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1、高三数学第一轮复习专题 数列求和专题一、裂项相消法求和：例1.若，求。 （前3后1）解： （注意要通分验证一下）（注意下标与之间的对应。）例2.若，求。 （前4后2）解： （注意要通分验证一下） 例3.若，求。 （前3后1）解： （要通分验证一下） 例4.若，求。 （前3后1）解：（要通分验证一下） 例5.若，求。 （前3后1）解：。例6.若，求。 （前4后2）解：。数列求和基本思路：“求和看通项”。引申题型：裂项相消法求和的推广： 例1.已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（D ）ABCD解：数列满足，当时，得：，故：，数列满足：，则：，由于恒成立，故：，
2、整理得：，因为在上单调递减，故当时，例2.已知数列与前项和分别为，且,，对任意的恒成立，则的最小值是（C ）ABCD因为,所以当时，解得；当时，.所以.于是.由，可得，所以是首项为，公差为的等差数列，即.所以.所以.因为对任意的恒成立，所以，即的最小值是.故选C.例3.正项数列的前项和满足：（1）求；（2）令，前项和为，证明：对于任意的，都有。解：（1）由得： 因为正项数列，则 为等差数列，且。（2）。例4.数列为单调递增数列，前项和为，。（1）求；（2）若，前项和为，证明：。解：（1）当时， -得： 因为单调递增数列，则，故；（2）。二、错位相减法求和： 若为等差数列，为等比数列，则求的前n
3、项和可用“错位相减法”。例1。为等差数列，为等比数列，求的前n项和。解： 得： 。注意几点：写出时，保证“前3后2”，即前面写三项，后面写两项；对式子乘以等比数列的公比，得到一个新式子，然后进行错位相减；进行错位相减后，中间有一个项的等比数列求和，且倍数是等差数列的公差；求中间项的等比数列求和，化简，求出。三、分组求和法： 记住两个公式：例1. 解：例2.已知，求。分析：设，并设前项和为，先用错位相减法求，则。四、并项求和法：形如类型（即摆动数列），求和时可采用两项合并求解，称之为并项求和。例1. 前项和为，求，。解：； 当为偶数时，；当为奇数时，。规律：当为偶数时，两两并项即可；当为奇数时，
4、第一项单独空出来，让后项两两并项，然后加上第一项即可。例2. 的首项，前项和为，是公差为2的等差数列。（1）求； （2）若，求前项和为。解：（1）是公差为2的等差数列，且 为等差数列，且（2）当为偶数时，；当为奇数时，。例3.已知等差数列中，前项和为，且成等比数列。（1）求通项公式； （2）设，求前项和。 （）解：（1）等差数列中，且成等比数列， （2）当为偶数时，；当为奇数时，。例4.已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且是与的等差中项。 （1）求的通项公式； （2）设，求前项和。 （或）解：是与的等差中项 当时，则当时， 是以为首项，以1为公差的等差数列。 。（2）当为偶数时，；当为奇数时，。例5. 设前项和为，且。（1）求通项公式； （2）设，求前项和为。 。 7学科网（北京）股份有限公司