 b= 6(0,b),(4b/3,0)24直线 L 有两条，方程分别是y=(-3/4)x+6或 y=(-3/4)x-62 求两点 (-5,-1),(-3,4) 连成线段的垂直平分线的方程解.设 y=k1x+b1 过两点 (-5,-1)(-3,4)得 -1=-5k1+b1解之得 k1=5/2 ； b1=23/2因为 k1*k2=-1 (x1+x2)/2=(-5-3)/2=-44=-3k1+b1y=5x/2+23/2所以 k2=-2/5(-4,3/2) 过所求方程(y1+y2)/2=(-1+4)/2=3/23/2=-2/5*(-4)+b所以 y=
23、-2x/5-1/106 基本初等函数y=k2x+bb=-1/10化简 4x+10y+1=0从其中一个顶点向一个边引一条线，另一组边在同一直线上的两个三角形。交另一边上某一点，则这个图形变成有一条公共边且有六个内角， 其中公共边与另一组在同一直线上的边相交形成的两个角中，每一个角都是一个三角形的一个内角，且是另一个三角形的一个外角 另外还有大于平角小于周角的角。正弦函数余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数sin =y/rcos=x/r tan =y/x cot =x/y sec=r/x csc=r/y同角三角函数间的基本关系式：平方关系：sin2( )+cos2( )=1 tan2(
24、 )+1=sec2( ) cot2( )+1=csc2( )积的关系：sin =tan *cos cos=cot *sin tan =sin *sec cot =cos*csc sec =tan*csc csc =sec*cot 倒数关系：精品资料精品学习资料第 12 页，共 29 页学习必备欢迎下载tan cot =1sin csc =1 cos sec =1一个园 ,弧长和半径相等时所对应的角度是 弧度 *180/(2* )=角度诱导公式常用的诱导公式有以下几组：1 弧度 .弧度和角度的换算关系:公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（ 2k）cos（2k）tan（
25、 2k） cot（ 2k）sincos tancot公式二：设为任意角，sin（）cos（）+的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sincostan（） tancot（） cot公式三：任意角与-的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（） costan（） tan cot（） cot公式四：利用公式二和公式三可以得到sin（）sin-与的三角函数值之间的关系：cos（）tan（） cot（）costan cot公式五：利用公式一和公式三可以得到sin（ 2） sincos（2） cos2 -与的三角函数值之间的关系：tan（ 2）cot（ 2）tancot公式六：精品资料精品学习资料
26、第 13 页，共 29 页学习必备欢迎下载/2 及 3/2 与的三角函数值之间的关系：sin（ /2） coscos（ /2）tan（ /2 ）cot（ /2 ）sincottansin（ /2）cos（ /2） tan（ /2 ） cot（ /2 ）cossin cot tansin（ 3/2 ） coscos（3 /2） sintan（ 3 /2）cot（ 3 /2）cottansin（ 3/2 ）cos（3 /2）cossintan（ 3 /2） cotcot（ 3 /2） tan (以上 k Z)函数类型正弦 余弦 正切余切第一象限+第二象限+第三象限+第四象限+精品资料精品学习资料第
27、 14 页，共 29 页学习必备欢迎下载正弦函数的性质：解析式： y=sinx图像波形图像（由单位圆投影到坐标系得出） 定义域R( 实数 )值域：-1 ，1 最值：最大值：当时， y(min)=-1x=( /2)+2k 时， y(max)=1最小值：当x=-( /2)+2k 值点：对称性：(k ,0)1)对称轴：关于直线奇偶性：奇函数 单调性：x=( /2)+k 对称2)中心对称：关于点(k ,0)对称周期： 2在 -( /2)+2k ,( /2)+2k 上是增函数，在( /2)+2k ,(3 /2)+2k 上是减函数精品资料精品学习资料第 15 页，共 29 页学习必备欢迎下载余弦函数的性质
28、：余弦函数 图像： 波形图像 定义域： R值域：最值：-1 ， 11）当 x=2k 时 ,y(max)=12）当 x=2k +时 ,y(min)=-1零值点： ( /2+k ,0)对称性：1）对称轴：关于直线x=k 对称2）中心对称：关于点( /2+k ,0)对称周期：2奇偶性：偶函数单调性：在 2k - ,2k 上是增函数 在 2k ,2k + 上是减函数精品资料精品学习资料第 16 页，共 29 页学习必备欢迎下载定义域： x|x ( /2)+k ,kZ值域： R 最值：无最大值与最小值 零值点： (k ,0) 对称性： 轴对称：无对称轴中心对称：关于点周期： 奇偶性：奇函数(k ,0)对
29、称单调性：在 (- /2+k , /2+k )上都是增函数7 平面向量精品资料精品学习资料第 17 页，共 29 页学习必备欢迎下载坐标表示法平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y) 是一一对应的，因此把(x,y) 叫做向量的坐标，记作在 y 轴上的坐标。=(x,y) ，其中x 叫作在x 轴上的坐标， y 叫做在数学中， 我们通常用点表示位置，线，可以分别用来表示平面内的各个方向用射线表示方向在平面内，从任一点出发的所有射向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度
