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1、2010年上学期2008级数学及应用数学，信息及计算科学专业数学建模课程考试供选试题第1题4万亿投资及劳动力就业： 2008以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷纷裁员，造成大量的人员失业。据有关资料估计，从2008年底，相继有2000万人被裁员，其中有1000万人是民工。部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业压力，但2009年的600多万毕业大学生给我国就业市场带来巨大压力。但可喜的是，我国有庞大的外汇储备，民间资本实力雄厚，居民储蓄充足。中国还是发展中国家，许多方面的建设还处于落后水平，建设投资的潜力巨大。为保持我国经济快速发展，特别是解决
2、就业问题带来希望，实行政府投资理所当然。在2009年两代会上，我国正式通过了4万亿的投资计划，目的就是保GDP增长，保就业，促和谐。但是有几个问题一直困扰着我们，请你运用数学建模知识加以解决。问题如下： 1、GDP增长8%，到底能够安排多少人就业？如果要实现充分就业，2009年的GDP到底要增长多少？ 2、要实现GDP增长8%，4万亿的投资够不够？如果不够，还需要投资多少？ 3、不同的产业(或行业)吸纳的劳动力就业能力不同，因此投资的流向会有所不同。请你决策，要实现劳动力就业最大化，4万亿的投资应该如何分配到不同的产业(或行业)里？ 4、请你给出相关的政策及建议。第2题深洞的估算： 假如你站在
3、洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的 石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。 1、不计空气阻力； 2、受空气阻力，并假定空气阻力及石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05； 3、受空气阻力，并假定空气阻力及石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025； 4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。第3题优秀论文评选： 在某数学建模比赛的评审过程中，组委会需要在一道题目的150 篇参赛论文中选择4 篇论文作为特等奖论文
4、。评审小组由10 名评委组成，包括一名小组组长(出题人)，4 名专业评委(专门从事及题目相关问题研究的评委)，5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织工作，参及过数学建模论文的评审)。组委会原先制定的评审步骤如下： step1:首先由普通评委阅读所有150 篇论文，筛选出20 篇作为候选论文。 Step2:然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择4 篇作为推荐的论文。 Step3:接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的4 篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。 Step4:在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出4
5、票，获得至少6 票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文(从20篇候选论文中除去已经入选的论文)重复step2至step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。 如果有超过4 篇的论文获得了至少6票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。问题: 1、请建立数学模型定量地讨论上面的评审规则的公平性。 2、假设小组组长、专业评委、普通评委受超过半数人的观点影响的概率分别为0.3，0.4，0.6。组委会希望给每个评委的投票设置一定的权重，应该如何设置才最合理，用数学模型支持你的观点。第4题送货问题： 某地区有8个公司(如图一编号至)，某天某
6、货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号)分别运往各个公司。路线是唯一的双向道路(如图)。货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。一个单位的原材料A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上
7、车，另外必须要满足各公司当天的需求量(见表)。 问题： 1、货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发(不定方向)后运输途中不允许掉头，应如何调度(每辆车的运载方案，运输成本)使得运费最小。 2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？应如何调度？ 3、(1)如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空载费用分别为0.2，0.4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？(2)当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。图唯一的运输路线图和里程数公司
