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1、 泸县四中高2020级高二下学期期中考试数学（理工）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第I卷 客观题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.某单位有职工100人，其中不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人.如果用按比例分配的分层随机抽样方法从该单位抽取20人进行有关生涯规
2、划的问卷调查，则各年龄段应分别抽取的人数为 A.7，5，8B.9，5，6C.6，5，9D.8，5，72.已知，若（i为虚数单位）是实数，则 A.1B.-1C.2D.-23.命题的否定形式是 A BC D4.若，则 A.1B.2C.4D.85.函数在区间上的最大值为 A.B.-1C.D.06.某学生4次模拟考试英语作文的减分情况如下表：第x次考试1234所减分数y4.5432.5显然y与x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为 A. B. C.D. 7.已知抛物线的焦点为F,是C上一点, ,则 A.1B.2C.4D.88.原子有稳定和不稳定两种.不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚
3、变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出，等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”.这种不稳定的元素就称为放射性同位素.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时钍234的含量.已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则等于 A.12贝克B.贝克C.6贝克D.贝克9.设椭圆的左、右焦点分别为，P是C上的点，则C的离心率为 A.B.C.D.10.某厂生产x万件某产品的总成本为C（x）万元，且.已知产品单价（单位：元）的平方与x成反
4、比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元，则为使总利润y（单位：万元）最大，产量应定为 A.23万件B.25万件C.50万件D.75万件11.已知双曲线T的焦点在x轴上，对称中心为原点，为等边三角形.若点A在x轴上，点B，C在双曲线T上，且双曲线T的虚轴为的中位线，则双曲线T的渐近线方程为 A.B.C.D.12.对任意的，函数不存在极值点的充要条件是 A.B.或C.或D.或第II卷 主观题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数，则函数的极大值为_.14.已知命题，若“”为假命题，则x的取值范围是_.15.由曲线和围成的封闭图形的面积是_.16.若直线与曲
5、线没有公共点，则实数m的取值范围是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，P为曲线(为参数)上的动点，将P点纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的一半得到点Q，记点Q的轨迹为，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线的极坐标方程；（2）是曲线上不同于O的两点，且，求的取值范围18.（12分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图如下：组号分组频数1628317422525612768292合计100
6、（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论)19.（12分）已知函数.(1)若是的极值点，确定的值；(2)当时，求实数的取值范围.20.（12分）为了解某班学生喜欢数学是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表，已知在全部50人中随机抽取人抽到喜欢数学的学生的概率为.喜欢数学不喜欢数学合计男生5女生10合计50(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；(2)能否在犯错
7、误的概率不超过的前提下认为喜欢数学与性别有关？说明你的理由；(3)现从女生中抽取人进一步调查，设其中喜欢数学的女生人数为，求的分布列与期望.下面的临界表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：，其中)21.（12分）已知椭圆的左焦点为，右顶点为,点的坐标为，的面积为.(1)求椭圆的离心率.(2)设点在线段上，延长线段与椭圆交于点,点在x轴上，,且直线与直线间的距离为,四边形的面积为.求直线的斜率；求椭圆的方程.22.（12分）已知.（1）求函数的单调区间；（2）设，求证：.泸县四
8、中高2020级高二下学期期中考试数学（理工）参考答案1-5:BCDAD 6-10:DAAAB 11-12:AA13. 14. 15. 16.17.（1）曲线(为参数)，化为普通方程为，所以曲线的极坐标方程为（2）设，因为，所以，所以的取值范围是18.（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有(名)，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是.所以从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.（2）课外阅读时间落在的有17人，频率为0.17，所以.课外阅读时间落在的有25人，频率为0.25，所以.（3）样本中的100名学生课外阅读时间的
9、平均数在第4组.19.(1)的定义域为.，由题意.若，则，当时，；当时，所以是极大值点，故.(2)，若，则，在上单调递增，满足题意.若，则当时，单调递增；当时，单调递减.此时当时，不合题意.若，则时，单调递减.，不合题意.综上可知，当，时,，故.20.(1)列联表补充如下：喜欢数学不喜欢数学合计男生20525女生101525合计302050(2)，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜欢数学与性别有关.(3)喜欢数学的女生人数的可能取值，其概率分别为，故随机变量的分布列为：的期望值为.21.(1).设椭圆的离心率为e.由已知，可得.又由可得，即.又因为，解得.所以，椭圆的离心率为.(2
10、)依题意，设直线的方程为，则直线的斜率为.由1知，则直线的方程为，即，与直线的方程联立，可解的，即点的坐标为.由已知，有，整理得，所以，即直线的斜率为.由，可得，故椭圆方程可以表示为.由得直线的方程为，与椭圆方程联立消去y，整理得，解得(舍去)或.因此可得点，进而可得，所以.由已知，线段的长即为与这两条平行直线间的距离，故直线和都垂直于直线.因为,所以，所以的面积为，同理的面积等于.由四边形的面积为，得，整理得，又由得.所以，椭圆的方程为.22.（1）定义域为，恒成立，所以函数在为减函数.（2）不妨设.先证，只要证，即，即，令，则需证，由（1）知，在为减函数.当时，又，所以，即得证。下面再证，即证，令，只要证，.令，（），恒成立，在为减函数，即得，所以成立.9学科网（北京）股份有限公司