《2022年2021-2021年江苏省高考数学试题分类解析汇编-数列解析版 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2021-2021年江苏省高考数学试题分类解析汇编-数列解析版 .pdf（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2008-2018年江苏省高考数学试题分类解析汇编专题 2：数列一、填空题1. （2018年江苏省5分） 已知集合 Ax |x2n1,nN*，nBx | x2 ,nN*。 将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列na，记nSnS为数列na的前 n 项和，则使得nn 1S12a成立的 n 的最小值为 。【答案】27。【考点】 数列求和。【分析】 所有正奇数和n2 (nN*)按照从小到大的顺序排列构成na，在数列na中求前 n 项和用分组求和法。 采用列举法，当n1时，12S112a24， 不符合题意； ；当n27时，5272822(143)2(12 )S4846254612a540212。2
2、. （2017 年江苏省 5 分） 等比数列na的各项均为实数，其前 n 项为 Sn， 已知37S4，663S4则 a8= 。【答案】 32。【考点】 等比数列的求和公式和通项公式。【分析】 设等比数列na的公比为q1，因为37S4，663S4可得3161a (1q )71q4a (1q )631q4，解得11a4，q2，所以781a2324。3.（2016 年江苏省 5 分）已知na是等差数列，nS是其前n项和若212aa3，5S10，则9a的值是 。【答案】 20。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - -
3、- - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 【考点】等差数列通项，等差数列前n 项和。【分析】设公差为d，则由题意可得211aad3，15a10d10，解得1a4，d3，则9a48320。4.（2015 年江苏省 5 分）设数列na满足1a1，且*n 1naan 1nN（），则数列n1a的前 10 项的和为 。【答案】2011。【考点】 数列求和，数列递推式。【分析】根据题意，数列na满足1a1， 且n1naan 1 n N*（）， 利用“累加求和”当 n2时，nnn1211n(n1)aaaaaan212（ ）（ ）；当 n1
4、时，上式也成立，nn(n1)a2，n12112()an(n1)nn1，数列n1a的前 n 项的和n1111112nS2 (1)()()2(1)223nn1n1n1，数列n1a的前 10 项的和为。5. （2015 年江苏省 5分） 设向量kkkka(cos,sincos)666k0 1212（， ， ， ）， 则11kk 1k0aa（）的值为 。【答案】9 3。【考点】 数列求和向量的结合。【分析】kk 1k(k1)kk(k1)(k1)aacoscos(sincos)(sincos)666666k(k1)k(k1)k(k1)k(k1)coscossinsinsincoscossin666666
5、66名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - k(k1)coscos66k(2k1)1(2k1)cossincoscos6626633(2k1)1(2k1)sincos22626，11kk1k03 335791123aa12(sinsinsinsinsinsinsin)46666666（）135791123(coscoscoscoscoscoscos)266666669 30093。6.（2014 年江
6、苏省 5 分）在各项均为正数的等比数列na 中，若2a1，864aa2a，则6a的值是 _ 。【答案】 4。【考点】 等比数列通项公式的求法。【分析】 设公比为 q ，因为2a1，则由864aa2a得642qq2a，42qq20，解得2q2，所以462aa q4。7. （ 2013年 江 苏 省 5分 ） 在 正 项 等 比 数 列na中 ，51a2，67aa3. 则 满 足123n123naaa.aa a a .a的最大正整数n的值为 。【答案】12。【考点】 等比数列的性质。【分析】525527n66n1a,2a qa q3qq60q0q2a2aa32123n123nn11nn 552aa
7、a.aa a a .a222名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 2n11nn 55222220n11nn521312913129n228（2012 年江苏省 5 分）现有 10 个数，它们能构成一个以1 为首项， -3 为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于8 的概率是 。【答案】35。【考点】 等比数列与概率结合。【分析】 因为以 1 为首项， -3 为公比的等比数列的1