8、材料A41231025B15012423C52424351 表各公司所需要的货物量第5题生产及存贮问题： 一个生产项目，在一定时期内,增大生产量可以降低成本费,但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。相反,如果减少生产量,虽然可以降低存贮费,但又会增加生产的成本费,同样会造成损失。因此,如何正确地制定生产计划,使得在一定时期内,生产的成本费及库存费之和最小,这是厂家最关心的优化指标，这就是生产及存贮问题。 假设某车间每月底都要供应总装车间一定数量的部件。但由于生产条件的变化,该车间每月生产单位部件所耗费的工时不同,每月的生产量除供本月需要外,剩余部分可存入仓库备用。今已知半年内
9、,各月份的需求量及生产该部件每单位数所需工时数如下所示: 月份( k)： 1 2 3 4 5 6 月需求量(bk)： 8 5 3 2 7 4 单位工时(ak)： 11 18 13 17 20 10设库存容量H = 9,开始时库存量为2,期终库存量为0。要求制定一个半年逐月生产计划,使得既满足需求和库存容量的限制,又使得总耗费工时数最少。解：S：总耗费工时。a(n):月耗工时。H（n）：月库存量。Y（n）:月生产量。B（n）：月需求量。Q：总成本费。W：总存贮费。M:总费用。由保证需求量及库存容量的约束条件下，我们可以得到以下的约束条件，转换成数学模型。H1=Y1+2-8 0=H1=9 H2=Y
10、2+H1-5 0=H2=9 H3=Y3+H2-3 0=H1=9 H4=Y4+H3-2 0=H1=9 H5=Y5+H4-7 0=H1=9 H6=Y6+H5-4 H6=0 由此可以得到以下的式子：0=Y1+2-8=9 6=Y1=15 0=Y2+H1-5=9 11-Y1=Y2=20-Y1 0=Y3+H2-3=9 14-(Y1+Y2)=Y3=23-(Y1+Y2) 0=Y4+H3-2=9 16-(Y1+Y2+Y3)=Y4=25-(Y1+Y2+Y3) 0=Y5+H4-7=9 23-(Y1+.Y4)=Y5 0；5 符号说明： q：以各餐饮市场上的价格作为这里的成本价，即食物的成本价；p：食物所卖的价格；a：
11、绝对需求( p很小时的需求)，即价格最低时的购买人数；b：价格上升1元时购买人数的下降幅度（需求对价格的敏感度）； I：收入；U：利润；C：支出；x：需要购买某食物的人数；相应的下标1，2，3分别表示早餐，盒饭，方便面;例如：x1, x2, x3分别表示购买盒饭，方便面，早餐的人数；6 模型建立及求解：采用先统一再分开的算法；收入I ( p ) = px; 支出 C ( p ) = qx; 利润 U ( p ) = I ( p ) C ( p ); 求p使U ( p ) 最大；使利润 U(p)最大的最优价格 p*满足U ( p ) = I ( p ) C ( p ) = (p q )( a b
12、p) = -bpp + ( a + bq)p - aq因为 q / 2 成本的一半；b 价格上升1单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）b p* a 绝对需求( p很小时的需求) a p* 7 对于盒饭：由假设可知：q1 = 10, b1 = 20；因为500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；所以：a1 = 500; 购买人数x1 = 500 20p1;由p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q1 / 2 + a1 / 2 * b1 = 10 / 2 + 500 / 2 * 20 = 17.5;由 500 20 * 17.5 = 150 = 20
13、0 得到 p1 = 15;所以取得最大利润时p1 = 15;8 同理可得方便面：q2 = 3, b2 = 36；因为500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人，此时还剩下300人需求方便面；所以，a2 = 300, 购买人数x = 300 36p2 ;由p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q2 / 2 + a2 / 2 * b2 = 3 / 2 + 300 / 2 * 36 = 6.3;由 300 36 * 6.3 = 73 = 100;得到p2 1。这样，就存在两个问题：第一，商家应如何根据商品的实际价值（或保本价）b来确定其价格a才较为合理？第二，
14、购物者根据商品定价，应如何及商家讨价还价？第一个问题，国家关于零售商品定价有相关规定，但在个体商家实际定价中，常用黄金数方法，即按实际价b定出的价格a，使b:a 0.618。虽然商品价值b位于商品价格a的黄金分割点上，考虑到消费者讨价还价，应该说，这样定价还是较为合理的。对消费者来说，如何讨价还价才算合理呢？一种常见的方法是对半还价法：消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价则加上二者差价的一半；消费者第二次还价要减去二者差价的一半；如此等等。直至达到双方都能接受的价格为止。有人以为，这样讨价还价的结果其理想的最终价格将是原定价的黄金分割点。是这样的吗？试进行定量分析，并给出结果。第15题铅
