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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date导数综合题训练题2009届高考导数综合题训练题（一）导数综合题训练题1函数 （1）若函数在时取到极值，求实数得值； （2）求函数在闭区间上的最大值.解：（1） 由求得 -3分 （2）在时知在上恒减，则最大值为 9分2设函数，.（1）当时,取得极值，求的值；（2）若在内为增函数，求的取值范围 解: ， （1）由题意： 解得. 3分（2）方程的判别式,(1) 当, 即时，
2、,在内恒成立, 此时为增函数； (2) 当, 即或时，要使在内为增函数, 只需在内有即可,设，由 得 , 所以. 由(1) (2)可知,若在内为增函数，的取值范围是. 133已知函数 （1）若在上是减函数，求的最大值；（2）若的单调递减区间是，求函数y=图像过点的切线与两坐标轴围成图形的面积。解：（1）=，由题意可知，在（0，1）上恒有则且，得，所以a的最大值为 -1 .5分（2）的单调递减区间是，=0的两个根为 和1，可求得a= -1， 若（1，1）不是切点，则设切线的切点为，则有， 解得（舍），k= -1 若（1，1）是切点，则k=综上，切线方程为y=1,x+y-2=0这两条切线方程与两坐
3、标轴围成的图形为直角梯形它的面积S=.13分4已知函数 （1）若a=4，c=3，求证：对任意，恒有； （2）若对任意，恒有，求证：|a|4.（1）证明：由a=4，c=3，得于是令，所以当，当所以函数的增区间为（1，），（，1），减区间（，），又故对任意，恒有，即对任意，恒有.7分 （2）证明：由可得，因此由又对任意，恒有，所以14分5已知函数的图象是曲线，直线与曲线相切于点（1，3）.（1）求函数的解析式；（2）求函数的递增区间；（3）求函数在区间上的最大值和最小值.解：（1）切点为（1，3），得. 1分，得. 2分则.由得. 3分. 4分(2) 由得，令，解得或. 6分函数的增区间为，. 8
4、分（3），令得，. 10分列出关系如下：00递减极小值递增2 12分当时，的最大值为，最小值为. 14分6用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，如果容器底面的长比宽多，那么长和宽分别为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积 .解：设容器底面长方形宽为，则长为， . 1分依题意，容器的高为 . 3分显然，即的取值范围是. 5分记容器的容积为，则 . . 7分求导数得， . 9分令，解得； 令，解得.所以，当时，取得最大值1.8，这时容器的长为. . 12分答：容器底面的长为m、宽为m时，容器的容积最大，最大容积为. 13分7函数的定义域为，设（1）求证： ；（2）确定t的范围使函数在上是单调函
5、数；（3）求证：对于任意的，总存在，满足；并确定这样的的个数解：（1）设，则，所以（2），令，得当时，时，是递增函数；当时，显然在也是递增函数是的一个极值点，当时，函数在上不是单调函数当时，函数在上是单调函数（3）由（1），知，又，我们只要证明方程在内有解即可记，则，当时，方程在内有且只有一解；当时，又，方程在内分别各有一解，方程在内两解；当时，方程在内有且只有一解；当时，方程在内有且只有一解综上，对于任意的，总存在，满足当时，满足，的有且只有一个；当时，满足，的恰有两个8定义在定义域D内的函数y=f（x），若对任意的x1 、x2 D，都有0，S是的增函数；当）时，S0，S是的减函数.时，S取
6、到极大值，此时|PM|=2+=而当 所以当即|PM|=，矩形的面积最大为 答:把工业园区规划成长为宽为时,工业园区的面积最大，最大面积为9.5（km）211已知函数其中，（1）若在时存在极值，求的取值范围；（2）若在上是增函数，求的取值范围由 （1）当不存在极值当恒成立 不存在极值不存在极值a的范围为存在极值a的范围为 （2）由恒成立当恒成立 a=0，当当1若 2若为单减函数综上：得：上为增函数， 12已知函数.（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求参数的取值范围;（2）若函数在处取得极值，且时，恒成立，求参数的取值范围.解： （1）依题意，知方程有实根，4分所以 得 6分（2）由函数在处取得极值，知是方程的一个根，所以， 6分方程的另一个根为7分因此，当，当所以，和上为增函数，在上为减函数，9分有极大值， 11分又 12分恒成立，-