8、0 个数为 1，-3，9，-27， 其中有 5 个负数，1个正数1，共计6个数小于8，所以从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是63=105。9.（2011 年江苏省 5 分） 设1271aaa，其中1357a ,a ,a ,a成公比为q的等比数列，246a ,a ,a成公差为1的等差数列，则q的最小值是 。【答案】33。【考点】 等比数列、等差数列的基本性质。【分析】 由题意知：2312121211aaa qa1a qa2a q，22aqa1，222a1qa2，32qa23，而2a1，1a1，2a，2a1，2a2的最小值分别为1，2，3；3minq3 。10.（2010 年江苏省 5
9、 分）函数2yxx0 的图像在点2kka ,a处的切线与 x 轴交点的横坐标为k1a,k 为正整数，1a16，则135aaa= 。【答案】 21。【考点】 数列的通项。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 【分析】 在点2kka ,a处的切线方程为：2kkkya2a (xa )，当y0时，解得kax2，所以kk 1aa2，135aaa164121。11. （2009 江苏省年 5 分） 设na是公比
10、为 q 的等比数列， q1， 令nnba1n 1 2（， ），若数列nb有连续四项在集合53 -23 19 37 82， ， ，中，则 6q= 。【答案】6q9。【考点】 等比数列的性质。【分析】 根据nnba1可知nnab1，依据nb有连续四项在53 -23 19 37 82， ， ，中，nnba1，nnab1则na有连续四项在53 -23 19 37 82， ， ，中na是等比数列，等比数列中有负数项则q0，且负数项为相隔两项，等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值 18 -24 36 -54 81， ，相邻两项相除：244-=-183；363-=-242；543-=-
11、362；813-=-542，由此知，24 36 -54 81， ，是na中连续的四项，3q-2或2q3（ q1 ，此种情况应舍）3q-2，所以6q9。12.（2008 年江苏省 5 分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n 3）从左向右的第 3 个数为 【答案】2nn62。【考点】 等比数列的前 n 项和，归纳推理。【分析】 观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n行的最后一个数，即为前n项数据的个数，故我们要判断第 n 行n3（）从左向右的第 3 个数，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -
12、- -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 可先判断第n 1行的最后一个数，然后递推出最后一个数据。前n 1行共有正整数1+2+n-1（）个，即2nn2个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第2nn+32个，即为。二、解答题1. （2018 年江苏省 16 分）设na是首项为1a，公差为 d 的等差数列，nb是首项为1b，公比为q的等比数列。（1）设1a0，1b1，q2，若nn1abb对 n=1，2，3，4 均成立，求 d 的取值范围；（2） 若11ab0，mN*，nq1 ,2
13、， 证明：存在dR， 使得nn1abb对 n=2， 3， ，m+1 均成立，并求 d 的取值范围（用 b1，m，q 表示）。【答案】 （1）75d32；（2）mm11b (q2) b qd,mm。【考点】 等差数列和等比数列以及不等式的综合应用。【分析】（1）由题意可知nnab1对任意 n=1,2,3,4 决成立，1a0,q2011d212d413d81，解得1d335d227d33，即75d32；（2）n1aa(n1)d，n 1n1bbq，若存在 dR ，使得nn1abb 对n=2，3，m+1均 成 立 ， 则n 1111b(n1)dbqbn2 3m1（， ，）， 即n 1n 111b qq
14、2bdn1n1名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - n2 3m1（， ，），nq1,2，n 1m1qq2n2 3m1（， ，），n 11q2b0n1，n 11b q0n1，因此取d0时，nn1abb 对 n2 3m1， ，均成立；当2nm时，nn 1nnn 1nn 1nq2q2nqqnq2n(qq)q2nn1n(n1)n(n1)， 当1m1q2时， 有nmqq2，从而nn 1nn(qq)q20，因此
