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1、注意注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即: 设, ,)(baCxf12则, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,xyab)(xfy O例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 21,31,110,1)(xxxxxxf22也无最大值和最小值 又如又如, xy11OxyO11,)(baxf在因此12mM二、介值定理二、介值定理由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设,
2、,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .定理定理2. ( 零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点, ),(ba且使.0)(f0)()(bfaf( 证明略 )推论推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. b xya)(xfy Oxyab)(xfy O定理定理3. ( 介值定理 ) 设 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点, ),(ba证证: 作辅助函数Cxfx)()(则,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使,0)(即.)(Cf推论推论: 在闭区间上的连续函数C使.)(Cf至少有必取得
3、介于最小值与最大值之间的任何值 .xAbya)(xfy BOO1x例例. 证明方程01423 xx一个根 .证证: 显然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有则则4321内容小结 *三三. 一致连续性一致连续性已知函数)(xf在区间 I 上连续, 即:,0Ix ,0,0)(0 x,0时
4、当 xx)()(0 xfxf一般情形,.,0都有关与x,0无关时与若x就引出了一致连续的概念 .定义定义:, )(Ixxf对,0若,0存在,21Ixx对任意的都有,)()(21xfxf)(xf则称在在 I 上一致连续上一致连续 .显然:上一致连续在区间 Ixf)(上连续在区间 Ixf)(,21时当 xx例如例如,xxf1)(, 1,0(C但不一致连续 .因为, ) 10(0取点, )(,11211Nnxxnn则 21xx 111nn) 1(1nn可以任意小但)()(21xfxf) 1( nn1这说明xxf1)(在( 0 , 1 上不一致连续 .定理定理4., ,)(baCxf若,)(baxf在
5、则上一致连续.(证明略)思考思考: P74 题 *7提示提示:设)(, )(bfaf存在, 作辅助函数)(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(,)(baCxF显然内容小结内容小结则设, ,)(baCxf在)(. 1xf上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当0)()(bfaf时, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba则, 2,0)(aCxf, )2()0(aff证明至少存在, ,0a使. )()(aff提示提示: 令, )()()(xfaxfx则, ,0)(aCx 易证0)()0(a2. 设作业作业P70 (习题110） 2 ; 3; 5一点习题课 ,4,0)(上连续在闭区间xf备用题备用题 1e3xx至少有一个不超过 4 的 证证：证明令1e)(3xxxf且)0(f1e3)4(f1e43400e3根据零点定理 , )4,0(,0)(f使原命题得证 .)4,0(内至少存在一点在开区间显然正根 .