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1、在做该章前除了介绍自回归过程的基本概念还应该介绍平稳性、可逆性以及随机性都作以介绍tptptttzzzz2211这里，我们用符号p21,记权参数的有限集合。该式定义的过程称为p 阶自回归过程，或简称为AR(p)过程。特别的对于一阶 (p=1)和二阶 (p=2)自回归模型tttzz11ttttzzz2211在实际应用中是非常重要的。其中，随机干扰项t是相互独立的白噪声序列， 且服从均值为零， 方差为t2的正态分布。 随机项与ptttzzz,21不相 关 。 引 进 滞后 算 子B ，则 上 述 模型 可 表 示 为ttpptttzBzBBzz221，令PPBBBB2211)(，则模型可以写为tt
2、yB)(。该模型平稳性的条件是方程0)(B的特征根都在单位圆外。该模型的参数不需要任何约束就能满足可逆性条件。移动平均模型如果时间序列是它的当期和前期的随机误差项的线性函数，既可表示为qtttttqz2211，则称该时间序列tz 是移动平均序列，上式记为)(qMA，q21,为移动平均系数，是模型的待估参数。引入滞后算子，并令qqBBBB2211)(，则上述模型可以简写为ttBy)(。对于)(qMA模型来说，移动平均模型的参数不需要任何约束就能满足平稳性条件。可逆性条件是方程0)(B的根都在单位圆外。自回归移动平均模型如果时间序列是由它的当期和前期的随机误差项以及前期值的线性函数，即可表示为qt
3、qtttptptttzzzz22112211， 则称该时间序列tz 为自回归移动平均序列。上式称为),(qp阶的自回归移动平均模型。记为 ARMA),(qp。p,21为自回归系数，q21,为移动平均系数。引入滞后算子 B， 则模型可以写为ttBzB)()(。 该过程的平稳性条件是0)(B的名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 特征根都在单位圆外。可逆性条件是方程0)(B的根都在单位圆外。对随机时序的
4、描述最常用的是自相关函数和偏自相关函数。首先介绍自相关函数。在平稳性假定下，我们假设若相应得时间间隔为k，那么tz 和ktz之间的协方差对于任意的t 都是相同的，我们称之为滞后k阶的自协方差，其定义为)(,covkttkttkzzEzz0kkk的取值范围为1 , 1自回归模型关于自相关函数是截尾的偏自相关函数用kj记k阶自回归表达式中的第j个系数，kk就是最后一个系数则j满足下面方程，kjkkkjkkjkj1)1(11得到kerwalYule方程，记为kkkkkkkkk2121212111111或者kkkP，求出的kk即为偏自相关数。偏自相关函数关于移动平均是截尾的。在实际应用中主要是通过求出
5、自相关函数和偏自相关函数来进行函数模型以及阶数的判断。在软件中的操作。在软件中可以同时给出时间序列的自相关函数和偏自相关函数及分析图。在主菜单中选择SeriesQuick /ramCorreStatisticslog/，在屏幕出现的对话框中输入欲分析的序列名称， （对话框 1）点击 OK 就会出现以下的对话框（对话框2）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 对话框的左侧是询问使用者是否对序列进行差分
6、，第一项是对原序列不进行差分，第二项是对序列进行一阶差分，第三项是对序列进行二阶差分。对话框的右侧是让用户定义自相关系数的最大滞后阶数。一般滞后阶数取10n或者是4n，方括号表示取整。 如果考察的是季节数据则应该取周期长度的整数倍。输入后单击 OK 就可得到计算结果。 以下是对课件的附录数据3 的自相关图和偏自相关图该图共分五个部分图片部分左侧是自相关函数图，右侧是偏自相关函数图。 图中的虚线部分即为5%的置信区间。数字部分的第一列为对应的自相关值，第二列为对应的偏自相关值，第三列为Q 检验值，第四列为相应的相伴概率。方法二：用户也可以通过键入命令的方式绘制序列的自相关和偏自相关分析名师归纳总
7、结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 图。如果对上述的时间序列进行操作，则可以在主窗口命令行输入Ident x 然后依步骤就可以显示出上述的（对话框1 和对话框 2）方法三在工作窗口中进行创建。 方法是先双击要进行自相关函数与偏自相关函数分析的时间序列，在该窗口下点击view/ramcorre log，就会出现同上（对话框1 和对话框 2） 。在此不做赘述。时间序列的特性分析 （怎样根据自相关函数图和偏自相关
8、函数图进行时间序列的分析）第三节模型的识别与建立根据上述的自回归模型与移动平均模型以及自回归移动平均模型的自相关函 数 和 偏 自 相 关 函 数 的 拖 尾 性 以 及 截 尾 性 的 特 性 来 进 行 判 断 。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 上图是根据附录三所作的自相关和偏自相关图，根据该图形我们可以初步确定该数据为 ARMA(2,2) 。我们再看数据四根据数据四的图形我们可以知道该数
