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1、数学建模试题（带答案） 第一章4.在 1.3 节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为 f ( a ) 和 g ( a ) 。 f 和 g 都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ， f (a)和g(a) 中至少有一个不为零。不妨设 g(0) = 0, f (0) 0 。当椅子旋转 90后，对角线互换，f (/2) = 0, g (/2) 0 。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证明如下的数学命题：已知 f (a)和g(a)是a 的连续函数，对任意 a,
2、f (a) g(a) = 0, 且g(0) = f (/2) = 0 ，f (0) 0, g (/2 ) 0 。证明存在a ，使 f (a ) = g (a ) = 0000证：令 h ( a ) = f ( a ) - g ( a ), 则 h (0 ) 0和 h ( /2 ) 0 ，由 f 和 g 的连续性知 h 也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在a（0 a /2）使 h ( a ) = 0 ，即 f (a ) = g (a ) = 000000因为 f (a ) g (a ) = 0 ，所以 f (a ) = g (a ) = 000001). ( I ;, 0,I,l ) (
3、 C U., I , 0)及它们的 5 个反状态 I .决策为乘船方案 ，记作 d =（ 皂4i tt2 , u , u4 ，当？在船 上时记u , J ，否则记u = 0，允许决策栠合为 D = 1 (1 ,J ,O, O ) , ( L O ,J ,O) , (1 , 0, 0 , l) , (1 , 0 , 01 0) .记第 k 次渡河前此岸的状态为 sk ，第k 次渡河的决策为 d , ，则状态转移律为 sE i = s 令 （ 一 1)丸 设计安全过河 方案归结为求决策序列 d，嘈 少 .， ., d . ED，使 状态 s反S 按状态转移 律由初始状态Sl = （l , l ,
4、L l ) 经 步到达 s. . ( 0 令0 , 0,O) 一个可行方案如下：kl勹345678止(l , l, t ,I )(0. l ,O . I)(l , J, O, l)(0 ,1. 0.0)( l ,1 , 1,0)(0 , o, 1 ,0)( 1, 0,1. 0)0,0 ,0.0)d局(I .o . i ,0( L, 0,0 ,0)(1 ,o,o .1)|(1,10.1,0 )(lJ l ,0.0)(t 。了0,O)(1 ,0, I .O8l(1 ) 设想有两个人一人上山 ，一人下 山同一 勹L 天同时出发，沿同一路径 ，必 定相遇0-(2 ) 36 场比赛店 为除冠军队外，每队
5、祁负一场；6 轮比赛 ，因为 2 队赛 1 轮，3 2 队赛5 轮n 队需赛.,t - 1 场，若2- n 2勹则需赛 k 轮(3 ) 不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是：8: 00, 8 : l0 ,8 : 20 , 令那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是：8 : 09 ,8 :19 ,8 :29 1 .(4 ) 步行 了 25 分钟设想他的妻子驾 车遇到他 后，先带他去车站 ，再回家， 汽车多行驶了 0 分钟于是带他去车站这段路程汽车跑了 5 分钟，而到车站的时间是6:00，所以妻子驾车遇到他的时刻是 5: 55.(5) 放学时小狗跑了 3 km孩子上学到达学校时小狗的位置不定，因为设想放学时
6、小狗从任何位置起跑，都会与孩子同时到家之所以出现位置不 定的结果是 由于上学时小狗初始跑动的方向无法确定第二章7.( 1) 生产成本主要与重量 也， 成正比，包装成本 主要与 表面积 s 成正比，其它成本也包含与 切 和s 成正比的部分上述三种成本中都含有与切，s 均无关的成分又因为形状 一定时一股有沁气g2 气故商品的价格 可表为 C；立叩十知 峦 r ( a1 P, r 为大于 0 的常数）( 2 ) 单位重量价格cC= 矿 切 几 加劝，其 C简图如右，显然 c 是初 的减函数说明大包装比小包袋的商品便宜；曲线足下凸的 j 说明单价的 减少值随着包装的变大是逐渐降低的不要追求太大包装的商
7、品10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方 法，使加工出尽可能多的圆盘。.l 0设圆盘半径为单位 l ，矩形板材长 u ，宽妇可以精确加工 ，即圆盘之间及圆盘与板材之间均 可相切方案一：圆盘中心按正方形排列 ，如图 3圆盘总数为 N1 = (a /2引2 ，方案二；圆盘中心桉六角形排列，如图4行数沉 潇足 2 + ( m - l )f3 r 时，TJ 左，相当于不考虑牛产的情况 当 kr 时，TOO因为产量被售量抵消， 无法形成贮存量，第三章5. 根据最优定价模型考虑成本随着销售量的增加而减少，则设q(x) = q0- kx (1)k 是产量增加一个单位时成本的降
