《高中数学新课标基础知识总结.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学新课标基础知识总结.doc(29页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高中数学新课标基础知识总结一-集合1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性.2. 集合的性质:任何一个集合是它本身的子集,记为;空集是任何集合的子集,记为;空集是任何非空集合的真子集;如果,同时,那么A = B. 如果.注:Z= 整数() Z =全体整数 ()已知集合S 中A的补集是一个有限集,则集合A也是有限集.()(例:S=N; A=,则CsA= 0) 空集的补集是全集. 若集合A=集合B,则CBA = , CAB = CS(CAB)= D ( 注 :CAB = ).3. (x,y)|xy =0,xR,yR坐标轴上的点集.(x,y)|xy0,xR,yR二、四象限的点集. (x,y)|xy
2、0,xR,yR 一、三象限的点集.注:对方程组解的集合应是点集.例: 解的集合(2,1).点集与数集的交集是. (例:A =(x,y)| y =x+1 B=y|y =x2+1 则AB =)4. n个元素的子集有2n个. n个元素的真子集有2n 1个. n个元素的非空真子集有2n2个.5. 一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题逆命题.一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.例:若应是真命题.解:逆否:a = 2且 b = 3,则a+b = 5,成立,所以此命题为真. .解:逆否:x + y =3x = 1或y = 2.,故是的既不是充分,又不是必要条件.小范围推出大
3、范围;大范围推不出小范围.例:若. 1.研究集合问题,一定要抓住集合的代表元素,如:与及2.数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决;3.一个语句是否为命题,关键要看能否判断真假,陈述句、反诘问句都是命题,而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题;4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题 ,逆命题与其否命题是等价命题 ,一真俱真,一假俱假,当一个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命题的真假;5.判断命题充要条件的三种方法:(1)定义法;(2)利用集合间的包含关
4、系判断,若,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件;(3)等价法:即利用等价关系判断,对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法;6.(1)含n个元素的集合的子集个数为,真子集(非空子集)个数为1;(2) (3)二-函数 1. 函数的三要素:定义域,值域,对应法则.2. 函数的单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间,也可能没有单调区间,如果函数在区间(0,1)上为减函数,在区间(1,2)上为减函数,就不能说函数在上为减函数.3. 反函数定义:只有满足,函数才有反函数. 例:无反函数.函数的反函数记为,习惯
5、上记为. 在同一坐标系,函数与它的反函数的图象关于对称.4. 单调函数必有反函数,但并非反函数存在时一定是单调的.因此,所有偶函数不存在反函数.如果一个函数有反函数且为奇函数,那么它的反函数也为奇函数.设函数y = f(x)定义域,值域分别为X、Y. 如果y = f(x)在X上是增(减)函数,那么反函数在Y上一定是增(减)函数,即互为反函数的两个函数增减性相同. 5. 指数函数:(),定义域R,值域为().当,指数函数:在定义域上为增函数;当,指数函数:在定义域上为减函数.当时,的值越大,越靠近轴;当时,则相反.6. 对数函数:如果()的次幂等于,就是,数就叫做以为底的的对数,记作(,负数和零
6、没有对数);其中叫底数,叫真数.对数运算:(以上)注:当时,.:当时,取“+”,当是偶数时且时,而,故取“”.例如:中x0而中xR).()与互为反函数.当时,的值越大,越靠近轴;当时,则相反.7. 奇函数,偶函数:偶函数:设()为偶函数上一点,则()也是图象上一点.偶函数的判定:两个条件同时满足定义域一定要关于轴对称,例如:在上不是偶函数.满足,或,若时,.奇函数: 设()为奇函数上一点,则()也是图象上一点.奇函数的判定:两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称,例如:在上不是奇函数.满足,或,若时,.8. 对称变换:y = f(x)y =f(x)y =f(x)9. 判断函数单调性(定义)作
7、差法:对带根号的一定要分子有理化,例如:在进行讨论.10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.例如:已知函数f(x)= 1+的定义域为A,函数ff(x)的定义域是B,则集合A与集合B之间的关系是 . 解:的值域是的定义域,的值域,故,而A,故.11. 常用变换:.证:证:12. 熟悉常用函数图象:例:关于轴对称. 关于轴对称.熟悉分式图象:例:定义域,值域值域前的系数之比.1.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法:若已知的定义域为a,b,其复合函数fg(x)的定义域由不等式ag(x)b解出即可;若已知fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域,相当于xa,b时,求g(x)的值域(即
8、 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;2.函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(x)=;(2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)f(-x)=0或(f(x)0); (4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像
9、C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然;(3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(ya,x+a)=0(或f(y+a,x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2ax,2by)=0;(5)若函数y=f(x)对xR时,f(a+x)=f(ax)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(xa)与y=f(bx)的图像关于直线x=对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对xR时,f(x +a)=f(xa) 或f(x2a )=f(x) (a0
10、)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2a的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4a的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(ab)对称,则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;(6)y=f(x)对xR时,f(x+a)=f(x)(或f(x+a)= ,则y=f(x)是周期为2的周期函数;5.方程k=f(x)有解kD(D为f(x)的值域);6.af(x) 恒成立a
