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1、本章内容：本章内容：1. 1 确定质点位置的方法确定质点位置的方法1. 2 质点的位移、速度和加速度质点的位移、速度和加速度1. 3 用直角坐标表示位移、速度和加速度用直角坐标表示位移、速度和加速度1. 4 用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度度1. 5 圆周运动的角量表示圆周运动的角量表示 角量与线量的关系角量与线量的关系1. 6 不同坐标系中的速度和加速度变换定理简介不同坐标系中的速度和加速度变换定理简介Xian Jaotong University1.1 确定质点位置的方法确定质点位置的方法1.1.1 质点运动学的基本概念质点运动学的基本概念
2、质质 点点: 可忽略形状和大小的物体可忽略形状和大小的物体 有质量而无形状有质量而无形状 和大小。和大小。 质点系质点系: 若干质点的集合。若干质点的集合。xyzOP参照物参照物参考系参考系: 参照物参照物 + 坐标系坐标系(1) 运动学中参考系可任选。运动学中参考系可任选。(2) 参考物选定后参考物选定后, 坐标系可任选坐标系可任选。 运动形式相同运动形式相同, 数学表述不同。数学表述不同。(3) 常用坐标系常用坐标系直角坐标系直角坐标系（ x , y , z ） 球坐标系球坐标系（ r, ）柱坐标系柱坐标系（ , , z ） 自然坐标系自然坐标系 ( s )r 讨论讨论Xian Jaoto
3、ng University质点某时刻位置质点某时刻位置P1.1.2 确定质点位置的方法确定质点位置的方法1. 直角坐标法直角坐标法zxyOz),(zyxPyx2. 位置矢量法位置矢量法kzj yi xr由由位置矢量位置矢量 表示。表示。r位置矢量的大小：位置矢量的大小：222zyxrrP (x, y, z)位置矢量的位置矢量的方向方向：参考物参考物rxcos cosrzrycosXian Jaotong University3. 自然坐标自然坐标法法已知质点相对参考系的运动轨迹时已知质点相对参考系的运动轨迹时, 常用自然法。常用自然法。1.1.3 运动学方程运动学方程OsP s)(tss 参考
4、物参考物位置矢量位置矢量ktzjtyitxtrr)()()()(直角坐标直角坐标)(txx )(tyy )(tzz 自然坐标自然坐标)(tss 已知运动学方程已知运动学方程, 可求质点运动轨迹、速度和可求质点运动轨迹、速度和加速度。加速度。r 意义意义Xian Jaotong University一质点作匀速圆周运动，半径为一质点作匀速圆周运动，半径为r ，角速度为，角速度为 。以圆心以圆心O 为原点。建立直角坐为原点。建立直角坐标系标系Oxy ，O 点为起始时刻，点为起始时刻，设设t 时刻质点位于时刻质点位于P（x , y），用用直角坐标直角坐标表示的质点运动学表示的质点运动学方程为方程为
5、sin , costrytrxtrs位矢位矢表示为表示为自然坐标自然坐标表示为表示为xyPt xyOrs例例解解 ),(yxO j tri trj yi xrsincos求求用用直角坐标直角坐标、位矢、自然坐标表示的质点运动学方程。、位矢、自然坐标表示的质点运动学方程。Xian Jaotong University求求解解hvx220) ()(htltxv坐标表示为坐标表示为例例如图所示，以速如图所示，以速度度v 用绳跨一定用绳跨一定滑轮拉湖面上的滑轮拉湖面上的船，已知绳初长船，已知绳初长 l 0 0，岸高，岸高 h取坐标系如图取坐标系如图依题意有依题意有tltl )(0v质点运动学的基本问题
6、之一是确定质点运动学方程质点运动学的基本问题之一是确定质点运动学方程. 为正确为正确写出质点运动学方程写出质点运动学方程, 先要选定参考系、坐标系先要选定参考系、坐标系, 明确起始明确起始条件等条件等, 找出质点坐标随时间变化的函数关系。找出质点坐标随时间变化的函数关系。0l)(tl)(txO船的运动方程船的运动方程r 说明说明Xian Jaotong University参照物参照物1.2 质点的位移、速度和加速度质点的位移、速度和加速度1.2.1 位移位移位移矢量位移矢量反映了物体运动中位反映了物体运动中位置置 ( 距离与方位距离与方位 ) 的变化。的变化。r 讨论：讨论：(1) 位移是矢
7、量（有大小位移是矢量（有大小, ,有方向）有方向）位移不同于路程位移不同于路程(2) 位移与坐标系原点的位置无关位移与坐标系原点的位置无关rtrttrPQ)()(3)与与r 的区别的区别rOPQrsOrOr分清分清)(tr)(ttrPQsr Xian Jaotong University1.2.2 速度速度( 描述物体运动状态的物理量描述物体运动状态的物理量 )1. 平均速度平均速度rtttrttrtr)()(vo)(ttr)(tr2. 瞬时速度瞬时速度trttrttrtdd)()(lim0vABBAvr 讨论讨论(1) 速度有速度有矢量性矢量性、瞬时性瞬时性和和相对性相对性。(2) 注意速度
8、与速率的区别注意速度与速率的区别trtstrtrdddddd,ddvvvrrXian Jaotong University1.2.3 加速度加速度（反映速度变化快慢的物理量）（反映速度变化快慢的物理量）1. 平均加速度平均加速度vtttttta)()(vvv2. 瞬时加速度瞬时加速度r 讨论讨论(1) 加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。220dddd)()(limtrtttttatvvv)(tv)(ttvvAB)(tv)(ttv)(tr)(ttrO(2) 加加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。Xian Jaot
9、ong University1.3 用直角坐标表示位移、速度和加速度用直角坐标表示位移、速度和加速度1.3.1 位移位移12rrrkzjyixrx yzOr1r2rPQ时刻时刻 t 质点位于质点位于 P 位矢为位矢为1r时刻时刻 t + t 质点位于质点位于Q , 位矢为位矢为2rkzjyixr1111 kzjyixr2222 时间时间 t 内质点的位移为内质点的位移为kzzjyyixx)()()(121212),(111zyx),(222zyx建如图所示坐标，则建如图所示坐标，则Xian Jaotong University1.3.2 速度速度1. 平均速度平均速度ktzjtyitxtrv2
10、. 瞬时速度瞬时速度ktzjtyitxtrddddddddv dd , dd , dd tztytxzyxvvv 222zyxvvvv速度的大小为速度的大小为速度的方向用方向余弦表示为速度的方向用方向余弦表示为 cos , cos , cos vvvvvvzyx其中其中kjizyxvvvvXian Jaotong University1.3.3 加速度加速度taddvktzjtyitx222222ddddddktjtitzyxddddddvvv kajaiaazyx dddd , dddd , dddd 222222tztatytatxtazzyyxxvvv 222zyxaaaa cos co
11、s cos aaazyxaaa大小为大小为方向用方向余弦表示为方向用方向余弦表示为其中其中Xian Jaotong Universityv 运动学的二类问题运动学的二类问题1. 第一类问题第一类问题ar, v已知运动学方程，求已知运动学方程，求(1) t =1s 到到 t =2s 质点的位移质点的位移(2) t =2s 时时a ，vjir 21jir242jijirrr321)2(2)(412jttrajtjtr2dddd , 22dd22vvjaji 2 , 4 222v已知一质点运动方程已知一质点运动方程jtitr)( 222求求例例解解 (1)(2)当当 t =2s 时时Xian Jao
12、tong University解解jat16ddvtjt0(t)(0) d16dvvvjt-t 16(0)(vvtjtir)d 166(dkjti ttr88 6)(2已知已知ja16kri8060)(,)(vv求求和运动方程。和运动方程。代入初始条件代入初始条件kr8(0) 代入初始条件代入初始条件2. 第二类问题第二类问题jt d16dvjtit 166)(v)(ddttrvttrrtjtir0)()0()d 166(d已知加速度和初始条件已知加速度和初始条件, ,求求r, v例例,t =0 时时Xian Jaotong University1.4 用自然坐标表示平面曲线运用自然坐标表示平
13、面曲线运动中的速度和加速度动中的速度和加速度1.4.1 速度速度)()(tsttss1lim0srssrs0limtsvvddtsddvtssrtssrstsdd)lim()lim)(lim(000 )(limlim000tssrtrsttv)(tr)(ttrrPsvQ1OsLO(速度在切线方向上的投影速度在切线方向上的投影)参考物参考物Xian Jaotong University1.4.2 加速度加速度tsvvdd)dd(ddddtsttavttstsdddddd22大小大小: :ttsdddd22v方向方向: :tsa22dd令令( (切向加速度）切向加速度） (反映速度大小的变化反映速
14、度大小的变化) )ttsandddd)(tn)(ttnP)(tQLO)(tt)()(ttt)(t)(tt令令( (法向加速度）法向加速度） 反映速度方向的变化反映速度方向的变化大小大小(t0): )( t方向方向(t0): :nn nttt0limddXian Jaotong Universitynststnanaan1)dtd(dddd2222vvnrnaann2vnnttsan21ddddvvv对于圆周运动对于圆周运动aaatstfsn, dd )(v对于平面曲线运动对于平面曲线运动nntssntttv1 limlim00ttt0limddXian Jaotong University一汽
15、车在半径一汽车在半径R=200m 的圆弧形公路上行驶的圆弧形公路上行驶, ,其运其运动学方程为动学方程为s =20t 0.2 t 2 (SI) . .tts4 . 020ddv根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式, 有有4 . 0ddtavRtRan22)4 . 020(v22222)4 . 020(4 . 0Rtaaanm/s)(6 .19(1) v)m/s(96. 1200) 14 . 020(4 . 0(1)2222a例例汽车在汽车在 t = 1s 时的速度和加速度。时的速度和加速度。求求解解Xian Jaotong University已知质