8、低 ，销售量x 与价格p 呈线性关系x = a - bp, a, b 0(2)收入等于销售量乘以价格p : f (x) = px(3)利润r(x) = f (x) - q(x)(4)将（1）（2）（3）代入（4）求出r(x) = -bp 2 + pa + kbp - q0- ka当a, b, q , k 给定后容易求出使利润达到最大的定价 p* 为0p* =q0 - ka + a 2 - 2kb2b6. 根据最优定价模型f (x) = px x 是销售量 p 是价格，成本 q 随着时间增长， q = q0+ bt, b 为增长率， q0为边际成本（单位成本）。销售量与价格二者呈线性关系x =
9、a - bp, a, b 0 .利润u(x) = f (x) - q(x) .假设前一半销售量的销售价格为 p ，后一半销售1量的销售价格为 p 。2前期利润 u( p ) = T / 2 p- q(t)(a - bp )dt1后期利润 u( p201) = T pT / 221- q(t)(a - bp2)dt总利润 U = u( p ) + u( p )12由Up1= 0, Up2= 0 可得到最优价格:1b T13b Tp =a + b(q +)P =a + b(q +12b0422b04)前期销售量T、（20a - bp )dt1后期销售量TT / 2(a - p2)dt总销售量 Q=
10、 aT - bT ( p + p )0212在销售量约束条件下U 的最大值点为aQb T , aQb Tp =-0 -1bbT8P =-0 +2bbT87.(1)雨水淋遍全身， s = 2(ab + bc + ac) = 2 *(1.5 * 0.5 + 0.5 * 0.2 +1.5 * 0.2) = 2.2m2以最大速度跑步，所需时间tmin= d / vm= 1000 / 5 = 200s(2) 顶部淋雨量Q1= bcdw cosq / v雨速水平分量 u sinq ,水平方向合速度 u sinq + v迎面淋雨量 Q2总淋雨量 Q = Q= abdw(u sinq + v) / uv+ Q
11、12当v = vm时，Q 最小，q = 0，Q 1.15 L;q = 30。，Q 1.55L(3) 合速度为| u sina - v |总淋雨量bdw cu cosa + u(u sina - v) = bdw u(c cosa + a sina) - av , v u sina uvuvQ = bdw cu cosa + a(v - u sina)=bdw u(c cosa - a sina) + av, v u sina uvuv若c cosa - a sina c / a ,则v = u sina 时Q 最小，否则v = vm时Q 最小，当a = 30。， tana 2 /15, v =
12、 2m / s, Q 0.24L 最小（4）雨从背面吹来，满足 tana c / a(a = 1.5m, c = 0.2m,a 7.6。）， v = u sina ,Q最小，人体背面不淋雨，顶部淋雨。（5）侧面淋雨，本质没有变化第四章1.（1）设证券 A B C D E 的金额分别为 x , x , x , x , x12345Max0.043x1+ 0.027x2+ 0.025x3+ 0.022x4+ 0.045x5s.t.x2+ x + x 434x + x12+ x + x + x345 102x + 2x12+ x + x34+ 5x5 1.4,即6x+ 6x- 4x- 4x+ 36x
13、 0x + x12+ x + x + x345123459x +15x12+ 4x3+ 3x4+ 2x5 5,即4x+10x- x - 2x- 3x 0x + x12+ x + x + x34512345x , x x , x , x 012, 345(2) 由（1)可知，若资金增加 100 万元，收益增加 0.0298 百万元，大于以 2.75% 的利润借到 100 万元资金的利息，所以应该借贷。投资方案需要将上面模型第二个约束右端改为 11，求解得：证券 A，C，E 分别投资 2.40 百万元，8.10 百万元，0.50 百万元，最大税后收益为 0.3007 百万元。(3) 由（1）可知，
14、证券A 的税前收益可增加 0.35%，若证券A 的税前收益增加为4.5%，投资不应改变。证券 C 的税前收益可减少 0.112%，故若证券 C 的税前收益减少为 4.8%，投资应该改变。6.设 y1,z 分别是产品 A 是来自混合池和原料丙的吨数， y , z122分别是产品 B 中是来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲乙丁所占的比例分别为 x , x , x ,124优化目标是总利润最大，7.记 b=(290,315,350,455)为 4 种产品的长度，n=(15,28,21,30)为 4 种产品的产品的需求量，设第 i 种切割模式下每根原料钢管生产 4 种产品的数量分别为r , r
15、, r , r , 该模式使用 x 次，即使用该模式切割 x根原料钢管（i=1,2,3,4)且切1 2 3 4ii割模式次序是按照使用频率从高到低排列的。第五章 di = lsi - mi, i(0) = i1、（1）SIR 模型 dt dtds= -lsi, s(0) = s00,s(t)曲线单调递减。若s 1 ,当 1 s 0 ,i(t)增加；0ss0dt当s = 1 时， di = 0 ,i(t)达到最大值；odt当s 1 时， di 0 ,i(t)减少，且i = 0(2) 若s0odt 1 , di r 取q = 2，,a = n 得 r= r + n - 2 ， r意味着晚qa G(
