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1、广东省汕头市金山中学2021 级高一第二学期期中考试数学科试卷 一. 选择题: 共 8 小题, 共 85=40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 已知 a,b 为实数, 且 2+4i1+i=a+bi ( i 为虚数单位), 则 a+b=A. 3 B. 4 C. 5 D. 62. 已知集合 xy=lnx2,B=xx24x+30, 则 AB=A. 1,3 B. (2,3 C. 1,+) D. 2,+3. 已知函数 y=x2kx+2 在区间 2,1 上单调递增, 则实数 k 的取值范围是A. 2,+) B. 4,+) C. (,4 D. (,24. 在 ABC 中,
2、A=60,b=1,SABC=3, 则 asinA 的值等于A. 2393 B. 2633 C. 833 D. 235. 已知空间中不过同一点的三条直线 l,m,n. 则 “ l,m,n 共面” 是 “ l,m,n 两两相交” 的 ( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 为了测量河对岸两点 C,D 间的距离, 现在沿岸相距 2km 的两点 A,B 处分别测得 BAC=105,BAD=60,ABC=45,ABD=60, 则 C,D 间的距离为 ( )A. 2km B. 2km C. 42km D. 4km7. 设 a=cos50cos1
3、27+cos40sin127,b=22sin56cos56,c=1tan2391+tan239, 则 a,b,c的大小关系是A. abc B. bac C. cab D. acb8. 如图, 在 ABC 中, M,N 分别是 AB,AC 的中点, D,E 是线段 BC 上两个动点, 且 AD+AE=xAM+yAN, 则 1x+4y 的最小值为 A. 3 B. 94 C. 95 D. 92二. 多选题:共 4 小题, 共 45=20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.9. 在复平面内, 下列说法正确的是 ( )A
4、. 若复数 z=1+i1i ( i 为虚数单位), 则 z4=1B. 若复数 z 满足 z2R, 则 zRC. 若复数 z=a+bia,bR, 则 z 为纯虚数的充要条件是 a=0D. 若复数 z 满足 z=1, 则复数 z 对应点的集合是以原点 O 为圆心, 以1为半径的圆10. 等腰直角三角形直角边长为 1, 现将该三角形绕其某一边旋转一周, 则所形成的几何体的表面积可以为( )A. 2 B. 1+2 C. 22 D. 2+211. ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 则下列说法正确的是 ( )A. 若 AB, 则 sinAsinBB. 若 sin2A+sin2B2,
5、下列说法正确的有 A. 函数 fx 是周期为 2 的周期函数B. f2=2C. 不等式 fx1 的解集是 0,1353,2D. 若存在实数 a,b,cab0.21. 随着二胎开放, 儿童数量渐增, 某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园, 如图所示: 在直径为 20m 的半圆 O 空地上, 设置扇形区域OMB作为大人休息区, 规划两个三角形区域做成小喷泉区( OAB 区域)和沙坑滑梯区( ABC 区域), 其中 A 为直径 MN 延长线上一点, 且 OA=20m,B 为半圆周上一动点, 以 AB 为边作等边 ABC.(1) 若等边 ABC 的边长为 a,AMB=, 试写出 a 关于 的函数关
6、系式;(2)问 AMB 为多少时, 儿童游玩区 OACB 的面积最大? 这个最大面积为多少?22. 已知二次函数 fx=x216x+q+3(1)若函数在区间 1,1 上存在零点, 求实数 q 的取值范围;(2) 问: 是否存在常数 tt0, 当 xt,10 时, fx 的值域为区间 D, 且 D 的长度为 12t. (注:区间 a,b 的长度为 ba )2021级高一第二学期期中考试参考答案BCCA BBDB AD AB ABD BCD1 18 12,33)8.如图，在ABC中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且AD+AE=xAM+yAN，则1x+4y的最小值为()A
7、. 3B. 94C. 95D. 92解：由B，D，C三点共线，E，B，C三点共线可得，存在实数m，n，使得AD=mAB+nAC，AE=AB+AC，12AB=AM，12AC=AN，由B，D，E，C共线，m+n=1，+=1，AD+AE=xAM+yAN=2mAM+2nAN+2AM+2AN，可得2m+2=x，2n+2=y，所以x+y=4，即x4+y4=1，点D，E是线段BC上两个动点，x0，y0，那么(1x+4y)(x4+y4)=14+1+xy+y4x214+54=94，当且仅当y=2x=83时取等号，则1x+4y的最小值为94故选：B12.关于函数f(x)=2cosx,0x2log2x+2,x2，下