16、点的运动方程为已知质点的运动方程为BtztAytAx , sin , cos在自然坐标系中任意时刻的速度在自然坐标系中任意时刻的速度解解tszyxdd222vvvBAts dd222vv例例求求tBtAtAd cossin22222设自然坐标的正方向与质点运动方向相同设自然坐标的正方向与质点运动方向相同Xian Jaotong Universityr 讨论讨论(1) 在一般情况下在一般情况下ntsttta222dddddd)(ddvvvv其中其中 为曲率半径，为曲率半径，引入曲率圆后，整条曲线就可看成是由许多不引入曲率圆后，整条曲线就可看成是由许多不同曲率半径的圆弧所构成同曲率半径的圆弧所构成
17、n的方向指向曲率圆中心的方向指向曲率圆中心 BOCxyv(2) 思考思考抛体运动过程中的曲率半径？抛体运动过程中的曲率半径？AXian Jaotong University)(tPQo )极轴(x角坐标角坐标对圆周运动：对圆周运动：)(trr （运动学方程（运动学方程) )极极 径径rcr )(t（运动学方程（运动学方程) )角位移角位移 t（逆时针逆时针 为为正正）ttttttttddlim)()(lim001.5 圆周运动的角量表示圆周运动的角量表示 角量与线量的关系角量与线量的关系1. 极坐标、极坐标、角位置与角位移角位置与角位移2. 角速度角速度（描述质点转动快慢的物理量描述质点转动快
18、慢的物理量）3. 角加速度角加速度（描述质点转动角速度变化快慢的物理量描述质点转动角速度变化快慢的物理量）220dddd)()(limttttttt与与同号质点作加速运动同号质点作加速运动与与异号质点作减速运动异号质点作减速运动Xian Jaotong University4. 角量与线量的关系角量与线量的关系v 速度与角速度的关系速度与角速度的关系PQo )极轴(xrsrsrtrtstddlim0vrta ddvrran2vv2v 加速度与角速度和加速度与角速度和 角加速度的关系角加速度的关系Xian Jaotong University(2) 当当 =? 时时, ,质点的加速度与半径成质点
19、的加速度与半径成45o角？角？(1) 当当t =2s时时, ,质点运动的质点运动的an 和和 a(rad)423t一质点作半径为一质点作半径为0.1m 的圆周运动的圆周运动, ,已知运动学方已知运动学方程为程为(1) 由运动学方程可得由运动学方程可得求求a解解例例以及以及 的大小的大小212ddtttt24dd22 )m/s(4 .23022 ran)m/s(8 . 42ra)m/s(5 .230222naaa(2) 设设 t 时刻时刻, 质点的加速度与半径成质点的加速度与半径成45o角角, 则则naat :rr 224)12(22tt 241444tt s)(55. 0 trad)(67.
20、2423tXian Jaotong University1.6 不同坐标系中的速度和加速度变换不同坐标系中的速度和加速度变换定理简介定理简介r rtu1. 基本概念基本概念绝对参照系绝对参照系S相对参照系相对参照系S 研研 究究 对对 象：象：三种三种 运动运动: S 系相对于系相对于S系的位移：系的位移：tu P 点相对于点相对于S 系的位移：系的位移： r P 点相对于点相对于S 系的位移：系的位移：r绝对绝对、相对相对和和牵连运动牵连运动两个参照系：两个参照系： sOOyxsuPA A APB动点动点 P 牵连位移牵连位移 相对位移相对位移 绝对位移绝对位移 turrXian Jaoto
21、ng University2. 速度变换定理速度变换定理 加速度变换定理加速度变换定理1. 速度变换速度变换ttutttrtrttt000limlimlimerautrtrvvvddddezrzazeyryayexrxaxvvvvvvvvv 牵连相对绝对vvv1lim0ttt牵连相对绝对牵连相对绝对aaatttddddddvvv2. 加加速度变换速度变换Xian Jaotong University一个带篷子的卡车一个带篷子的卡车, ,篷高为篷高为h=2m , ,当它停在马路边当它停在马路边时时, ,雨滴可落入车内达雨滴可落入车内达 d = 1m , ,而当它以而当它以15km/h 的的速率运
22、动时速率运动时, ,雨滴恰好不能落入车中。雨滴恰好不能落入车中。eravvv4 .63arctandhhdavevrv根据速度变换定理根据速度变换定理画出矢量图画出矢量图m/s)(3 . 9km/h5 .33 cos15coseavvev例例解解雨滴的速度矢量。雨滴的速度矢量。求求Xian Jaotong University升降机以加速度升降机以加速度 1.22 m/s2 上升上升, ,有一螺母自升降机的有一螺母自升降机的天花板松落天花板松落, ,天花板与升降机的底板相距天花板与升降机的底板相距 2.74m 。haOxOx取螺母刚松落为计时零点取螺母刚松落为计时零点. . 三种三种加速度加速度为为: :? , ,reaai aai gaearreaaaaaaa ,agaaaexaxrx 212tahr动点动点为螺母为螺母, ,取二个取二个坐标系坐标系如图如图例例解解螺母自天花板落到底板所需的时间螺母自天花板落到底板所需的时间. .求求) s (0.71.229.802.7422aght