9、据为非平稳数据我们先对其平稳化采用对该数据取对数的形式对序列取对数然后进行分析。取对数后的序列我们命名为1x。输入的命令为series1x=)log( x，然后绘制1x的自相关函数和偏自相关函数。方法同上所介绍的。 只是根据图形我们可知该数据是二阶平稳的，所以在出现对话框 2 时选定的是 2nd difference我们得到以下的图形名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 从该图形我们可以看出自相关函
10、数在k=1 时和 k=3 时较大，而偏自相关函数在k=1 和 k=2 处较大，其余的都在2 倍标准差之内，所以初步定为ARMA(2,2)ARMA(2,1) 模型。 （存在一个问题就是关于零均值的假设发现二者的计算结果相同）模型参数的估计问题Eviews 中 ARMA 模型进行的参数估计采取的是非线性的方法进行估计，采用的是似然函数的方法进行估计。 （翻看书做补充）在主窗口EstimateQuick /EstimateQuick /Equation实例：我们继续对上述所讨论的两个例子来进行分析名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选
11、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 在该模型中，由于 MA 的单位根很小接近于零所以我们应该使用AR(2)来进行拟合。拟合的结果如下名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 根据节约性，应该对该模型拟合AR(2)模型。对模型的检验参数估计后，应该对模型的适合性进行检验， 即对模型的残差序列进行检验，检验主要采
12、用的方法是2检验法。原理是将t的自相关函数记为),(tkN，自协方差函数记为),(tkN，则NktktttkNN11),(),(/),(),(0ttktkNNN，可以证明，当 N 很大时), 0(),(21kkINNNN其中kI 为 k 阶单位阵。所以当N 较大时，这 k 个变量近似为相互独立的正态)1 , 0(n随机变量，于是检验t独立的问题就转化为检验)1 , 0(),(NIDNNtk),(,2, 1NLk10)(NNL或N ，假设)1 , 0(),(:0NIDNNHtk那么)(),(22)(1qpNLNNNLktk即),()(12tNLkkNNQ服从自由度为qpNL)(的2分布，)(NL
13、为自相关函数的个数，qp为模型参数的个数，于是在给定的显著性水平下若)(21qpNLQ接受0H ；)(21qpNLQ拒绝0H ，即否定t独立。操作步骤，可以直接对残差进行计算。 步骤为在拟合完方程后模型会自动的生成残差序列，然后继续以上所说的对序列进行自相关以及偏自相关的方法。第二种方法是对在模型的输出结果直接进行检验。具体操作步骤如下：在方程的输出窗口中点击VIEW/Residul Test/Correlogram-Q-statistics,然后在弹出名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -
14、- - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 的对话框中输入相应的内容即可得到结果。继续上例，对拟合后的残差进行检验，得到如下的结果图中的最后两列就是用于2检验的，第一列就是上面所介绍的Q 统计量， 第二列就是相伴概率。 从该结果我们可以看出不能拒绝该残差的独立性检验，所以这些残差是独立的。第四节模型的预测若模型经检验是合适的并且也符合实际意义，则就可以用于短期预测。 使用该检验法进行模型的预测主要是使用L 步预测法，使预测方差达到最小的预测。具体原理如下：用条件期望作为预测值。由于tX 之间具有相关性，因而ltX的概率分布是有条件 的 （ 即
15、在,1ttXX） 已 给 定 的 条 件 下 ， 其 期 望 也 是 有 条 件 的 ， 即),()(?1ttlttXXXElX，有关tX 和t的条件期望具有以下的定则：（1）常量的条件期望是其本身， 对 ARMA 序列而言， 现在时刻与过去时刻的观测值及其扰动的条件期望是其本身。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 即tttkXXXXE),(21（tk）kttkXXE),(21(tk) (2) 未来扰动的期望为零，即kttkXXE),(21（tk）（3）未来取值的期望为未来取值的预测值，即)(?),(1lXXXXEtttlt（1l）利用以上性质求条件期望，有22111),()(?tltltlttlttGGGXXXElX本软件就是使用该种方法进行预测的。使用差分方程进行预测。预测实例：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -