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1、2022-8-13第6章 线性系统综合 对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。 因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点,是可以有效地改善系统的性能品质指标的。 这样的控制系统设计方法称为极点配置。 在经典控制理论的系统综合中,无论采用频域法还是根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指标,本质上均属于极点配置方法。 本节所讨论的极点配置问题,则是指如何通过状态反馈阵K的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。2022-8-13第6章 线性系统综合112
2、22cccATATBT B对能控规范II形进行极点配置,求得相应的状态反馈阵如下因此,原系统的相应状态反馈阵K为*1111nnnnKaaaaaa2cKKT2. 若SISO被控系统的状态空间模型不为能控规范II形,则由4.6节讨论的求能控规范II形的方法,利用线性变换x=Tc2 ,将系统(A,B)变换成能控规范II形 ,即有x ( ,) A B2022-8-13第6章 线性系统综合q 下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵K的方法。q 例6-2 设线性定常系统的状态方程为122131 xxu求状态反馈阵K使闭环系统的极点为-1j2。2022-8-13第6章 线性系统综合q 解解 1： 判断系统的能
3、控性。判断系统的能控性。 开环系统的能控性矩阵为114-2ABB则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置。2. 求能控规范求能控规范II形形:1025108121613/16/11012212111211BTBATTAATTTABBTcccc2022-8-13第6章 线性系统综合3. 求反馈律求反馈律: 因此开环特征多项式f(s)=s2-2s-5,而由期望的闭环极点-1j2所确定的期望闭环特征多项式f*(s)=s2+2s+5,则得状态反馈阵K为3/263/7-81-21-61)2- ( -2)5- ( -5-121*12*212ccTaaaaTKK则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方
4、程为2022-8-13第6章 线性系统综合11582141713 xxu通过验算可知,该闭环系统的极点为-1j2,达到设计要求。2022-8-13第6章 线性系统综合q 例6-3 已知系统的传递函数为)2)(1(10)(ssssG试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K,使闭环系统的极点配置在-2和-1j上。q 解解 1：要实现极点任意配置,则系统实现需状态完全能控。 因此,可选择能控规范II形来建立被控系统的状态空间模型。 故有2022-8-13第6章 线性系统综合0100001002311000 xxuyx2. 系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭环特征多项式f*(s)分
5、别为f(s)=s3+3s2+2sf*(s)=s3+4s2+6s+4则相应的反馈矩阵K为K=a3*-a3 a2*-a2 a1*-a12022-8-13第6章 线性系统综合q 因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为0100001046411000 xxuyxq 在例6-3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。 这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、可以直接作反馈量的问题。2022-8-13第6章 线性系统综合 由于状态变量是描述系统内部动态运动和特性的,因此对实际控制系统,它可能不能直接测量,更甚者是抽象的数学变量,
6、实际中不存在物理量与之直接对应。 若状态变量不能直接测量,则在状态反馈中需要引入所谓的状态观测器来估计系统的状态变量的值,再用此估计值来构成状态反馈律。这将在下节中详述。2022-8-13第6章 线性系统综合6.2.3 输出反馈极点配置输出反馈极点配置 由于输出变量空间可视为状态变量空间的子空间,因此输出反馈也称之为部分状态反馈。 由于输出反馈包含的信息较状态反馈所包含的信息少,因此输出反馈的控制与镇定能力必然要比状态反馈弱。 线性定常连续系统的输出反馈极点配置问题可描述为: 给定线性定常连续系统ABCxxuyx2022-8-13第6章 线性系统综合确定反馈控制律使得状态反馈闭环系统的闭环极点
7、配置在指定的n个期望的闭环极点也就是成立nisBKAii,.,2 , 1,)(*vxu H下面,先通过一输出反馈闭环系统的极点变化,考察输出反馈能否像状态反馈那样对能控系统进行极点配置,然后给出相关结论。2022-8-13第6章 线性系统综合 例例 考察下述能控能观的系统它在输出反馈下u=-hy下的闭环系统为其闭环特征多项式为s2+h。xxx01100010yu0100110uhy xxx2022-8-13第6章 线性系统综合从而当h的值变化时,闭环系统的极点从2重的开环极点s=0配置到而不能任意配置。 shsj h 或2022-8-13第6章 线性系统综合 上例说明,输出反馈对能控能观系统可
8、以改变极点位置,但不能进行任意的极点配置。 因此,对某些系统,采取输出反馈可能不能配置闭环系统的所有极点,使得闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点。 故,欲使闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点,要尽可能采取状态反馈控制或动态输出反馈控制(动态补偿器)。 关于输出反馈可以任意配置极点数目p的问题,有如下定理(证明略)。 定理定理6-2 对能控能观的线性定常系统(A,B,C),可采用静态输出反馈进行“几乎”任意接近地配置p=minn,m+r-1个极点。2022-8-13第6章 线性系统综合定理6-2中的n,m,r分别为状态空间、输出空间和输入空间的维数,“几乎”任意接近地配置极点的意义为可以任意地接近于指定的期望极点位置,但并不意味着能确定配置在指定的期望极点位置上。 如,对例6-6的输出反馈问题,由于minn,m+r-1=1,则该系统可以通过输出反馈“几乎”任意接近地配置的极点数为1。如期望的闭环极点为-1与-2,则输出反馈矩阵可以取k=-1或-4,则可以将一个极点配置在-1或-2,但另一个闭环极点不能配置。再如期望的闭环极点为-12j,则输出反馈矩阵可以取k=1,则可以将一个极点配置在与期望极点-12j 最接近的-1上,但未能配置在期望的-12j上。