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1、专题4.1 指数以及指数幂运算【重点题型归类】题型1 根式与分数指数幂的互化题型2 根式的化简题型3 指数幂的运算题型4 根据条件求值题型5 指数幂等式及幂的方程问题题型6 指数幂运算综合 【选讲】【知识点框架梳理】知识点1根式1次方根(1)定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.(2)个数：是奇数仅有一个值，记为是偶数有两个值，且互为相反数，记为不存在2根式(1)定义：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数(2)性质：，(其中且)知识点2指数幂及其运算性质1分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：负分数指数幂规定：0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
2、注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.2 有理数指数幂的运算性质(1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：(2)指数幂的几个常用结论：当a0时，0；当a0时，=1，而当a=0时，无意义；若(a0,且a1)，则r=s；乘法公式仍适用于分数指数幂.3无理数指数幂(1)无理数指数幂一般地，无理数指数幂(a0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(
3、a0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数.(2)实数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 4.化简求值的方法与技巧（1） 在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能统一成分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的性质进行化简、求值、计算.（2） 结果必须化为最简的形式.（3） 巧妙公式变形：完全平方公式，立方和、立方差等.【经典例题解析】【题型1 根式与分数指数幂的互化】【方法点拨】(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子(2)当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方，由内向外、
4、由外向内化解。【例1】求解下列试题。1.利用分数指数幂和根式的转化求下列各式的值.（1） ； （2） ； （3）； （4） . 2.用分数指数幂表示下列各式()：(1) ； (2)； (3)； (4). (5) (6) （7） 【变式1-1】计算的结果是（ ）A.B.C.D.【变式1-2】（2019秋南关区校级月考）化简的结果是ABCD【变式1-3】（2020秋余姚市校级期中）把根式xx化成分数指数幂是（）A(x)32B(x)32Cx32Dx32【变式1-4】下列式子的互化正确的是（）A6y2=y13(y0)Bx13=3x(x0)Cx54=4(1x)5(x0)Dx=(x)12(x0)【变式1-
5、5】（2021沙坪坝区校级开学）（x133x2）化成分数指数幂为（）Ax12Bx415Cx415Dx25【题型2 根式的化简】【方法点拨】(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简(2)注意点：正确区分与两式；运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论【例2】化简下列各式（1）； （2）； （3）(4).【变式2-1】若x0，则|x|_.【变式2-2】（2019秋景泰县校级期中）等于AB2CD2【变式2-3】化解 ()A B1 C33D33【方法点拨】1.指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进
6、行指数运算(2)负指数幂化为正指数幂的倒数(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质2根式化简的步骤【题型3 指数幂的运算】【例3】计算下列各式：(1)； (2) （4） （5） （6）【变式3-1】计算(94)12(2.5)0(827)23+(32)2的结果为（）A52B12C2518D32【变式3-2】（2020秋徐州期末）化简（2a3b23）（3a1b）（4a4b53）（a，b0）得（）A32b2B32b2C32b73D32b73【变式3-3】（1）化简：；（2）求值：【变式3-4】计算下列各式的值：（1）， （2）【
7、题型4 根据条件求值】【方法点拨】利用指数幂的运算性质解决带有附加条件的求值问题，一般有三种思路：(1)将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论.(2)当直接代入不易求解时，可以从总体上把握已知,式和所求式的特点，从而快速巧妙求解.一般先利用平方差、立方和(差)以及完全平方公式及其变形进行化简，再用整体代入法来求值.(3)适当应用换元法，能使公式的使用更清晰，过程更简洁.【例4】求解下列试题。1.已知，求下列各式的值：(1)； (2). （3）2.若，则的值为 。【变式4-1】（2020秋开封期中）已知正数x满足x12+x12=5，则x2+x2（）A6B7C8D9【变式4-2】（2
8、020秋秦淮区校级期中）已知a+1a=4，则a12a12等于（）A2B2C2D2【变式4-3】已知，且，求的值 【变式4-4】（2020秋亭湖区校级月考）已知e12xe12x=2，求e32xe32x的值为（）A2B8C10D14【变式4-5】若是方程的两根，且，则的值为 。【题型5 指数幂等式及幂的方程问题】【方法点拨】指数方程常见的类型有：(1) f(x)=g(x)；(2)=0.其中类型(1)利用同底法解，类型(2)利用换元法解.【例5】（2020阎良区校级自主招生）方程5x1103x8x的解集是（）A1，4B14C1，14D4，14【变式5-1】（2020秋兴庆区校级期末）方程3x1=19
9、的解是（）A2B1C2D1【变式5-2】方程4x102x+160的解集是 【变式5-3】（2020秋浦东新区校级月考）方程2x+232x+40的解是 【题型6 指数幂运算综合 选讲】【方法点拨】（1）有时适当地选用换元法，能使公式的使用更清晰，过程更简洁。 （2）对于某些实数指数幂的求值问题，不需要将未知数一一求出来，此时就需要认真分析已知式和所求式的结构特征，通过变形并结合乘法公式把它们联系起来，然后用“整体代换”或“先求值后代换”的方法求值。 （3）对于指数幂等式的证明问题常常是将指数幂化为同底，利用指数幂相等的规律进行证明。【例6】对于正整数和非零实数，若，求的值。【例7】已知.（1）求
10、（且）的值；（2）求的值.【变式7-1】（2019秋临沂期中）已知，（1）求证：是奇函数，并求的单调区间；（2）分别计算（4）（2）（2）和（9）（3）（3）的值，由此概括出涉及函数和对所有不等于零的实数都成立的一个等式，并加以证明【课后训练】1（2021春浦城县月考）(21027)23=（）A43B169C916D342（2020秋兴庆区校级期末）方程3x1=19的解是（）A2B1C2D13若2a3，化简的结果是()A52a B2a5C1 D14根式的分数指数幂的形式为（ ）A BCD5（2020秋鼓楼区校级期中）已知x2+x23，则x+x1的值为（）A5B1C5D16（2021西安模拟）已知3a1+3a2+3a3117，则（a+1）（a+2）（a+3）（）A120B210C336D5047（2021让胡路区校级开学）计算3(4)3(12)0+0.2512(12)6=18（2021春延吉市校级期末）已知10m2，10n3，则103m2n2=2239化简：_.10.化简：； （2）；（3），11 求解下列各题。（1）计算0.02713(16)2+810.75+(19)031；（2）。（3） 若x12+x12=6，求x2+x2的值 （4）若，求的值.12学科网（北京）股份有限公司