高中数学基础知识总结.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流高中数学基础知识总结.精品文档.第一部分 集合（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n1；非空真子集的数为2n-2；（2） 注意：讨论的时候不要遗忘了 的情况。（3） 第二部分 函数与导数1映射：注意 第一个集合中的元素必须有象；一对一，或多对一。2函数值域的求法：分析法 ；配方法 ；判别式法 ；利用函数单调性 ；换元法 ；利用均值不等式 ； 利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；利用函数有界性（ 、 、 等）；导数法3复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法： 若f(x)的定义域为a，b,则复合函数fg(x)的

2、定义域由不等式ag(x)b解出 若fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于xa,b时，求g(x)的值域。（2）复合函数单调性的判定：首先将原函数 分解为基本函数：内函数 与外函数 ；分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。注意：外函数 的定义域是内函数 的值域。4分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； 是奇函数 ； 是偶函数 ；奇函数 在原点有定义，则 ；在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性

3、；（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；6函数的单调性单调性的定义： 在区间 上是增函数 当 时有 ； 在区间 上是减函数 当 时有 ；单调性的判定1 定义法：注意：一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；导数法（见导数部分）；复合函数法（见2 （2）；图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。7函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意 ，若有 （其中 为非零常数），则称函数 为周期函数， 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期函数周期的判定定义法（试值） 图

4、像法 公式法（利用（2）中结论）与周期有关的结论 或 的周期为 ； 的图象关于点 中心对称 周期为2 ； 的图象关于直线 轴对称 周期为2 ； 的图象关于点 中心对称，直线 轴对称 周期为4 ；8基本初等函数的图像与性质幂函数： （ ；指数函数： ；对数函数: ；正弦函数: ；余弦函数： ；（6）正切函数： ；一元二次函数： ；其它常用函数：1 正比例函数： ；反比例函数： ；特别的 2 函数 ；9二次函数：解析式：一般式： ；顶点式： ， 为顶点；零点式： 。二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。二次函数问题解决方法：数形结合；分类讨论。10

5、函数图象： 图象作法 ：描点法 （特别注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法图象变换：1 平移变换： ，2 “正左负右” “正上负下”；3 伸缩变换： ， （ 纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍； ， （ 横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 倍；4 对称变换： ； ；5 翻转变换： 右不动，右向左翻（ 在 左侧图象去掉）； 上不动，下向上翻（| |在 下面无图象）；11函数图象（曲线）对称性的证明(1)证明函数 图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明函数 与 图象的对称性，即证明 图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在 的图象上，反之亦然；注：

6、曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2ax,2by)=0;曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2ax, y)=0;曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=x+a)的对称曲线C2的方程为f(ya,x+a)=0(或f(y+a,x+a)=0);f(a+x)=f(bx) （xR） y=f(x)图像关于直线x= 对称；特别地：f(a+x)=f(ax) （xR） y=f(x)图像关于直线x=a对称；函数y=f(xa)与y=f(bx)的图像关于直线x= 对称；12函数零点的求法：直接法（求 的根）；图象法；二分法.13导数 导数定义：f

7、(x)在点x0处的导数记作 ；常见函数的导数公式: ； ； ；导数的四则运算法则： （理科）复合函数的导数： 导数的应用： 利用导数求切线：注意：所给点是切点吗？所求的是“在”还是“过”该点的切线？利用导数判断函数单调性： 是增函数； 为减函数； 为常数； 利用导数求极值：求导数 ；求方程 的根；列表得极值。利用导数最大值与最小值：求的极值；求区间端点值（如果有）；得最值。14（理科）定积分 定积分的定义： 定积分的性质： （ 常数）； （其中 。微积分基本定理（牛顿莱布尼兹公式）： 定积分的应用：求曲边梯形的面积： ； 3 求变速直线运动的路程： ；求变力做功： 。第三部分 三角函数、三角恒

8、等变换与解三角形1角度制与弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度 弧长公式： ；扇形面积公式： 。2三角函数定义：角 中边上任意一点 为 ，设 则：3三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；4诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；5 对称轴： ；对称中心： ； 对称轴： ；对称中心： ； 6同角三角函数的基本关系： ；7两角和与差的正弦、余弦、正切公式： 8二倍角公式： ；9正、余弦定理：正弦定理： （ 是 外接圆直径 ）注： ； ； 。余弦定理： 等三个；注： 等三个。10。几个公式:三角形面积公式： ；内切圆半径r= ；外接圆直径2R= 11已知 时三角形解的个数的

9、判定： 第四部分 立体几何1三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为 。2表（侧）面积与体积公式：柱体：表面积：S=S侧+2S底；侧面积：S侧= ；体积：V=S底h 锥体：表面积：S=S侧+S底；侧面积：S侧= ；体积：V= S底h：台体：表面积：S=S侧+S上底S下底；侧面积：S侧= ；体积：V= （S+ ）h；球体：表面积：S= ；体积：V= 。3位置关系的证明（主要方法）：直线与直线平行：公理4；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理。直线与平面平行：线面平行的判定定理；面面平行 线面平行。平面与平面平行：面面平行的判定定理及推论；垂直于同一直线的两平面平行。直线与平面垂直：直线与平