15、当2nm1时，数列n 1q2n1单调递增，故数列n 1q2n1的 最 大 值 为mq2m； 设xf ( x )2( 1x)， 当x0时 ，xf (x)(ln21xln2)20，所以f(x)单调递减，从而f(x)f(0)1，当2nm时，n1mn 1qq(n1)11n2 (1)f()1qnnnn1， 因此当2nm1时， 数列n 1qn1时单调递减数列，故的最小值为mqm，所以d的取值范围是mm11b (q2) b qd,mm。2 （ 2017年 江 苏 省16分 ） 对 于 给 定 的 正 整 数k ， 若 数 列na满 足 ：nknk1n1n1nk1naaaaaa2 k a对任意正整数nnk（
16、）总成立，则称数列na是“P(k)数列”，（1）证明：等差数列na是 “P(3)数列”；（2）若数列 an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：na是等差数列【答案】【考点】 等差数列的性质。【分析】 （1）证明：设等差数列na首项为1a，公差为d，则n1aa(n1)d，则n 3n 2n 1n 1n2n3n 3n3n 2n2n 1n 1nnnnaaaaaaaaaaaa2a2a2a23a（）（）（）等差数列an是“P(3)数列”；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - -
17、 - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - （ 2 ） 证 明 ： 由 数 列na是 “P ( 2 )数 列 ” 则n2n1n1n2aaaa4 a， 可 知n3n2nn1aaaa4 a，数列na是“P(3)数列”n 3n 2n 1n 1n 2n 3naaaaaa6a，n 1nn 2n 3n 1aaaa4a由()：nnn 1n 12a6a4a4a，整理得：nn 1n 12aaa，数列na是等差数列。3. （2016 年江苏省 16 分）记U1,2,100对数列na（*nN ）和U的子集 T ，若T，定 义TS0； 若12kTt , t , t， 定 义12kT
18、tttSaaa 例 如 ：T1, 3, 6 6时 ，T136 6Saaa现设na（*nN ）是公比为 3的等比数列，且当T2,4时，TS30（1）求数列na的通项公式；（2）对任意正整数 k （1k100） ，若T1,2,k，求证：Tk 1Sa；（3）设 CU ，DU，CDSS，求证：CC DDSS2S。【答案】 （1）n 1na3。【考点】 等差数列通项公式，等差数列的应用。【分析】 (1) 当T2,4时，T2422Saaa9a30，因此2a3，从而21aa13，n 1na3；(2)k2k1kT12kk131Saaa13333a2；(3) 设CACDe，DBCDe， AB，CACDSSS，D
19、BC DSSS，CCDDABSS2SS2S， 因此原题就等价于证明ABS2S 由条件CDSS可知ABSS，若B，则BS0，所以，ABS2S；若B，由ABSS可知A，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若ml1，则由题意知，Al 1mBSaaS，矛盾，因为AB，所以lm，所以lm，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - m2m 1m 1lAB12maaS31Saaa13332222，即ABS2S，综上
20、所述，ABS2S，因此CC DDSS2S。4.（2015 年江苏省年 16 分）设 a1，a2，a3a4是各项为正数且公差为dd0（）的等差数列，（1）证明：1a2，2a2，3a2，4a2依次构成等比数列；（2）是否存在 a1，d，使得1a，22a，33a，44a依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在 a1，d 及正整数 n，k，使得n1a，n k2a，n 2k3a，n 3k4a依次构成等比数列？并说明理由。【答案】【考点】 证明等比数列，等比数列的性质。【分析】 （1）证明：n1n 1nnaaada2222，n1,2 3（，)是同一个常数，1a2，2a2，3a2，4a2依次构成等比数列
21、；（2） 令1ada， 则1a，2a，3a，4a分别为ad，a ，ad，a2dada2dd0（ ， ，）假设存在1a，d使得1a，22a，33a，44a依次构成等比数列，则43a(ad)(ad)， 且624( ad )aa2 d )， 令dta， 则31( 1t ) ( 1t )， 且64(1t)(12t)，1(t1,t0)2，化简得32t2t20，且2tt1，将2tt1代入32t2t20中，2t(t1)2(t1) 2t3tt13t4t10，则1t4，显然1t4不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在1a，d，使得1a，22a，33a，44a依次构成等比数列；（3）假设存在1a，d及
22、正整数n，k，使得n1a，n k2a，n 2k3a，n 3k4a依次构成等比数列，则nn 2k2(nk )111aa2d)(a2d)(，且n kn3k2(n2k )111(ad)a3d)(a(2d)，分别在两个等式的两边同除以2 n2k1a（），并令1dta，1(t,t0)3，则n2 k2 ( nk )(12t )(1t )，且名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - n kn3k(n2k)(1t)13
23、t)(12t)(2，将上述两个等式取对数，得(n2k)ln(12t)2(nk)ln(1t)，且(nk)ln(1t)(n3k)ln(13t)2(n2k)ln(12t)，化简得， 2k ln(12t)ln(1t) =n 2ln(1t) ln(12t)，且3k ln(13t)ln(1t)n 3ln(1t)ln(13t)，再将这两式相除，化简得ln(13t)ln(12t)3ln(12t)ln(1t)4ln(13t)ln(1t)，令g(t)4ln(13t)ln(1t)ln(13t)ln(12t)3ln(12t)ln(1t)，则222g (t)13t) ln(13t) 3(12t) ln(12t)3(1t
24、) ln(1t)(，令222(t)(13t) ln(13t) 3(12t) ln(12t)3(1t) ln(1t)，则(t)6 13t)ln(13t) 2(12t)ln(12t)3(1t)ln(1t)(，令1tt（ ） （ ），则1t6 3ln(13t) 4ln(12t)ln(1t) （ ），令21tt（ ）（ ）， 则212t0(1t)(12t)(13t)（ ）由12g00000（ ） （ ）（ ）（ ），2t0 （ ），知g(t)，t（ ），1t （ ），2t （ ）在1(,0)3和0（ ，）上均单调，故g(t)只有唯一的零点t0，即方程ln(13t)ln(12t)3ln(12t)ln(1
25、t)4ln(13t)ln(1t)只有唯一解t0，故假设不成立， 所以不存在1a，d及正整数n，k， 使得n1a，n k2a，n 2k3a，n 3k4a依次构成等比数列。5.（2016 年江苏省 16 分）设数列na 的前 n 项和为nS若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得nmSa，则称na 是“H数列” ，（1）若数列na 的前 n 项和nnS2 (n)N，证明：na 是“H数列” ；（2）设na 是等差数列，其首项1a1，公差d0若na 是“H数列” ，求 d 的值；（3） 证明：对任意的等差数列na ， 总存在两个 “H数列”nb 和nc ， 使得nnnabc (n)N成立【答案】 （
26、2）d1。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 【考点】 数列新定义，等差数列公差的求法。【分析】（1）当n2时，nn 1n 1nnn 1aSS222，当n1时，11aS2，n1时，11Sa，当n2时，nn 1Sa，na 是“H数列” ；（ 2 ）n1n(n1)n(n1)Snadnd22， 对nN，mN使nmSa， 即n ( n1 )nd1( m1 ) d2， 取n2得1d(m1)d，1m2d，
27、d0， m2， 又mN，m1，d1；（ 3 ）设n a 的 公 差 为 d ， 令n111ba(n1)a( 2n )a， 对nN，n 1n1bba，n1c(n1)(ad)，对nN，n 1n1ccad，则nn1nbca(n1)da，且nnb c ，为等差数列，nb 的前 n 项和n11n(n1)Tna( a )2，令n1T(2m)a，则n(n3)m22，当n1时m1；当n2时m1；当n3时，由于 n 与n3奇偶性不同，即n(n3)非负偶数，mN，因此对n，都可找到mN，使nmTb成立，即nb 为“H数列” ，nc 的前项和n1n(n1)R(ad)2， 令n1mc( m 1 ) ( ad ) R，
28、 则n ( n 1 )m12， 对nN，n(n1)是非负偶数，mN，即对nN，都可找到mN，使得nmRc成立，即nc 为“H 数列” ，因此命题得证。6.（2015 年江苏省 16 分）设na是首项为a，公差为d的等差数列0d，nS是其前n项和，记2nnnSbnc，Nn*，其中c为实数，(1) 若0c，且1b，2b，4b成等比数列，证明：2NnkkSn Sk,n*；(2) 若nb是等差数列，证明：0c。【答案】【考点】 等差数列、等比数列的证明。【分析】（1）naan1 d d0 ，2nnnSnad2，当c0时，nnSbn，11Sba1，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -
29、- - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 22Sdba22，44S3dba42124b ,b ,b成等比，2142b bb，23ddaaa22，2d2ad，d0，d2a，2nSn a，22nkSn k a，222kn Sn k a，2nkkSn S（2）由已知232nn22nS2n an dn dbnc2n2c，nb是等差数列，设nbknb（k,b为常数）所以有322kd n2bd2a n2ckn2bc0对任意nN恒成立2 kd02 bd2 a02 c k
30、02 b c0，d0，k0c0此时dk2，2adb2，命题得证。7. （2012 年江苏省 16 分）已知各项均为正数的两个数列na和nb满足：nnn 122nnabaabnN *（），（1）设nn 1nbb1a，nN *（），求证：数列2nnba是等差数列；（2）设nn 1nbb2a，nN *（），且na是等比数列，求1a和1b的值。【答案】 （2）11ab2。【考点】 等差等比数列的基本性质，数列与基本不等式的结合。【分析】 （1）nn 1nbb1a，nnn 1n 1222nnnnabbaabb1a，2n 1nn 1nbb1aa，22222n 1nnnn 1nnnbbbb-=1-=1aaa
31、a（）（）（）nN *（）， 因 此 数 列2nnba是等差数列；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - （2）na0，nb0，22nn22nnnnababab2，nnn 122nnab1a2ab，设等比数列na的公比为 q，由na0知q0，用反证法证明q1。 若q1则212aaa2q， 当q12nloga时 ，1nn 1aa q2， 与nnn 122nnab1a2ab矛 盾； 若0q1， 则212
32、aaa1q， 当q11nloga时 ，1nn 1aa q1与nnn 122nnab1a2ab矛盾；综上所述，q1，n1aanN *（），11a2。 又nn 1nn1b2b2=baanN *（）nb是公比为12a的等比数列。若1a2则121a，于是123bbb又由nnn 122nnabaab即1n1221nabaab，得22111n21aa2aba1，所以1b，2b，3b中至少两项相同，与123bbb矛盾，所以1a2，22n22222b= 221，所以11ab2。8.（2011 年江苏省 16 分）设 M 为部分正整数组成的集合，数列na 的首项1a1，前 n 项和为nS，已知对任意整数k 属于
33、 M，当 nk 时，nkn knkSS2(SS )都成立。（1）设 M=1，2a2，求5a的值；（2）设 M=3，4，求数列na 的通项公式。【答案】 （1）5a =8；（2）na2n1。【考点】 数列的递推式，数列的通项公式。【 分 析 】 （ 1 ）n 1n 1n1n 2nn 11k1 ,n1 ,SS2(SS ),SS2(SS )即 ：n2nnaa2 a，所以，n1时，na成等差，而2a2，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 17 页
34、- - - - - - - - - 2321135S3,S2(SS )S7,a4,a8；（2）由题意：n 3n 3n3n3SS2(SS )，（1）；n 4n 4n4n4SS2(SS )，（2）；n4n2n 13n4SS2(SS )，（3）；n5n3n 14n5,SS2(SS ),（4）；当n5 时，由（1）（2）得：n4n 34aa2a（5）；由（3）（4）得：n 5n24aa2a（6）；由（1）（3）得：n 4n 2n 1aa2a（7）；由（2）（4）得：n 5n 3n 1aa2a（8）；由（7）（8）知：n 4n 1n 2aaa，成等差，n 5n 1n 3aaa，成等差；设公差分别为：12
35、dd，由（5）（6）得：n5n 32n442aa2da2a2d（9）；n 4n 21n 541aa2da2a2d（10），由（9）（10）得：n5n421412n 2n 321aadd ,2add ,aadd；na(n2) 成等差，设公差为d ，在（ 1）（ 2）中分别取n=4,n=5得：12122a +6a15d2( 2a5a5d)即24a5d2；12122a8a28d2(2a7a9d)，即23a5d1，2na3,d2,a2n1。9.（2010 年江苏省 16 分）设各项均为正数的数列na的前 n 项和为nS，已知2132aaa，数列nS是公差为d的等差数列。（1）求数列na的通项公式（用
36、nd，表示）；（2）设c 为实数，对满足mn3k且mn的任意正整数 mnk， ，不等式mnkSScS都成立。求证： c 的最大值为92。【答案】 （1）2na(2n1)d。【考点】 数列通项，数列求和。【分析】（ 1）由题意知：d0，n11SS(n1)da(n1)d ，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 213232132aaa3aS3(SS )S，化简，得：221111a2 add0adad，
37、22nnSd(n1)dndSn d，当n2时，22222nnn 1aSSn d(n1) d(2n1)d，适合n1情形。故所求2na(2n1)d（2）（方法一）222222222mnkSScSm dn dc k dmnc k，222mnck恒成立。又mn3 k 且mn，2222222mn92(mn )(mn)9kk2，故9c2，即c 的最大值为92；（方法二）由1ad及n1Sa(n1)d，得d0，22nSn d。于是，对满足题设的mnk， ，mn，有2222222mnk(mn)99SS(mn )ddd kS222，所以 c 的最大值max9c2。另一方面，任取实数9a2。设k为偶数，令33mk1