15、球运动员成绩：众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。以铅球的落地点及投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远及近是人们最关心的问题。而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该
16、怎样折中？哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。参考数据资料如下：表1 李素梅及斯卢皮亚内克铅球投掷成绩姓名出手速度出手高度出手角度实测成绩李梅素13.751.9037.6020.95李梅素13.522.0038.6920.30斯卢皮亚内克13.772.0640.0021.41表2 我国优秀运动员的铅球投掷数据姓名成绩s(m)出手速度出手角度出手高度李梅素19.4013.1640.272.02李梅素20.3013.5138.692.00黄志红20.7613.5837.752.02隋新梅21.6613.9
17、539.002.04李梅素21.7614.0835.131.95第16题宠物狗销售： 背景：一家宠物店卖小狗。这家店每天需要在每只小狗身上花费10元钱，因此宠物店不想在店里存储太多的小狗。通过调查研究，在给定的天数x内，所卖出的小狗的数量服从泊松分布(=0.1)。 宠物店每十天平均能卖出一只小狗，而每卖出一只小狗的利润是20元。当一个顾客来到宠物店里时，如果店里没有宠物卖，那么该顾客就会到别的宠物店去。如果宠物店预定小狗的话,则所预定的小狗需要到6天后才能到店里。现在该宠物店正在考虑一种预定小狗的最好策略。 策略A：每卖出一只小狗，宠物店就新预定一只。这个策略意味着每次店里只有一个小狗，因此宠
18、物店就不会花费太多在小狗身上。 策略B：宠物店每隔10天就预定一只新的小狗，该狗6天后到。使用这个策略后,如果顾客连续几个星期没有光顾宠物店，则宠物店必须花大量的钱在小狗上。 问题： 1、编写程序,来模拟这两种策略，并比较哪一种策略好。 2、请提出第三种更好的策略，写出数学证明,并用软件模拟。第17题农作物加工及存放：某县是我国A、B两种农作物的主要生产基地，近15年来农作物总产量如附表，目前全县只有一个容量为1200吨的粮库，需要建造一新的粮库，为了提高农民的收入，同时还要建造一个农作物加工工厂。解答下面问题：（1）该县的农作物加工工厂计划利用A、B两种农作物混合加工成甲、乙两种农产品，现在
19、市场上这两种农产品的售价分别为4800元和5600元，为了保证产品质量，甲产品中A农作物的含量不能低于50%，乙产品中A农作物的含量不能低于60%。粮库每年可以提供的A农作物不超过500吨，B农作物不超过1000吨，不过A农作物还可以从临县约1500吨余粮中购买，如果购买量不超过500吨，单价为10000元/吨，如果超过500吨不超过1000吨，超过500吨的部分单价为8000元/吨，购买量超过1000吨时超过部分单价为6000元/吨，该加工工厂应如何安排生产才能获的最大利润。（2）该县应当建造容量为多少的仓库，才能适应将来农作物总产量不断增长的需求。请写出五年的工作计划!附表：（吨/年）年1
20、99119921993199419951996199719981999200020012002200320042005产量500579664756852951105111501246133714221501157216361691第18题 加工业生产的稳态模拟问题：某工厂共有50机床加工原料，另配有4台备用机床，当正在加工的机床发生故障时，立即将备用机床投入生产过程，而发生故障的机床则移至由三名修理工组成的机修组进行修理，假定一台机床只由一名工人操作使用，维修时也只由一名修理工修理。经过实际调查，机床发生故障的间隔时间服从均值等于157小时的指数分布，一名修理工修理一台机床的时间服从4,10小
21、时之间的均匀分布。进入修理状态的机床修理完成后成为备用机床待用状态。此系统的工作流程如图所示。50名工人3名修理工修好的机床返回为符合加工的实际情况，我们还制定两条规则：1.某机床发生故障直接交给修理工修理时，总是送给休息时间最久的修理工。2.某机床修理完成，若直接交给工人加工时，总是送给休息时间最久的工人。管理部门要求了解机床用于生产的利用率、处于备用状态的机床数、等待修理的机床数以及机床和修理工忙期的平均值等，以便对此维修策略进行评价。对于这个稳态模拟问题，我们可考虑该系统运行三年（共156周）的情况，并假设每周工作5天，每天工作8小时。请建立数学模型以分析整个生产系统的特性（最少有多少台