10、面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理。平面与平面垂直：定义-两平面所成二面角为直角；面面垂直的判定定理。注：理科还可用向量法。4.求角：（步骤-。找或作角；。求角）异面直线所成角的求法：1 平移法：平移直线，2 构造三角形；3 补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，4 发现两条异面直线间的关系。注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。直线与平面所成的角：直接法（利用线面角定义）；先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin 。注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。二面角的求法：定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；三垂线法：

11、由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；射影法：利用面积射影公式： ,其中 为平面角的大小； 注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角。5.求距离：（步骤-。找或作垂线段；。求距离）两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；点到平面的距离：垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；5 等体积法；理科还可用向量法： 。球面距离：（步骤）（）求线段AB的长；（）求球心角AOB的弧度数；()

12、求劣弧AB的长。6结论：从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若AOB=AOC，则点A在平面BOC上的射影在BOC的平分线上；立平斜公式(最小角定理公式)： 正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为 ，则S侧cos =S底；长方体的性质长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 则：cos2 +cos2 +cos2 =1；sin2 +sin2 +sin2 =2 。长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 则有cos2 +cos2 +cos2 =2；sin2 +sin2 +sin2 =1 。正四面体的性质：设棱长为 ，则正四面体的：1 高： ；对棱间距离： ；相邻两面所成角余弦值：

13、 ；内切2 球半径： ；外接球半径： ；第五部分 直线与圆1直线方程点斜式： ；斜截式： ；截距式： ；两点式： ；一般式： ，（A，B不全为0）。（直线的方向向量：（ ，法向量（ 2求解线性规划问题的步骤是：（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。3两条直线的位置关系：4直线系5几个公式设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），ABC的重心G：（ ）；点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离： ；两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是 ；6圆的方程：标准方程： ； 。一般方程： （ 注：Ax2+Bxy+Cy2+D

14、x+Ey+F=0表示圆 A=C0且B=0且D2+E24AF0；7圆的方程的求法：待定系数法；几何法；圆系法。8圆系： 注：当 时表示两圆交线。9点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）点与圆的位置关系：（ 表示点到圆心的距离） 点在圆上； 点在圆内； 点在圆外。直线与圆的位置关系：（ 表示圆心到直线的距离） 相切； 相交； 相离。圆与圆的位置关系：（ 表示圆心距， 表示两圆半径，且 ） 相离； 外切； 相交； 内切； 内含。10与圆有关的结论：过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2；过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：

15、(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0。第六部分 圆锥曲线1定义：椭圆： ；双曲线： ；抛物线：略2结论 焦半径：椭圆： （e为离心率）； （左“+”右“-”）；抛物线： 弦长公式： 注：（）焦点弦长：椭圆： ；抛物线： x1+x2+p= ；（）通径（最短弦）：椭圆、双曲线： ；抛物线：2p。过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （ 同时大于0时表示椭圆， 时表示双曲线）；椭圆中的结论：内接矩形最大面积 ：2ab；P，Q为椭圆上任意两点，且OP 0Q，则 ；椭圆焦点三角形： ，（

16、 ）；点 是 内心， 交 于点 ，则 ；当点 与椭圆短轴顶点重合时 最大； 双曲线中的结论：双曲线 （a0,b0）的渐近线： ； 共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数， 0）；双曲线焦点三角形： ，（ ）；P是双曲线 =1(a0，b0)的左（右）支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则PF1F2的内切圆的圆心横坐标为 ；双曲线为等轴双曲线 渐近线为 渐近线互相垂直；（6）抛物线中的结论：抛物线y2=2px(p0)的焦点弦AB性质： x1x2= ；y1y2=p2； ；以AB为直径的圆与准线相切；以AF（或BF）为直径的圆与 轴相切； 。 抛物线y2=2px(p0)内结直角三角形OAB的性质： ；

17、 恒过定点 ； 中点轨迹方程： ； ，则 轨迹方程为： ； 。抛物线y2=2px(p0)，对称轴上一定点 ，则：当 时，顶点到点A距离最小，最小值为 ；当 时，抛物线上有关于 轴对称的两点到点A距离最小，最小值为 。3直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：联立的关于“ ”还是关于“ ”的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求（代点相减法）：-处理弦中点问题步骤如下：设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；作差得 ；解决问题。4求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3

18、）代入法（相关点法或转移法）；待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。第七部分 平面向量设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则： ab(b0) a= b （ x1y2x2y1=0； ab(a、b0) ab=0 x1x2+y1y2=0 .ab=|a|b|cos=x2+y1y2； 注：|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；6 ab的几何意义：ab等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。cos= ；三点共线的充要条件：P，A，B三点共线 ；附：（理科）P，A，B，C四点共面 。 第八部分 数列1定义：等差数列 ；等比数列 2等差、等比数列性质 等