38、nk122，则 mnk， ， 符合 条 件 ， 且22222222mn331SS(mn )dd (k1)(k1) d (9k4)222。 于 是 ， 只 要229k42ak，即当2k2a9时，22mnk1SSd2akaS2。所以满足条件的9c2，从而max9c2。因此 c 的最大值为92。10.（2009 年江苏省14 分） 设na是公差不为零的等差数列，nS为其前 n 项和，满足22222345aaaa，7S7（1）求数列 an的通项公式及前 n 项和nS；（2）试求所有的正整数m，使得mm 1m2a aa为数列na中的项。【答案】（ 1）na5(n1)22n7，2n(n1)Sn5n2n6n
39、2；（2）m2。【考点】 数列求和、等差数列的性质。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 【 分 析 】 （ 1 ） 先 把 已 知 条 件 用1a及d表 示 ， 然 后 联 立 方 程 求 ， 即1a7 a2 1 d722221111（+d）+(a +2d) =(a +3d) +(a +4d)，可得1a5d2，所以na5(n1)22n7，2n(n1)Sn5n2n6n2（2）由（1）知mm 1m2
40、a am8=2m9a2m32m3（2-7） (2m -5)，若使mm 1m 2a aa为数列na中的项，则82m3必须为整数，且 m 为正整数，因此得m2或m1， 当m1时，mm 1m2a a=-15a，1a5是最小值，故不符合题意，舍去；当m2时，mm 1m 2a a=3a，符合题意，所以m2。11.（2008 年江苏省 15 分）（1）设 a1，a2，an是各项均不为零的nn4（）项等差数列，且公差d0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，（1）当 n=4 时，求1ad的数值；求 n 的所有可能值。（2） 求证：对于给定的正整数n （n4） ， 存在一个各项及公差均
41、不为零的等差数列b1， b2， ，bn，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。【答案】 （1）11aa=-4=1dd，n4。【考点】 等比数列的性质、关系、性质。【分析】（ 1）当n4时，1a，2a，a3，4a中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d0。若删去2a，则2314aaa，即2111a2daa3d（）（）化简得1a4d0，得1a=-4d若删去3a，则2214aaa，即2111adaa3d（）（）化简得a1-d0，得1a=1d名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - -
42、- - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 综上所述，得1a=-4d或1a=1d当n5时，1a，2a，a3，4a，5a中同样不可能删去1a，2a，4a，5a，否则出现连续三项。若删去3a，则1524aaaa，即1111aa4dada3d（）（） （）化简得23d0，因为d0， 所以3a不能删去；当n6时，不存在这样的等差数列 事实上，在数列1a，2a，3a， ，n2a，n1a，na中， 由于不能删去首项或末项， 若删去2a， 则必有1n3n2aaaa，这与 d0矛盾；同样若删去n-1a也有1n3n2aaaa，这与 d0 矛盾；
43、若删去3a，n2a中任意一个，则必有1n3n2aaaa，这与d0矛盾。（或者说：当n6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项），综上所述，n4；（2） 假设对于某个正整数n， 存在一个公差为 d 的 n 项等差数列 b1， b2， bn， 其中x1b，y1b，z1b，0 xyzn-1（ ）为 任 意 三 项 成 等 比 数 列 ， 则2y 1x 1z 1bbb， 即2111by dbx dbz d（）（）（）， 化简得221yxzdxz2yb d（）（）， 由1b d0知，2y -xz与xz-2y同时为0或同时不为0，当2y -xz与xz-2y同时为0时，有xyz与题设矛盾；故2y -xz与xz-2y同时不为 0，所以由221yxzdxz2yb d（）（）得21byxzdxz2y，因为0 xyzn-1 ，且 x、y、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而1bd为有理数。于是，对于任意的正整数nn4（），只要1bd为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列，例如n项数列 1，满足要求。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -