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1、专题：全概率公式基础梳理1.全概率公式：一般地，设是一组两两互斥的事件，且，则对任意的事件，有.2. *贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，且，则对任意的事件，有，.典型例题：例1、 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.解：设“第1天去A餐厅
2、用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥.根据题意得，.由全概率公式，得.因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.例2、有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率.分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能. 如果设“任取一零件为次品”，“零件为第车床加工”，如图，那么可将事件B表示为3个两两
3、互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件B的概率.解：设“任取一零件为次品”，“零件为第车床加工”，则，且两两互斥. 根据题意得，.（1）由全概率公式，得.（2）“如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，就是算在B发生的条件下，事件发生的概率.类似地，可得，.*贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，且，则对任意的事件，有，.例3、在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能
4、的.（1）分别求接收的信号为0和1的概率；（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.解：设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”. 由题意得，.（1）；.（2）.三、巩固练习1.盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是( )A.B.C.D.2.某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”
5、被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是_.3.某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人.一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.5，0.2.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.4.三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球.若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.5.某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不
6、会迟到.问这个人迟到的概率是多少?如果这个人迟到了，他乘轮船迟到的概率是多少?6.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即，试求.7.学生在做一道有4个选项的选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就做随机猜测.现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.(1)学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都是；(2)学生知道正确答案的概率是0.2.答案以及解析1.答案：C解析：设事件 “第一次抽出的是黑球”，事件 “第二次抽出的是黑球
7、”，则，由全概率公式.由题意，所以.2.答案：0.175解析：设“他是谨慎的”，“他是一般的”，“他是冒失的”，则构成了的一个划分，设事件“出事故”，由全概率公式得，.3.解析：设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”，事件表示“射手是i级射手”().显然，构成一完备事件组，且，；，.由全概率公式得，.4.解析：记，显然的发生总是伴随着之一同时发生，即，且两两互斥，所以.5.解析：设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，则，.由全概率公式，得这个人迟到的概率为.如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得他乘轮船迟到的概率为.6.解析：因为，所以，由贝叶斯公式得所求概率.7.解析：(1)记事件A为“题答对了”，事件B为“知道正确答案”，则按题意有，.此时有，所以由贝叶斯公式得.(2)此时有，所以由贝叶斯公式得.学科网（北京）股份有限公司