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1、专题4.4【重点题型归类】【题型1 对数函数概念运用】【考点2 与对数函数有关的函数图象识别】【题型3 对数式的大小比较】【题型4 对数函数定义域】【考点5 对数函数图象过定点问题】【题型6 解对数不等式】【题型7 复合函数的单调性问题】【题型8 与对数函数有关的值域问题】【题型9 综合问题】【题型10 反函数】【知识点框架梳理】1对数函数的定义(1)对数函数的定义：一般地，函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+). (2)判断一个函数是对数函数的依据：形如ylogax；底数a满足a0，且a1；真数是x；定义域为(0,+).例如:y=是对数函数，而y=(
2、x+1)，y=都不是对数函数. 2.两种特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数.（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.3.对数函数ylogax(a0，且a1)的图象与性质列表如下：a10a1图象性质定义域(0，)值域R过定点过定点(1，0)，即x1时，y0函数值的变化当0x1时，y0；当x1时，y0当0x1时，y0；当x1时，y0单调性是(0，)上的增函数是(0，)上的减函数性质理解：(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”.当a1时，对数函数的图象“上升”;当0a0,且a1)的图象关于x轴对称.(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论是a1还是0a
3、1时,a越大,图象越靠近x轴;0a0，且a1)与指数函数yax(a0，且a1)互为反函数。（2）互为反函数的两个函数的图像关于直线对称；若点在图像上，则点必在其反函数图像上，反之也成立。（3）互为反函数的函数具有相同的单调性。【经典例题解析】【题型1 对数函数概念运用】【方法点拨】判断一个函数是对数函数的方法 【例1】下列函数表达式中，是对数函数的有()ylogx2；ylogax(aR)；ylog8x；yln x；ylogx(x2)；y2log4x；ylog2(x1)A1个B2个 C3个 D4个【变式1-1】已知下列函数：；其中是对数函数的是 。【变式1-2】下列函数中，是对数函数的个数为（）
4、ylogax2（a0，且a1）；ylog2x1；y2log8x；ylogxa（x0，且x1）；ylog5x；ylogax（a0，a1）A1B2C3D4【考点2 与对数函数有关的函数图象识别】【方法点拨】（1）平移变换 将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像； 将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像； 将函数的图像向上平移个单位，得到函数的图像； 将函数的图像向下平移个单位，得到函数的图像。（2）对称变换函数的图像与函数的图像关于轴对称；函数的图像与函数的图像关于轴对称；函数的图像与函数的图像关于原点对称；函数的图像是函数在轴右方的图像不变，把轴左方的图像去掉，并把轴右方图像翻折到轴左方
5、；函数的图像是函数在轴上方的图像不变，把轴下方的图像翻折到轴上方；函数的图像是关于直线对称的轴对称图形。（3）比较底数大小的方法作直线y1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小（对于底数这类对数，谁底大，谁就越偏向坐标轴；对于底数这类对数，谁底母大，谁就越偏向坐标轴）【例2-1】如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应函数yloga1x，yloga2x，yloga3x，yloga4x的图象，则()Aa4a31a2a10 Ba3a41a1a20 Ca2a11a4a30 Da1a21a3a40【例2-2】已知a0，b
6、0，且ab1，a1，则函数f（x）ax与函数g（x）logbx在同一坐标系中的图象可能是（）ABCD【例2-3】作函数y|log2(x1)|2的图象【变式2-1】函数y2log4(1x)的图象大致是()【变式2-2】如图，中不属于函数ylog2x，ylog0.5x，ylog3x的一个是（）ABCD【变式2-3】（2019秋洛南县期末）函数y|lg（x+1）|的图象是（）ABCD【题型3 对数式的大小比较】【方法点拨】（1）规类：一般根据实际问题常将其分成三类，一类是负数；一类是大于0小于1的数，一类是大于1的数，再对三类数分别进行比较。（2）同底数的利用对数函数的单调性（3）同真数的利用对数函
7、数的图象或用换底公式转化（4）底数和真数都不同，找中间量（5）若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论【例3】求解下列试题。（1）若alog23，blog32，clog46，则下列结论正确的是()AbacBabc CcbaDbca（2）若，则（ ）A B. C. D. （3）已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【变式3-1】（2021秋滕州市校级期中）设a=ln2，blog32，clog64，则（）AbacBbcaCcabDcba【变式3-2】 （1）已知 则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【变式3-3】下列关系式中，成立的是（）A BC