11、f(x)max,; af(x) 恒成立af(x)min;7.(1) (a0,a1,b0,nR+); (2) l og a N=( a0,a1,b0,b1);(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a0,a1,N0 );8.能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性。9.判断对应是否为映射时,抓住两点:(1)A中元素必须都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象;10.对于反函数,应掌握以下一些结论:(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)奇函数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素
12、集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5) y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有ff-1(x)=x(xB),f-1f(x)=x(xA).11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;12.恒成立问题的处理方法:(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;13.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题:(或(或);14.掌握函数的图象和性质;函数(
13、b ac0))定义域值域奇偶性非奇非偶函数奇函数单调性当b-ac0时:分别在上单调递减;当b-aco,a1),图象恒过点(0,1),单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a1和0ao,a1) 图象恒过点(1,0),单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a1和0a0)是等比数列。25、bn(bn0)是等比数列,则logcbn (c0且c1) 是等差数列。26. 在等差数列中:(1)若项数为,则 (2)若数为则, , 27. 在等比数列中:(1) 若项数为,则 (2)若数为则,四、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。28、分组法求数列的
14、和:如an=2n+3n 29、错位相减法求和:如an=(2n-1)2n30、裂项法求和:如an=1/n(n+1)31、倒序相加法求和:如an=32、求数列an的最大、最小项的方法: an+1-an= 如an= -2n2+29n-3 (an0) 如an= an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=33、在等差数列中,有关Sn 的最值问题常用邻项变号法求解:(1)当0,d0时,满足 的项数m使得取最大值.(2)当0时,满足 的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。三角函数1. 与(0360)终边相同的角的集合(角与角的终边重合):终边在x轴上的角的集合: 终
15、边在y轴上的角的集合:终边在坐标轴上的角的集合: 终边在y=x轴上的角的集合: 终边在轴上的角的集合:若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系:若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系:若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:角与角的终边互相垂直,则角与角的关系:2. 角度与弧度的互换关系:360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.4. 三角函数的公式:(一)基本关系 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 公式组六 (二)角与角之间的互换公式组一 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 ,.注意:
16、与的单调性正好相反;与的单调性也同样相反.一般地,若在上递增(减),则在上递减(增).与的周期是.或()的周期.的周期为2(,如图,翻折无效). 的对称轴方程是(),对称中心();的对称轴方程是(),对称中心();的对称中心().当;.与是同一函数,而是偶函数,则.函数在上为增函数.() 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,为增函数,同样也是错误的.定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:,奇函数:)奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:是奇函数,是非奇非偶.(定义域不关于原点对称)奇函数特有性质
17、:若的定义域,则一定有.(的定义域,则无此性质)不是周期函数;为周期函数();是周期函数(如图);为周期函数();的周期为(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如: . 有.1.三角函数符号规律记忆口诀:一全正,二正弦,三是切,四余弦;2.对于诱导公式,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括;3.记住同角三角函数的基本关系,熟练掌握三角函数的定义、图像、性质;4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正余弦定理,处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于1800,一般用正余弦定理实施边角互化;5.正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线,对称中心为图象与轴的交点;正(余)切
18、型函数的对称中心是图象和渐近线分别与轴的交点,但没有对称轴。6.(1)正弦平方差公式:sin2Asin2B=sin(A+B)sin(AB);(2)三角形的内切圆半径r=;(3)三角形的外接圆直径2R=平面向量1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量.注意:若为单位向量,则. () 单位向量只表示向量的模为1,并未指明向量的方向.若,则. ()2. = 设 (向量的模,针对向量坐标求模) 平面向量的数量积: 注意:不一定成立;.向量无大小(“大于”、“小于”对向量无意义),向量的模有大小.长度为0的向量叫零向量,记,与任意向量平行,的方向是任意的,零向量与零向量相等,且.若有一个三角形ABC
19、,则0;此结论可推广到边形.若(),则有. () 当等于时,而不一定相等.=,=(针对向量非坐标求模),.当时,由不能推出,这是因为任一与垂直的非零向量,都有=0.若,则()当等于时,不成立.3. 向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数,使得(平行向量或共线向量).当与共线同向:当与共线反向;当则为与任何向量共线.注意:若共线,则 ()若是的投影,夹角为,则, ()设=, 设,则A、B、C三点共线=()()=()()()()=()()两个向量、的夹角公式:线段的定比分点公式:(和)设 =(或=),且的坐标分别是,则推广1:当时,得线段的中点公式:推广2:则(对应终点向量). 三角形重心