8、列说法正确的有()A. 函数fx是周期为2的周期函数 B. f2=2C. 不等式fx1的解集是0,13)(53,2D. 若存在实数a,b,cab2，作出图象如图所示，根据fx的图象可知，函数fx不是周期函数，故选项A错误；f2=2cos2=2，故选项B正确；当0x2时，若fx=1，则2cosx=1，即cosx=12，解得x=13或x=53，当x2时，若fx=1，则log2x+2=1，即log2x=1，解得x=2，结合fx的图象可得，不等式fx1的解集是0,13)(53,2，故选项C正确；设存在实数a,b,cabc满足fa=fb=fc=m，则函数fx与y=m的图象有三个不同的交点，其中a和b关于
9、fx=2cosx的对称轴x=1对称，故a+b=2，当log2x+2=2时，x=16，故c的取值范围是2c0cosC0cosB0，即b2+c2a2a2+b2c2a2+c2b2,结合a2+b2=2c2可得a2+a2+b22b2b2+a2+b22a2，解得33ba3，所以cosC=a2+b2c22ab=12(a2+b2)2ab=14ba+ab 设t=ba,33t3，cosC=14ba+ab=14t+1t，根据对勾函数的性质可得，当t=33或t=3，cosC有最大值33，综上所述，cosC的取值范围为12,33) ，故答案为12,33) 17.在a=3csinAacosC，(2ab)sinA+(2ba
10、)sinB=2csinC这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答已知ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，c=3，而且_(1)求C；(2)求三角形ABC面积的最大值解：(1)选因为a=3csinAacosC，所以sinA=3sinCsinAsinAcosC，因为sinA0，所以3sinCcosC=1，即，又因为0C，所以，所以，C=3；选，ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，(2ab)sinA+(2ba)sinB=2csinC，由正弦定理得a(2ab)+b(2ba)=2c2，即a2+b2c2=ab，cosC=a2+b2c22ab=12，由0C0解：(1)因为f(x)0对任意
11、的xR恒成立，则判别式=(m+2)28m0，即=m24m+4=(m2)20所以m=2(2)因为函数f(x)=x2(m+2)x+2m的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线x=m+22，因为f(x)在(,3)上单调递减，所以m+223，所以(2)由f(x)=x2(m+2)x+2m0得：(xm)(x2)0，由(xm)(x2)=0得x=m或x=2当(2,4)时，不等式的解集是x|x2;当m2时，不等式的解集是；当m2时，不等式的解集是；当m2时，不等式的解集是21.随着二胎开放，儿童数量渐增，某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园，如图所示：在直径为20m的半圆O空地上，设置扇形区域OMB作为大人
12、休息区，规划两个三角形区域做成小喷泉区(OAB区域)和沙坑滑梯区(ABC区域)，其中A为直径MN延长线上一点，且OA=20m，B为半圆周上一动点，以AB为边作等边ABC(1)若等边ABC的边长为a，AMB=，试写出a关于的函数关系式；(2)问AMB为多少时，儿童游玩区OACB的面积最大？这个最大面积为多少？解：(1)在AOB中，OB=10，OA=20，AMB=，AOB=2，所以AB2=OB2+OA22OBOAcos2=100+400400cos2=500400cos2，则a=500400cos2，(0,2)；(2)因为SAOB=12OBOAsin2=100sin2，SABC=12ABBCsin
13、60=34AB2=34(500400cos2)，所以SAOBC=SAOB+SABC=50034+100sin21003cos2=50034+200sin(23)，因为2(0,)，所以23(3,23)，故当23=2，即=512时，SAOBC取得最大值为(50034+200)m2所以当AMB为512时，儿童游玩区OACB的面积最大为(50034+200)m222.已知二次函数f(x)=x216x+q+3：(1)若函数在区间1,1上存在零点，求实数q的取值范围；(2)问：是否存在常数t(t0)，当xt,10时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12t解：(1)二次函数f(x)=x216x+q+3的
14、对称轴是x=8，函数f(x)在区间1,1上单调递减，要使函数f(x)在区间1,1上存在零点，须满足f(1)f(1)0，即(1+16+q+3)(116+q+3)0，解得20q12，所以使函数f(x)在区间1,1上存在零点的实数q的取值范围是20,12(2)当t88t108t0时，即0t6时，f(x)的值域为：f(8),f(t)，即q61,t216t+q+3，t216t+q+3(q61)=t216t+64=12t，t215t+52=0，t=15172，经检验t=15+172不合题意，舍去，故t=15172，当t88t108t0时，即6tt8时，f(x)的值域为：f(t),f(10)，即t216t+q+3,q57，q57(t216t+q+3)=t2+16t60=12t，t217t+72=0，t=8或t=9，经检验t=8或t=9满足题意，所以存在t=15172或t=8或t=9，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12t学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司