19、差数列 等比数列通项公式 前n项和 性质 an=am+ (nm)d, an=amqn-m; m+n=p+q时am+an=ap+aq m+n=p+q时aman=apaq 成AP 成GP 成AP, 成GP, 等差数列特有性质：1 项数为2n时：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)； ； ；2 项数为2n-1时：S2n-1=(2n-1) ； ； ；3 若 ；若 ；若 。3数列通项的求法：分析法；定义法（利用AP,GP的定义）；公式法：累加法（ ；叠乘法（ 型）；构造法（ 型）；（6）迭代法；间接法（例如： ）；作商法（ 型）；待定系数法；（理科）数学归纳法。注：当遇到 时，要分奇数项偶数

20、项讨论，结果是分段形式。4前 项和的求法：拆、并、裂项法；倒序相加法；错位相减法。5等差数列前n项和最值的求法： ；利用二次函数的图象与性质。 第九部分 不等式1均值不等式： 注意：一正二定三相等；变形， 。2绝对值不等式： 3不等式的性质： ； ；（6） 4不等式等证明（主要）方法：比较法：作差或作比；综合法；分析法。 第十部分 复数1概念：z=a+biR b=0 (a,bR) z= z20；z=a+bi是虚数 b0(a,bR)；z=a+bi是纯虚数 a=0且b0(a,bR) z 0（z0） z20时，变量 正相关； 0时，变量 负相关； 越接近于1，两个变量的线性相关性越强； 接近于0时，

21、两个变量之间几乎不存在线性相关关系。4回归分析中回归效果的判定：总偏差平方和： 残差： ；残差平方和： ；回归平方和： ；相关指数 。注： 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好； 越接近于1，则回归效果越好。5独立性检验（分类变量关系）：随机变量 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。 第十四部分 常用逻辑用语与推理证明1 四种命题：原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；否命题：若 p则 q；逆否命题：若 q则 p注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。2充要条件的判断：（1）定义法-正、反方向推理；（2）利用集合间的包含关系：例如：若 ，则A是B的充分条件或B是A的

22、必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；3逻辑连接词：且(and) ：命题形式 p q； p q p q p q p或（or）：命题形式 p q； 真 真 真 真 假非（not）：命题形式 p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真4全称量词与存在量词全称量词-“所有的”、“任意一个”等，用 表示； 全称命题p： ； 全称命题p的否定 p： 。存在量词-“存在一个”、“至少有一个”等，用 表示； 特称命题p： ； 特称命题p的否定 p： ；第十五部分 推理与证明1推理：合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜

23、想的推理，我们把它们称为合情推理。归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。注：类比推理是特殊到特殊的推理。演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提-已知的一般结论；小前提-所研究的特殊情况；结 论-根据一般原理，对

24、特殊情况得出的判断。二证明直接证明综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。2间接证明-反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。附：数学归纳法（仅限理科）一般的证明一个与正整数 有关的一个命题，

25、可按以下步骤进行：证明当 取第一个值 是命题成立；假设当 命题成立，证明当 时命题也成立。那么由就可以判定命题对从 开始所有的正整数都成立。这种证明方法叫数学归纳法。注：数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；3 的取值视题目而4 定，5 可能是1，6 也可能是2等。第十六部分 理科选修部分1 排列、组合和二项式定理排列数公式: =n(n-1)(n-2)(n-m1)= (mn,m、nN*),当m=n时为全排列 =n(n-1)(n-2)3.2.1=n!;组合数公式： （mn）, ；组合数性质： ；二项式定理： 通项： 注意二项式系数与系数的区别；二项式系数的性质：

26、与首末两端等距离的二项式系数相等；若n为偶数，中间一项（第 1项）二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第 和 1项）二项式系数最大；(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。2. 概率与统计随机变量的分布列：随机变量分布列的性质：pi0,i=1,2,； p1+p2+=1;离散型随机变量：X x1 X2 xn P P1 P2 Pn 期望：EX x1p1 + x2p2 + + xnpn + ; 方差：DX ;注： ；两点分布： X 0 1 期望：EXp；方差：DXp(1-p). P 1p p 4 超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品

27、，则 其中， 。称分布列 X 0 1 m P 为超几何分布列， 称X服从超几何分布。二项分布（独立重复试验）：若XB（n,p）,则EXnp, DXnp（1- p）;注： 。条件概率：称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。注：0 P（B|A） 1；P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)。独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。正态总体的概率密度函数： 式中 是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；（6）正态曲线的性质：曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，关于直线x 对称；曲线在x 处达到峰值 ；曲线与x轴之间的面积为1；5 当 一定时，6 曲线随 质的变化沿x轴平移；7 当 一定时，8 曲线形状由 确定： 越大，9 曲线越“矮胖”，10 表示总体分布越集中； 越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。注：P =0.6826；P =0.9544P =0.9974