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1、-第 1 页第三章知识点总第三章知识点总结结矩阵的初等矩阵的初等变换与线性方程变换与线性方程组组-第 2 页第三章第三章矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第一节第一节矩阵的初等变换矩阵的初等变换初等行变换初等行变换初等列变换初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r”换成“c”。扩展扩展矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换,且类型相同。矩阵等价矩阵等价ABAB如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。等价关系的性质等价关系的性质（1）反身性 AA3 A B,B C,A C（）传递性 若则。（课本 P59）
2、行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。行最简形矩阵行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在的列的其他元素都为 0.标准型标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如rm nEOFOO的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵 A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。初等变换的性质初等变换的性质设 A 与 B 为 mn 矩阵，那么初等矩阵：初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。初等矩阵的性质初
3、等矩阵的性质设 A 是一个 mn 矩阵，则（1）对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；（2）对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵；-第 3 页即;cABnQAQB存在 阶可逆矩阵，使（4）方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,llP PPAPPP使。（5）rAAE可逆的充分必要条件是。（课本 P？）初等变换的应用初等变换的应用（1）求逆矩阵：）求逆矩阵：1(|)|A EE A 初等行变换或1AEEA 初初等等列列变变换换。（2）求）求 A-1B：A(,)(,),rA BE P即1(|)|A BE A
4、 B 行，则 P=A-1B。或1EABBA 初等列变换.第二节第二节 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩任何矩阵m nA，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩）矩阵的秩矩阵的秩在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D，且所有 r+1 阶子式(如果存在的话)全等于 0，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式。数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A).规定零矩阵的秩，R(0)=0.说明说明1.矩阵矩阵 Amn，则，则 R(A)minm,n;2.R(A)=R(AT);3.R(A)r 的充分必要条件是的充分必要条件是至
5、少有一个至少有一个 r 阶子式不为零阶子式不为零;4.R(A)r 的充分必要条件是的充分必要条件是所有所有 r+1 阶子式都为零阶子式都为零.满秩和满秩矩阵满秩和满秩矩阵矩阵ijm nAa，若()R Am，称 A 为行满秩矩阵；若()R An，称 A 为列满秩矩阵；,(),AnR AnA若 为 阶方阵 且则称 为满秩矩阵。矩阵秩的求法矩阵秩的求法-第 4 页定理定理 1矩阵 A 经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若 AB，则 R(A)=R(B)。矩阵 Amn，经过有限次初等行变换可变为行阶梯形，则非零行的行数就是 A 的秩。（证明课本 P？）推论推论()()PQR PAQR A若、可逆，
6、则（课本 P？）矩阵秩的性质总结矩阵秩的性质总结(9)AB=OAB=O设，若 为列满秩矩阵，则（矩阵乘法的消去率）。（课本 P71）第三节第三节线性方程组的解线性方程组的解线性方程组11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容定理定理 2n 元齐次线性方程组 Ax=0（1）R(A)=nAx=0 有唯一解，零解（2）R(A)nAx=0 有非零解.定理定理 3n 元非齐次线性方程组Axb（1）无解的充分必要条件是(A)R(A,b)R（2）有唯一解的充分必要条件是(A)R(A,b)n
7、R（3）有无限多接的充分必要条件是(A)R(A,b)nR（证明课本 P71）基础解系基础解系齐次线性方程组0Ax 的通解具有形式1 122xcc(c1,c2为任意常数)，称通解式1 12212,xccc c为任意常数中向量12,构成该齐次线性方程组的基础解系。线性方程组的解法线性方程组的解法齐次线性方程组齐次线性方程组：将系数矩阵 A 化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解.若有非零解，化成行最简形矩阵，写出其解；齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为 nR(A)，齐次线性方程组的通解可以表成基础解系的“线性组合”。-第 5 页非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：将增广矩阵 B=(A,b)化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，写出其解；在求解过程中，一般取行最简形矩阵中非零行的第一个非零元对应的未知量为非自由的。非齐次线性方程组解的通解具有形式*1 122xcc(c1,c2为任意常数)，不带参数部分*是非齐次方程组的一个解；带参数部分1 122cc的两个向量构成对应齐次方程的基础解系。定理定理矩阵方程 AXB 有解的充分必要条件是 R(A)R(A,B)定理定理,()min(),()ABCR CR A R B设则