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1、规范解答集训(四)立体几何(建议用时：40分钟)1(2019长沙模拟)已知三棱锥PABC(如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD为边长等于的正方形，ABE和BCF均为正三角形，在三棱锥PABC中：(1)证明：平面PAC平面ABC；(2)求三棱锥PABC的表面积和体积图1 图2解(1)如图，设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意，得PAPBPC，PO1，AOBOCO1.因为在PAC中，PAPC，O为AC的中点，所以POAC.因为在POB中，PO1，OB1，PB，所以PO2OB2PB2，所以POOB.因为ACOBO，AC，OB平面ABC，所以PO平面ABC，因为PO平面PAC，所以平面
2、PAC平面ABC.(2)三棱锥PABC的表面积S2()22，由(1)知，PO平面ABC，所以三棱锥PABC的体积VSABCPO1.2如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是梯形，ABDC，ABC90，ADSD，BCCDAB，侧面SAD底面ABCD.(1)求证：平面SBD平面SAD；(2)若SDA120，且三棱锥SBCD的体积为，求侧面SAB的面积解(1)证明：设BCa，则CDa，AB2a，由题意知BCD是等腰直角三角形，且BCD90，则BDa，CBD45，所以ABDABCCBD45，在ABD中，ADa，因为AD2BD24a2AB2，所以BDAD，由于平面SAD底面ABCD，平面SAD平面AB
3、CDAD，BD平面ABCD，所以BD平面SAD，又BD平面SBD，所以平面SBD平面SAD.(2)由(1)可知ADSDa，在SAD中，SDA120，SA2SDsin 60a，作SHAD，交AD的延长线于点H.则SHSDsin 60a，由(1)知BD平面SAD，因为SH平面SAD，所以BDSH，又ADBDD，所以SH平面ABCD，所以SH为三棱锥SBCD的高，所以VSBCDaa2.解得a1，由BD平面SAD，SD平面SAD，可得BDSD，则SB2，又AB2，SA，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为，则SAB的面积为.3(2019福州质量检测)如图，在平行四边形ABCM中，D为CM的中点，以AD
4、为折痕将ADM折起，使点M到达点P的位置，且平面ABCD平面PAD，E是PB的中点，AB2BC.(1)求证：CE平面PAD；(2)若AD2，AB4，求三棱锥APCD的高解(1)取AP的中点F，连接DF，EF，如图所示因为点E是PB的中点，所以EFAB，且EF.因为四边形ABCM是平行四边形，D为CM的中点，所以ABCD，且CD.所以EFCD，且EFCD，所以四边形EFDC为平行四边形，所以CEDF，因为CE平面PAD，DF平面PAD，所以CE平面PAD.(2)取AD的中点O，连接PO，CO，如图所示在平行四边形ABCM中，D为CM的中点，AB2BC，AD2，AB4，所以MDMAADCD2，所以
5、ADC120，PDPAAD2，所以SACDADCDsinADC22，OC，ADP为正三角形，所以POAD，且PO.因为平面ABCD平面PAD，所以PO平面ABCD，所以POOC，所以PC.在等腰三角形PCD中，易得SPCD.设三棱锥APCD的高为h，因为VAPCDVPACD，所以SPCDhSACDPO，所以h，所以三棱锥APCD的高为.4如图，在直三棱柱ABCABC中，ACBC5，AAAB6，D，E分别为AB和BB上的点，且.(1)当D为AB的中点时，求证：ABCE；(2)当D在线段AB上运动时(不含端点)，求三棱锥ACDE体积的最小值解(1)证明：D为AB的中点，E为BB的中点，三棱柱ABC
6、ABC为直三棱柱，AAAB6，四边形ABBA为正方形，DEAB.ACBC，D为AB的中点，CDAB.由题意得平面ABBA平面ABC，且平面ABBA平面ABCAB，CD平面ABC，CD平面ABBA.又AB平面ABBA，CDAB.又CDDED，AB平面CDE，CE平面CDE，ABCE.(2)设ADx(0x6)，则BEx，DB6x，BE6x，由已知可得点C到平面ADE的距离即为ABC的边AB上的高h，且h4，三棱锥ACDE的体积VACDEVCADE(S四边形ABBASAADSDBESABE)hh(x26x36)(x3)227(0x6)，当x3，即D为AB的中点时，VACDE取得最小值，最小值为18.
7、5如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AC与BD相交于点O，ADBC，ADAB，ABBCAP3，三棱锥PACD的体积为9.(1)求AD的值；(2)过点O的平面平行于平面PAB，平面与棱BC，AD，PD，PC分别相交于点E，F，G，H，求截面EFGH的周长解(1)因为在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，ADBC，ADAB，ABBCAP3，所以V三棱锥PACDABADAPAD9，解得AD6.(2)由题知平面平面PAB，平面平面ABCDEF，点O在EF上，平面PAB平面ABCDAB，根据面面平行的性质定理，得EFAB，同理EHBP，F
8、GAP.因为BCAD，所以BOCDOA，所以.因为EFAB，所以，又易知BEAF，AD2BC，所以FD2AF.因为FGAP，所以，FGAP2.因为EHBP，所以，所以EHPB.如图，作HNBC，GMAD，HNPBN，GMPAM，则HNGM，HNGM，所以四边形GMNH为平行四边形，所以GHMN，在PMN中，MN，又EFAB3，MNGH，所以截面EFGH的周长为EFFGGHEH325.6如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EFCD，CDEA，CD2EF2，ED，M为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N.(1)求证：EDCD；(2)求证：ADMN；(3)若ADED，试问平面BCF
9、是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由解(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以CDAD.又因为CDEA，EAADA，所以CD平面EAD.因为ED平面EAD，所以EDCD.(2)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以ADBC，又因为AD平面FBC，BC平面FBC，所以AD平面FBC.又因为平面ADMN平面FBCMN，所以ADMN.(3)平面ADMN与平面BCF可以垂直证明如下：连接DF.因为ADED，ADCD，EDCDD，所以AD平面CDEF.所以ADDM.因为ADMN，所以DMMN.因为平面ADMN平面FBCMN，所以若使平面ADMN平面BCF，则DM平面BCF，所以DMFC.在梯形CDEF中，因为EFCD，DECD，CD2EF2，ED，所以DFDC2.所以若使DMFC成立，则M为FC的中点所以.