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1、Lyapunov定理定理 对于线性系统对于线性系统 ，该线性系统零解渐进稳定当且，该线性系统零解渐进稳定当且仅当仅当A的特征值位于左半平面。另一方面，如果取二次型的特征值位于左半平面。另一方面，如果取二次型 作为作为Lyapunov函数，其中函数，其中V是正定矩阵，那是正定矩阵，那么么 对任意的非零对任意的非零x小于零，当且仅当矩阵小于零，当且仅当矩阵 定理：定理：A的特征值都在左半平面当且仅当存在正定矩阵的特征值都在左半平面当且仅当存在正定矩阵V使使 得得 )(xVVxxxVT)(xVAVAxxVTT)(0VAVAT0VAVATAxx 两种控制率的比较两种控制率的比较输出反馈：输出反馈：状态
2、反馈：状态反馈：vFxuvKyu 凡是输出反馈凡是输出反馈K所能达到的控制效果，只要取状态反馈所能达到的控制效果，只要取状态反馈则可达到同样的控制效果。但是，反过来由则可达到同样的控制效果。但是，反过来由F和和C在在(1)式中不式中不一定能解出矩阵一定能解出矩阵K来。这说明状态反馈来。这说明状态反馈F有可能获得比输出反有可能获得比输出反馈馈K更多的控制效果，其中有的控制效果可能更好。更多的控制效果，其中有的控制效果可能更好。(1) KCF 观测器观测器 由于在实际系统中状态不容易通过实际测量得到，所以由于在实际系统中状态不容易通过实际测量得到，所以有时需要通过输入和输出重新构造一个系统使得新系
3、统的状有时需要通过输入和输出重新构造一个系统使得新系统的状态能逼进原系统的状态。态能逼进原系统的状态。渐近等价指标：渐近等价指标：0)( )(limtxtxt对系统能控能观性的影响对系统能控能观性的影响状态反馈不改变系统的能控性，但有可能改状态反馈不改变系统的能控性，但有可能改变能观性。变能观性。输出反馈既不改变系统的能控性，也不改变输出反馈既不改变系统的能控性，也不改变能观性。能观性。动态反馈-G(s)K(s)uy对象对象: 控制器控制器:CxyBuAxxyDxCuyBxAxkkkkkkk动态反馈动态反馈闭环系统为闭环系统为 控制器设计就是设计控制器设计就是设计Ak、Bk、Ck、Dk使得使得
4、稳定。稳定。kkkkclACBBCCBDAAkkkkkkxxACBBCCBDAxx极点配置极点配置 闭环系统极点的分布情况决定系统的稳定性和动态品闭环系统极点的分布情况决定系统的稳定性和动态品质，因此，可以根据对系统动态品质的要求，规定闭环系质，因此，可以根据对系统动态品质的要求，规定闭环系统的极点应有的分布情况，把极点的布置作为系统的动态统的极点应有的分布情况，把极点的布置作为系统的动态品质指标。这种把极点布置在希望的位置的过程称为极点品质指标。这种把极点布置在希望的位置的过程称为极点配置。配置。 状态反馈可以任意配置极点的充要条件是状态反馈可以任意配置极点的充要条件是(A，B)可可控。即控
5、。即存在存在K使得可以任意配置使得可以任意配置ABK的特征值当且仅当的特征值当且仅当(A，B)可控。可控。极点配置极点配置例如对于单输入系统例如对于单输入系统 设计设计K=k1 k2 k3 kn改变改变ABK的最后一行元素，所以可以的最后一行元素，所以可以任意配置任意配置A+BK的特征值；的特征值；BuAxx1210.1.000.0.1000.010naaaaA10.00B极点配置极点配置设希望的闭环特征多项式为设希望的闭环特征多项式为 则闭环系统的特征多项式为则闭环系统的特征多项式为令其与希望的闭环特征多项式相等，可得令其与希望的闭环特征多项式相等，可得 ，则，则*0*11*1)(asasa
6、ssnnnnnkakakakaBKA1322110.1.000.0.1000.010极点配置极点配置)()()()det()(102111kaskaskasBKAsIsnnnn1*1iiiaak1*11*10*0nnaaaaaaK极点配置极点配置 镇定问题是极点配置问题的一个特殊情况。镇定问题是极点配置问题的一个特殊情况。镇定只要求闭环极点配置在复数平面的左半平面镇定只要求闭环极点配置在复数平面的左半平面内，不必配置在具体指定的位置。即镇定只要求内，不必配置在具体指定的位置。即镇定只要求闭环极点都具有负的实部。闭环极点都具有负的实部。 实例：倒摆控制实例：倒摆控制选择状态变量：选择状态变量：4
7、321,xxyxyx系统状态方程为：系统状态方程为：)(10100001000000001043214321tuMlMxxxxlgMmgxxxx为了对倒摆进行控制，考虑为了对倒摆进行控制，考虑 的方程的方程 43xx(1) )(100104343tulxxlgxx开环系统的特征方程为开环系统的特征方程为 ，它在，它在s平面的右半平面上平面的右半平面上一个特征根，因此原系统是不稳定的。引入反馈控制一个特征根，因此原系统是不稳定的。引入反馈控制02lgs42314321 )(xkxkxxkkKxtu将将u(t)代入式代入式(1)得得系统的特征方程为系统的特征方程为可见只要可见只要gkk12, 0
8、)(110432143xxlkkglxx0)(1)(11det12221gklslkslkskgls就能使系统稳定。就能使系统稳定。实例：锁相环实例：锁相环应用：应用： 通信通信 大规模集成电路大规模集成电路实例：锁相环实例：锁相环-Gfilt(s)sin(.)zF/szuuxzuxxsin5 . 025. 075. 00105 . 025. 075. 33108.2864 2.0339 6.19260.00080.00310.00086.31241.5469 4.7207)(sK)(1)(1sGssG: )(1sG实例：锁相环实例：锁相环利用利用MATLAB进行辅助运算进行辅助运算xyuxx
9、12110110863040131、求特征值：求特征值：eig(A)A=-3 1 0;4 0 3;-6 8 10; B=1;0;-1; C=1 2 1;ans = -3.5049 4.3754 6.1295例：例：利用利用MATLAB进行辅助运算进行辅助运算2、求特征多项式求特征多项式 s=poly(A)s = 1.0000 -7.0000 -10.0000 94.00003、求特征根求特征根 roots(s)ans = -3.5049 6.1295 4.3754利用利用MATLAB进行辅助运算进行辅助运算4、求能控性和能观性矩阵：求能控性和能观性矩阵： Qc=ctrb(A,B) Qo=obs
10、v(A,C)Qc = 1 -3 16 0 7 36 -1 -16 -86Qo = 1 2 1 -1 9 4 15 31 135、求矩阵的秩求矩阵的秩 rank(Qc) rank(Qo)ans = 3ans = 3利用利用MATLAB进行辅助运算进行辅助运算6、求矩阵的行列式求矩阵的行列式 det(Qc)7、传递函数和状态空间实现的转换传递函数和状态空间实现的转换 num,den=ss2tf(A,B,C)ans = 194num = 0 0.0000 -5.0000 37.0000den = 1.0000 -7.0000 -10.0000 94.000094107375)(23sssssG利用利
11、用MATLAB进行辅助运算进行辅助运算 A,B,C,D=tf2ss(num,den)a = 7.0000 10.0000 -94.0000 1.0000 0 0 0 1.0000 0b = 1 0 0c = 0.0000 -5.0000 37.0000d = 0利用利用MATLAB进行辅助运算进行辅助运算8、二维图象的绘制二维图象的绘制 t=0:0.1:2*pi; plot(t,sin(t),-pentagram); 利用利用MATLAB进行辅助运算进行辅助运算9、三维曲线的绘制三维曲线的绘制 t=0:0.1:2*pi; x=sin(t);y=cos(t);z=t; plot3(x,y,z,r
12、-); 利用利用MATLAB进行辅助运算进行辅助运算10、三维曲面的绘制三维曲面的绘制 x,y=meshgrid(-3:0.1:3,-2:0.1:2); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5); mesh(x,y,z); xyyxexxyxfz22)2( ),(2利用利用MATLAB进行辅助运算进行辅助运算11、help 指令名称指令名称 12、lookfor 关键词关键词 实例：卫星轨道控制实例：卫星轨道控制下图描述了地球上空高度为下图描述了地球上空高度为463km的赤道园轨道卫星的赤道园轨道卫星实例：卫星轨道控制实
13、例：卫星轨道控制卫星在轨道平面中运动的状态方程为卫星在轨道平面中运动的状态方程为 rtuuxx1000001000201000000300102状态向量状态向量x表示赤道圆轨道的标准摄动，表示赤道圆轨道的标准摄动，ur表示从径向推进表示从径向推进器获得的径向输入，器获得的径向输入，ut表示从切向推进器获得的切向输入，表示从切向推进器获得的切向输入，卫星的轨道角速度为卫星的轨道角速度为 0.0011rad/s（约为每圈（约为每圈90分钟）。分钟）。 实例：卫星轨道控制实例：卫星轨道控制结论：结论：当切向推进器失效，只有径向推进器正常工作时，当切向推进器失效，只有径向推进器正常工作时， 系统是不能
14、控的。系统是不能控的。 当径向推进器失效，只有切向推进器正常工作时，当径向推进器失效，只有切向推进器正常工作时， 系统是完全能控的。系统是完全能控的。参考文献：参考文献：1 R.H.Bishop. Adaptive control of space station with control moment gyros. IEEE Control Systems, October 1992, pp.23-272 Rama K.Yedavalli. Robust control design for aerospace applications. IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems, 25(3),1989,314-324习题习题若状态反馈信号为若状态反馈信号为u=Kx,求解增益矩阵求解增益矩阵K，使系统，使系统 xyuxx11102110的闭环极点为的闭环极点为s1= 1, s2= 2。