20、坐标公式:ABC的顶点,重心坐标:注意:在ABC中,若0为重心,则,这是充要条件.4. 正弦定理:设ABC的三边为a、b、c,所对的角为A、B、C,则.余弦定理:正切定理:三角形面积计算公式:设ABC的三边为a,b,c,其高分别为ha,hb,hc,半周长为P,外接圆、内切圆的半径为R,r.S=1/2aha=1/2bhb=1/2chc S=Pr S=abc/4RS=1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinA S= 海伦公式 S=1/2(b+c-a)ra如下图=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb注:到三角形三边的距离相等的点有4个,一个是内心,其余3个是旁心.如图:
21、 图1中的I为SABC的内心, S=Pr 图2中的I为SABC的一个旁心,S=1/2(b+c-a)ra 附:三角形的五个“心”;重心:三角形三条中线交点.外心:三角形三边垂直平分线相交于一点.内心:三角形三内角的平分线相交于一点.垂心:三角形三边上的高相交于一点.旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.已知O是ABC的内切圆,若BC=a,AC=b,AB=c 注:s为ABC的半周长,即则:AE=1/2(b+c-a) BN=1/2(a+c-b) FC=1/2(a+b-c)综合上述:由已知得,一个角的邻边的切线长,等于半周长减去对边(如图4). 特例:已知在RtABC,c为斜边,
22、则内切圆半径r=(如图3). 在ABC中,有下列等式成立.证明:因为所以,所以,结论!在ABC中,D是BC上任意一点,则.证明:在ABCD中,由余弦定理,有在ABC中,由余弦定理有,代入,化简可得,(斯德瓦定理)若AD是BC上的中线,;若AD是A的平分线,其中为半周长;若AD是BC上的高,其中为半周长.ABC的判定:ABC为直角A + B =ABC为钝角A + BABC为锐角A + B附:证明:,得在钝角ABC中,平行四边形对角线定理:对角线的平方和等于四边的平方和.三角函数不 等 式1. 平方平均算术平均几何平均调和平均(a、b为正数):(当a = b时取等)特别地,(当a = b时,)幂平
23、均不等式:含立方的几个重要不等式(a、b、c为正数): (,);()绝对值不等式:算术平均几何平均(a1、a2an为正数):(a1=a2=an时取等)柯西不等式:设则等号成立当且仅当时成立.(约定时,)例如:.常用不等式的放缩法:2. 常用不等式的解法举例(x为正数): 类似于1.掌握不等式性质,注意使用条件;2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式;勿忘数轴标根法,零点分区间法;3.掌握用均值不等式求最值的方法,在使用a+b(a0,b0)时要符合“一正二定三相等”;注意均值不等式的一些变形,如;1.设三角形的三
24、顶点是A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则ABC的重心G为();2.直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2: A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0;3.两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是;4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 :A=C0且B=0且D2+E24AF0;5.过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为:x0x+y0y=r2;6.以A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0;7.求解线性规划问题的步骤是:(1)根据实际
25、问题的约束条件列出不等式;(2)作出可行域,写出目标函数;(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解;7. 直线和圆的方程 知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是.注:当或时,直线垂直于轴,它的斜率不存在.每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地,当直线经过两点,即直线在轴,轴上的截距分别为时,直线方程是:.注
26、:若是一直线的方程,则这条直线的方程是,但若则不是这条线.附:直线系:对于直线的斜截式方程,当均为确定的数值时,它表示一条确定的直线,如果变化时,对应的直线也会变化.当为定植,变化时,它们表示过定点(0,)的直线束.当为定值,变化时,它们表示一组平行直线.3. 两条直线平行:两条直线平行的条件是:和是两条不重合的直线. 在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是:对于两条直线,它们在轴上的纵截距是,则,且或的斜率均不存在,即是平行的必要不充分条件,且)推论:如果两条直线的倾斜角为则. 两条直线垂直:两条直线垂直的条件:设两
27、条直线和的斜率分别为和,则有这里的前提是的斜率都存在. ,且的斜率不存在或,且的斜率不存在. (即是垂直的充要条件)4. 直线的交角:直线到的角(方向角);直线到的角,是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角,它的范围是,当时.两条相交直线与的夹角:两条相交直线与的夹角,是指由与相交所成的四个角中最小的正角,又称为和所成的角,它的取值范围是,当,则有.5. 过两直线的交点的直线系方程为参数,不包括在内)6. 点到直线的距离:点到直线的距离公式:设点,直线到的距离为,则有.两条平行线间的距离公式:设两条平行直线,它们之间的距离为,则有.7. 关于点对称和关于某直线对称:关于点对称的两条
28、直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等.关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行,则对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程),过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程)可解得所求对称点.注:曲线、直线关于一直线()对称的解法:y换x,x换y. 例:曲线f(x ,y)=0关于直线y=x2对称曲线方程是f(y+2 ,x 2)=0. 曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a x, 2b y)=0. 二、圆
29、的方程.1. 曲线与方程:在直角坐标系中,如果某曲线上的 与一个二元方程的实数建立了如下关系:曲线上的点的坐标都是这个方程的解.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形).曲线和方程的关系,实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系,曲线上任一点是方程的解;反过来,满足方程的解所对应的点是曲线上的点.注:如果曲线C的方程是f(x ,y)=0,那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程:以点为圆心,为半径的圆的标准方程是.特例:圆心在坐标原点,半径为的圆的方程是:.注:特殊圆的方程:与轴相切的圆方程 与轴相切的圆方程 与轴轴都相切的圆方程 3. 圆的一般方程: .当时,方程表示一个圆,其中圆心,半径.当时,方程表示一个点.当时,方程无图形(称虚圆).注:圆的参数方