22、机器同时在运行；最多有多少台机器在等候修理；平均每小时有多少工人处于工作状态；平均每小时有多少修理工处于工作状态；平均每小时有多少台机器在等待修理；等等。）；进一步研究生产工人人数和修理工人人数变化对生产系统运行情况的影响，给出最优的人事安排方案。第19题 抑制房地产投机问题：近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨情况。一方面，房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难；另一方面，部分投机者通过各种融资渠道买入房屋囤积，期望获得高额利润，导致房价居高不下。因此，如何有效抑制房地产价格上扬，抑制房地产投机，是一个备受关注的社会问题。国家为此出台了提高房地产贷款利率和二手房转
23、贷限制等各项政策，现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：1、建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机理和房地产投机进行深入细致的分析；2、通过分析找出影响房价的主要原因；3、分析国家提高房地产贷款利率和二手房转贷限制对房地产投机者的影响；4、给出抑制房地产投机的政策建议；5、对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。第20题.出租车调价问题：受国际原油价格持续上涨影响, 经国务院批准，国家发改委通知, 自2006年3月26日起将汽油和柴油出厂价格每吨分别提高300元和200元。福建省的汽油和柴油零售基准价每吨分别提高250元和150元。福州市93号汽油每升上调0.21元，
24、调价后为每升4.47元。国家发改委提高成品油价格的消息发布后，一些地方迅速做出反应。在油价走高的背景下，全国出租车价格涨声一片。国家发改委要求各地建立出租车运价及油价的联动机制，今后按照联动机制调整运价。目前北京、上海已经建立了出租车运价及油价的联动机制。以上海市为例，在2006年4月17日召开的出租车运价油价联动机制听证会上公布了两个公式，运价油价联动机制今后将通过两个公式来操作。第一个公式用于调整出租车起步费。按照这个公式，如果油价平均提高一元，根据前期调研，单车每天消耗汽油43.75升，日均载客34次，代入公式，每车起步价需要提高1.29元；第二个公式用于调整超过起步价后的出租车公里单价
25、。按照这个公式，如果油价每升平均提高1元，每车每天行驶350公里、载客率61%、起步价外公里占总公里数的64%，及公里油耗无关的加价计时等营运附加收入系数0.15，计算后可以发现每公里运价需要提高0.27元。从2006年5月11日起，上海市区出租车起租价提高1元，由3公里10元调整为3公里11元；超起租里程每公里运价提高0.10元，由2元调整为2.10元。据测算，此番调价后，上海市区出租车每车每月将增收1400元左右。此前每月给每辆出租车820元的补贴从6月起取消。同时上海将对出租车驾驶员降低现有承包指标(份子钱)，并予以规范。考虑以下问题：（1）根据以上信息给出上海市出租车运价和油价联动机制
26、的两个计算公式。（2）分析这两个计算公式的合理性。（3）根据福州市出租车运营的实际情况，这两个计算公式是否适合作为福州市出租车运价油价联动机制？如不适合，给出适合福州市出租车运营的实际情况的运价油价联动机制。根据计算公式给出福州市出租车运价调整方案。第21题抗雪救灾的数学模型： 抗雪救灾应急预案 2008年伊始，一场罕见的五十年一遇的特大雪灾袭击了我国南方地区。这场雪灾造成湖南、湖北、安徽、贵州、云南、广州、河南等十省区严重受灾，给广大人 民的生命财产带来了巨大的损失，受灾人数超过7000万人。极端灾害天气导致南方地区的民航、铁路、高速公路全县受阻，数以千万记的旅客被迫滞留在火车 站、汽车站和
27、机场。这场雪灾害造成大量的电力设施、通讯设施的严重损坏，引起多地电力、通讯中断，很多城市进入大面积二级停电事件应急状态。冰雪灾害给我 国南方地区的工农业造成了严重影响，特别是造成林业资源的严重破坏。经专家测算，因雪灾损失的林业资源至少需要五到二十年才能恢复，冰雪灾害对中国南方自 然保护区的影响更为深远。林业自然保护区和野生动植物资源包括林区基础设施遭受重创，林区防火道路、了望塔、监测系统、生态监测定位站等都受到了严重的损 失，很多野生动植物冻死冻伤，破坏和影响可以说是巨大而且是比较长远的。据不完全统计，这场雪灾造成的直接损失超过千亿元，由此对我国经济造成的间接损失 还有待于进一步评估。 在党和
28、政府的正确领导下，我国人民众志成城，举国上下齐心协力，一举取得了抗雪救灾的全面胜利。灾害过后，当我们安居乐业之时，我们必须认真地思考有关问 题，特别是有待于进一步完善抗击自然灾害的应急方案，进一步提高我们抗击自然灾害的能力。 请您通过互联网、报纸、杂志等媒体查阅有关南方雪灾的资料，分析各地抗雪救灾的成功案例，为政府决策部门抗击自然灾害提供决策依据。您的方案应该至少包括 以下内容： 1 通过对雪灾冰冻自然灾害对社会经济影响的分析，提出抗雪救灾的决策指标，建立抗雪救灾的数学模型。2 基于您的数学模型，提出抗雪救灾应急预案，并分析您的预案的优劣。3 给有关部门写一篇不超过800字的短文，推荐您的抗雪救灾应急预案。 -以2008年我国南方地区冰冻和雪灾为例 一、提案和建议的内容：关于我国应对自然灾害经验、启示及对策建议 二、提案和建议受理部门：铁道部、交通部、电监会和电网公司等 三、对我国应对自然灾害的经验、启示和对策建议 第22题森林管理问题：自然资源可以分为两大类，一类叫做消耗性资源，比如煤、铁、石油等矿产，随着人类的开采，它不断被消耗，贮存量越来越少，一直到被消耗完为止；另一部分叫做可更新资源，比如森林、渔场和各种野