8、 D【题型4 对数函数定义域】【方法点拨】(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.【例3】求下列函数的定义域： （1）；（2）；（3）； （4）【变式3-1】（2018春连城县校级月考）函数y的定义域是（）A1，+）B（，+）C（1，+）D（，1【变式3-2】求下列函数的定义域：（1） f(x)lg(x2)；（2）f(x)log(x1)(164x)；（3）f(x)ln(x1)；（4）f(x)【考点5 对数函数图象过定点问题】【方法点拨】对数函数过定点，即对任意的对数函数都有.【例5】函数yloga（x1）+loga（x+1）（a0且a1
9、）的图象必过定点（）A（）B（0，）C（）D（）【变式5-1】（1）已知，则函数的图像必过定点 。【变式5-2】已知函数y3+loga（2x+3）（a0，a1）的图象必经过定点P，则P点坐标是（）A（1，3）B（，4）C（1，3）D（1，4）【题型6 解对数不等式】【方法点拨】(1)形如logaf(x)logag(x)的不等式当0ag(x)0；当a1时，可转化为0f(x)g(x)(2)形如logaf(x)b的不等式可变形为logaf(x)blogaab.当0aab；当a1时，可转化为0f(x)ab.【例6-1】已知log0.3(3x)0，当a1时，ylogaf(x)的单调性在f(x)0的前提下
10、与yf(x)的单调性一致；当0a0的前提下与yf(x)的单调性相反。【例7】求解下列试题。(1)求函数的单调区间；(2)函数在1，)上是减函数，求实数a的取值范围【变式7-1】已知函数，若，则此函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【变式7-2】函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【题型8 与对数函数有关的值域问题】【方法点拨】(1)直接法：根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域(2)配方法：当所给的函数是可化为二次函数形式的(形如yaf(logax)2bf(logax)c，求函数值域问题时，可以用
11、配方法(3)单调性法：根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域(4)换元法：求形如ylogaf(x)型函数值域的步骤：换元，令uf(x)，利用函数图象和性质求出u的范围；利用ylogau的单调性、图象求出y的取值范围【例8】求解下列试题。(1)函数f(x)(x22x3)的值域是_(2)若函数f(x)axloga(x1)在0,1上的最大值和最小值之和为a，则a的值等于_(3)求y(x)2x5在区间2,4上的值域【变式8-1】（2019春赣榆区校级月考）函数的值域为 【变式8-2】（2019秋九原区校级期末）函数y（x）2x2+5 在 2x4时的值域为 【变式8-3】（2019
12、秋田阳县校级月考）函数f（x）loga（x+1）在0，3上的最大值与最小值的差为2，则a的值为 【题型9 综合问题】【方法点拨】借助对数函数的图象和性质来研究对数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.【例9】已知函数f（x）ln（x2ax+4）（1）若f（x）定义域为R，求实数a的取值范围；（2）当a4时，解不等式f（ex）x【变式9-1】（2020秋玉林期中）函数ylg（34x+x2）的定义域为M，函数f（x）4x2x+1（xM）（1）求函数f（x）的值域；（2）当xM时，关于x方程4x2x+1b（bR）有两不等实数根，求b的取值范围【变式9-2】（2020春丽江期末）已知函数f（
13、x）log4（ax2+2x+3）（1）若f（x）定义域为R，求a的取值范围；（2）若f（1）1，求f（x）的单调区间；（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【题型10 反函数】【方法点拨】（1）对数函数的反函数指数函数与对数函数互为反函数（2）互为反函数的两个函数之间的关系原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域；互为反函数的两个函数的图象关于直线对称【例10】若函数是函数的反函数，且，则()ABC D【变式10 -1】函数的反函数的定义域为( )ABCD【变式10 -2】若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点()ABCD【课后训练】1
14、（3分）（2020秋林芝县校级月考）下列函数是对数函数的是（）Aylog3（x+1） Byloga（2x）（a0，且a1）Cylnx Dy=logax2(a0，且a1)2（3分）（2021秋房山区校级期中）函数y=1lg(x+1)的定义域为（）A（0，+）B0，+）C（1，+）D1，+）3（3分）（2021秋雨花区期末）函数y2+log2x（x1）的值域为（）A（2，+）B（，2）C2，+）D3，+）4（3分）（2021秋鼓楼区校级期中）已知a=log214，blog32，c=232，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCcabDbca5（3分）（2020秋石景山区期末）当a1时，在同
15、一坐标系中，函数yax与ylogax的图象是（）ABCD6（3分）（2020秋仙游县校级期中）函数f（x）=log12(6+x2x2)的单调递增区间是（）A14，+)B14，2)C(32，14D(，147（4分）（2021鼓楼区校级开学）已知函数f（x）log2（x+1），若f（m2+2）f（3m），则实数m的取值范围是 8若是函数的反函数，且，则_9函数ylogax(a0，且a1)在2,4上的最大值与最小值的差是1，则a的值为_10已知函数若函数的值域为R, 则实数m的取值范围为_11（6分）（2021西湖区校级模拟）已知函数f（x）log2（x+1）2（1）若f（x）0，求x的取值范围（2）若x（1，3，求f（x）的值域12设,且.（1）求的值及的定义域；（2）求在区间上的最大值15学科网（北京）股份有限公司