16、a)12c11婚，n 增加意味着晚育，这里的r , r 增大（3）生育第二胎的规定：b (t) 1 ,生育1 c模式h(r) 曲线更加扁平。数学建模试题（带答案）一、(满分12分) 一人摆渡希望用一条船将一只狼，一只羊，一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i在此岸时记xi = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x1，x2，x3，x4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u1, u2, u
17、3, u4)，当i在船上时记ui = 1，否则记ui = 0。(1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3 分）(2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3 分）(3) 写出该问题的状态转移率。（3 分）(4) 利用图解法给出渡河方案. （3分）解：(1) S=(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)及他们的 5 个反状（3 分）(2) D = (1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0) （6 分）(3) s k+1 = s k + (-1) k d k（9 分）(4)方法：人先带羊，然后回
18、来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。（12 分）得分1、 二、(满分 12 分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型：（1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6 分（2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6 分解：设体重 w（千克）与举重成绩 y （千克）（1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 yIS设 h 为个人身高，又横截面
19、积正比于身高的平方，则S h2再体重正比于身高的三次方，则 w h3故举重能力和体重之间关系的模型为：2y = kw3（6 分）y = k (w - a)32（2） 体重中与成年人尺寸无关的重量为 a, 则一个最粗略的模型为( 12 分)得分三、(满分 14 分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课。这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求如下表所示。那么，毕业时学生最少可以学习这些课程中哪些课程?课程编号课程名称学分所属类别先修课要求1微积分5数学2线性代数4数学3最优化方法4数学；运筹学微积分；线性代数4数据结构3数学；计算机计算
20、机编程5应用统计4数学；运筹学微积分；线性代数6计算机模拟3计算机；运筹学计算机编程7计算机编程2计算机8预测理论2运筹学应用统计9数学实验3运筹学；计算机微积分；线性代数记 i=1，2，9 表示 9 门课程的编号。设 x = 1表示第 i 门课程选修， x = 0 表示ii第 i 门课程不选, 建立数学规划模型(1) 写出问题的目标函数(4 分)(2) 每人至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课,如何表示此约束条件?(5 分)(3) 某些课程有先修课要求, 如何表示此约束条件? (5 分)解(1) min Z = 9 xii=1(4 分)(2) x + x12x + x+ x +
21、x + x345+ x + x + x 2 3(9 分)35689x + x + x + x 24679(3) x x , x x3132x x47x x , x x5152x x67x x , x x9192x x(14 分)85得分四、(满分 10 分) 雨滴的速度v 与空气密度r 、粘滞系数m 和重力加速度 g 有关，其中粘滞系数的量纲 m = L-1MT -11，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v , r , m , g 的关系为 f ( v , r , m , g ) =0.其量纲表达式为 v =LM0T-1， r =L-3MT0， m = L-1MT -1 g =LM0T
22、-2,其中L，M，T 是基本量纲.(3 分) 量纲矩阵为 1- 3- 11 (L) 0A= 110 (M )齐次线性方程组 Ay=0 ，即- 10- 1- 2 (T ) (v)(r)(m)(g) y - 3y 12- y + y = 034y + y= 023- y- y - 2y = 0134的基本解为 y=(-3 ,-1 ,1 ,1)(7 分)m g由量纲PI 定理 得 p = v -3 r -1 m g . v = l3 r ，其中l 是无量纲常数. (10 分)得分五、(满分 12 分)设某种群t 时刻的数量为 x(t) ,初始数量为 x,0(1) 写出种群数量的指数增长模型并求解;(