30、表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向向量也可用字母或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示a、 b、 c 等表示，向量的大小， 也就是向量的长度 (或称模 )，记作 |a|长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0长度等于 1 个单位长度的向量，叫做单位向量精品资料精品学习资料第 18 页，共 29 页学习必备欢迎下载方向相同或相反的非零向量叫做平行向量向量a、 b、 c 平行，记作ab c 0 向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0 与任一向量平行长度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量a与 b 相等，记作a=b零向量与零向量相等任意两个相等的非零向量，向量的运
31、算1、向量的加法： AB+BC=AC设 a=（ x,y） b=(x,y)则 a+b=(x+x,y+y)都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。向量加法的性质： 交换律：a+b=b+a结合律： (a+b)+c=a+(b+c) a+0=0+a=a2、向量的减法AB-AC=CBa-b=(x-x,y-y)若则 则 若则 则a/ba=ebxy-xy=0 a 垂直 b ab=0xx+yy=03、向量的乘法设 a=（ x,y） b=(x,y)ab( 点积） =x x+y y=|a| |b|*cos 1、向量有关概念：夹角（1）向量的概念：既有大小又有方向
32、的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？ （向量可以平移） 。如已知 A（ 1,2），B（4,2），则把向量按向量（ 1,3）平移后得到的向量是 （答：（ 3,0）（2）零向量：长度为0 的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 共线的单位向量是)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量 （也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量、 叫做平行向量， 记作： ，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定
33、相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 例题：1.已知点 A(1,1),B(-1,5) 及 AC 向量 =1/2AB 向量， AD量，求点 C， D， E 的坐标。两个向量平行包含两个向量共线, 但共线；（因为有)；三点共线的相反向量是向量=2AB 向量，AE 向量 =-1/2AB向设C 点(x ，y)，则 AB ( 2， 4)， AC (x 1， y 1).精品资料精品学习资料第 19 页，共 29 页学习必备欢迎下载由 AC 1/2AB 得：x 1 1/2 ( 2) 1， y
34、 1 1/2 42所以， x 0， y 3，所以点 C 的坐标是 (0,3)设 D 点 (x， y)，则 AD (x 1， y 1).由 AD 2AB 得：x 1 2 ( 2) 4， y 1 24 8所以， x 3， y9，所以点 C 的坐标是设 E 点 (x，y)，则 AE (x1， y 1).由 AE 1/2AB 得： x 1 1/2 ( 2)1， y 1 1/2 4 2所以， x 2， y 1，所以点 C 的坐标是( 3,9)(2, 1)8 三角恒等变换两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin（）sin（） cos（） cos（）sin cos cos sinsin cos cos s
35、in cos cos sin sin cos cos sin sintan tan（）1 tan tan tan tantan（）1 tan tan倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式） sin2 2sin coscos2 cos2( ) sin2( ) 2cos2( ) 1 1 2sin2( )2tan tan21 tan2( )半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）1 cos sin2( /2) 21 cos cos2( /2) 21 cos精品资料精品学习资料第 20 页，共 29 页学习必备欢迎下载tan2( /2) 1 cos万能公式万能公式2tan( /2) sin1 tan2( /2) 1 tan2( /2)cos1 tan2( /2) 2tan( /2)tan1 tan2( /2)和差化积公式三角函数的和差化积公式sin sin 2sin - cos -22sin sin 2cos - sin -22cos cos 2cos - cos -22cos cos 2sin- sin-2积化和差公式三角函数的积化和差公式2sin