23、2) 设容许的资源环境最大数量为 N , 写出种群数量的阻滞增长模型(logistic), 并求其平衡点.解 (1) x = rx(3 分)x(t) = x erx(6 分)0x(2)x(t) = rx(1- N )(9 分)xrx(1- N ) = 0,平衡点为 x = 0 和 x = N(12 分)得分六、（满分 10 分）设在一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食，哺乳动物又依赖植物生存，假设食肉爬行动物和哺乳动物独自生存时服从 Logistic 变化规律，植物独自生存时其数量增长服从指数增长规律。现有研究发现，当哺乳动物吃食植物后，植物能释放某
24、些化学物质对吃食的哺乳动物产生一定的毒害作用。通过适当的假设，建立这三者间的关系模型.解：设植物、哺乳动物和食肉爬行动物的数量分别为x1(t), x2(t), x3(t)假设单位数量的植物所释放的化学物质对吃食植物后的哺乳动物的毒害作用率为k，（3 分）x = x (r - l x ) 11 11 2x = x -r - x2 + (l - k )x - mx （10 分） 222K213x 2x = x (-r - 3 + l x )333K3 23得分七、（满分 15 分）经过一番打探及亲身体验，你准备从三种车型（记为 a,b,c)中选出一种购买，选择的标准主要有价格，耗油量大小，舒适程度
25、和外表美观。经反复思考比较，构造了它们之间的成对比较矩阵 13781/ 31A = 551/ 71/ 5131/ 81/ 5 1/ 31已知其最大特征值近似为 4.1983.另外，下列矩阵分别是三种车型关于价格、耗油量、舒适度、及你对它们外表的喜欢程度的成对比较阵：价格耗油量舒适度外表其中 1矩阵2 C3,C , C , C 1的元1/ 素5是1/ 分2 别是a,b,c三1 种3车型5对于四种标准 的1 优1/越5性31 234C = 517C = 1/ 212C2 = 517 C = 1/ 3144 的比较1 尺度.2 1/ 71 31/ 5 1/ 4 11/ 3 1/ 7 11/ 3 1/
26、 2 1假定这些成对比较阵（包括 A）都通过了一致性检验，且已知C , C , C , C 的矩阵最大特征值对应归一化特征向量最大特征值与对应的归一化特征向量（见下表）：1234C13.009( 0.53960.29700.1634 )C23.119( 0.10560.74450.1499 )C33.086( 0.62670.27970.0936 )C43.065( 0.18840.73060.0810 )(1) 根据上述矩阵将四项标准在你心目中的比重由重到轻的顺序排出(5 分)；(2) 分别确定哪种车最便宜、最省油、最舒适、最漂亮(5 分)；(3) 确定你对这三种车型的喜欢程度（用百分比表示
27、）(5 分)；解： 记 4 个准则价格，耗油量大小，舒适程度和外表美观分别为 C1，C2， C3，C4，则C : C12= 3 即C 比C12的影响稍强C : C23C : C= 5 即C 比C23= 3即C 比C的影响强的影响稍强3434所以四项标准在心目中的比重由重到轻的顺序为：价格、耗油量大小、适合程序、外观美观(5 分)(2)考虑比较阵C1a= 2 表明车型a的价格优越性高于车型b，即车型a比车型b便宜12a= 2 表明车型b的价格优越性高于车型c，即车型b比车型c便宜23所以最便宜的车型为a.(7分)同理可得最省油的车型为b；(8分)最舒适的车型为a；(9分)最漂亮的车型为b。(10
28、分)(3)车型 a 的组合权重（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）(0.5396，0.1056，0.6267，0.1884)T=0.41车型 b 的组合权重（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）(0.2970，0.7445，0.2797，0.7306)T=0.44车型 c 的组合权重（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）(0.1634，0.1499，0.0936，0.0810)T=0.15 (13 分)得分车型 a，b，c 的喜欢程度分别为 41%，44%，15%（15 分）八、（满分 15 分）A,B,C 三个厂家都生产某产品，
29、2009 年它们在某地区的市场占有率 2009 年分别为： A 厂家:40%, B 厂家:40%, C 厂家: 20%。已知在每年各个厂家之间的市场占有率转移的基本情况是：A 厂家的客户有 60%继续用该厂家的产品，20%转为 B 厂家，20%转为 C 厂家；B 厂家的客户有 80%继续用该厂家的产品，10%转为 A 厂家，10%转为 C 厂家；C 厂家的客户有 50%继续用该厂家的产品，10%转为 A 厂家，40%转为 B 厂家。（1）预测 2010 年哪个厂家的市场占有率最大。（6 分）（2）经过很长时间以后，哪个厂家的市场占有率最大？（6 分） 解：状态转移概率矩阵为：0.6 0.2 0
30、.2P = 0.1 0.8 0.1（2 分）0.1 0.4 0.5a(0) = (0.4,0.4,0.2)（4 分）0.6 0.2 0.2a(1)= a(0)P = (0.4,0.4,0.2) 0.1 0.8 0.1 = (0.3 0.48 0.22)（6 分）0.1 0.4 0.52010 年 B 厂家市场占有率最大 。（8 分）(2)设稳态概率w = (w , w , w ) ，1230.6 0.2 0.2则wp = w, (w , w , w ) 0.1 0.8 0.1 = (w , w , w )（10 分）1230.1 0.4 0.5123又因为w + w + w123= 1(12 分）联立解得w = (0.2,0.6,0.2)（14 分）B 厂家市场占有率最大.（15 分）