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1、优秀学习资料欢迎下载勾股定理典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a、b，斜边为 c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形： a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。2、勾股定理的逆定理如果三角形 ABC的三边长分别是a，b，c，且满足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： 已知的条件：某三角形的三条边的长度. 满足的条件：最大边的平方=最小边的平方 +中间边的平方 . 得到的结论：这个三角
2、形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. 如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。3、勾股数满足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9 ，12，15)4、最短距离问题： 主要运用的依据是 两点之间线段最短。二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -
3、- - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载2. 如图， 以 RtABC的三边为直径分别向外作三个半圆， 试探索三个半圆的面积之间的关系3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S31） ，那么它的斜边长是（） A 、2n B、n+1 C、n21 D、1n27、在 RtABC中，a,b,c 为三边长，则下列关
4、系中正确的是（）A. 222abc B. 222acb C. 222cba D.以上都有可能8、已知 RtABC中，C=90 ，若a+b=14cm ，c=10cm，则 RtABC的面积是（） A 、242cmB、36 2cmC 、482cmD 、602cm9、已知 x、y 为正数，且x2-4 +（y2-3 ）2=0，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5 B、25 C、7 D、15 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图 1 所示，等腰中，是底边上的高， 若，求 AD的长； ABC 的面积名师归纳总结 精品学习资
5、料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A. 4 ，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17 2、若线段 a，b，c 组成直角三角形，则它们的比为（） A、234 B、346 C、51213 D、467 3、下面的三角形中：ABC 中， C
6、= AB；ABC 中， A：B：C=1 ：2：3；ABC 中，a：b：c=3：4：5；ABC 中，三边长分别为8，15，17其中是直角三角形的个数有（） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4、若三角形的三边之比为21:122，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.不等边三角形5、已知 a，b，c 为ABC 三边，且满足(a2b2)(a2+b2c2) 0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是 ( ) A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角
7、三角形 D. 等腰三角形7、若ABC的三边长 a,b,c 满足222abc20012a16b20c，试判断 ABC的形状。8、ABC 的两边分别为 5,12 ，另一边为奇数， 且a+b+c是 3 的倍数，则 c 应为，此三角形为。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载例 3：求（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25 ，则这个三角形的最大内角是度。（2）已知三角形三边的比为1
8、：3：2，则其最小角为。考点五 : 应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题某楼梯的侧面视图如图3 所示，其中米，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？2、一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图） ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动米A B C 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料
9、 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载3、如图，一个长为10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 米，如果梯子的顶端下滑1 米，那么，梯子底端的滑动距离 1米， （填“大于”， “等于” ，或“小于”）4、在一棵树 10 m 高的 B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘 A处；? 另外一只爬到树顶 D处后直接跃到 A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：m
10、m ）计算两圆孔中心 A和 B的距离为 . 60 120140 B 60A C 第 5 题图 7 86CADB名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米7、如图 18-15 所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走 8km ，又往北走 2km ，遇到障碍后又往西走
11、3km ，再折向北方走到 5km处往东一拐，仅 1km ? 就找到了宝藏，问：登陆点（ A处）到宝藏埋藏点（ B处）的直线距离是多少？考点七：折叠问题1、如图，有一张直角三角形纸片， 两直角边 AC=6 ，BC=8 ，将ABC 折叠，使点 B与点 A重合，折痕为 DE ，则 CD等于（）A. 425 B. 322 C. 47 D. 352、如图所示，已知 ABC中，C=90 ，AB的垂直平分线交 BC ? 于 M ，交 AB于 N，若 AC=4 ，MB=2MC，求 AB的长8 米2 米8 米第 6题图图 18-15 15328BA名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - -
12、- - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载3、折叠矩形 ABCD 的一边 AD,点 D落在 BC边上的点 F处, 已知 AB=8CM,BC=10CM, 求 CF 和 EC 。4、如图，在长方形ABCD 中，DC=5 ，在 DC边上存在一点 E，沿直线 AE把ABC折叠，使点 D恰好在 BC边上，设此点为 F，若ABF的面积为 30，求折叠的 AED 的面积DCBAFE5、如图，矩形纸片ABCD 的长 AD=9，宽 AB=3，将其折叠，使点 D与点
13、 B重合，那么折叠后 DE的长是多少？6、如图，在长方形ABCD 中，将ABC沿 AC对折至AEC 位置， CE与 AD交于点 F。（1）试说明： AF=FC ； （2）如果 AB=3 ，BC=4 ，求 AF的长7、 如图 2 所示， 将长方形 ABCD 沿直线 AE折叠， 顶点 D正好落在 BC边上 F 点处，已知 CE=3cm ，A BCE F D 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习
14、资料欢迎下载AB=8cm ，则图中阴影部分面积为 _8、如图 2-3，把矩形 ABCD 沿直线 BD向上折叠，使点 C落在 C的位置上，已知 AB= ? 3，BC=7 ，重合部分 EBD 的面积为 _9、如图 5，将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A与 CD边上的点 M重合，折痕交 AD于 E，交 BC于F，边 AB折叠后与 BC边交于点 G 。如果 M为 CD边的中点，求证： DE ：DM ：EM=3 ：4：5。10、如图 2-5，长方形 ABCD 中，AB=3 ，BC=4 ，若将该矩形折叠，使C点与 A点重合， ? 则折叠后痕迹 EF的长为（）A3.74 B3.75 C3.76 D3.77
15、 2-5 11、如图 1-3-11 ，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为 10cm ，宽为 4cm ，将你手中足够大的直角名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载三角板 PHF 的直角顶点 P落在 AD边上（不与 A、D重合） ，在 AD上适当移动三角板顶点P：能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点 C ？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由 . 再次移动三角板位
16、置，使三角板顶点P在 AD上移动，直角边PH 始终通过点 B，另一直角边 PF与 DC的延长线交于点 Q ，与 BC交于点 E，能否使 CE=2cm ？若能，请你求出这时 AP的长；若不能，请你说明理由. 12、如图所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC ，D是斜边 BC的中点， E、F分别是 AB 、AC边上的点，且 DE DF ，若 BE=12 ，CF=5 求线段 EF的长。13、如图，公路 MN 和公路 PQ在点 P处交汇，且QPN 30，点 A处有一所中学， AP 160m 。假设拖拉机行驶时， 周围 100m以内会受到噪音的影响， 那么拖拉机在公路MN 上沿 PN方向行驶时，学
17、校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？考点八：应用勾股定理解决勾股树问题1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载最大的正方形的边长为5，则正方形 A，B，C，D的面积的和为2、已知 ABC是边长为 1 的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC
18、 为直角边， 画第二个等腰 RtACD， 再以 RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰 RtADE， ，依此类推，第 n 个等腰直角三角形的斜边长是考点九、图形问题1、如图 1，求该四边形的面积2、如图 2，已知，在 ABC中，A = 45，AC = 2，AB = 3+1，则边 BC的长为3、某公司的大门如图所示, 其中四边形是长方形 ,上部是以为直径的半圆, 其中=2.3，=2, 现有一辆装满货物的卡车 , 高为 2.5, 宽为 1.6 , 问这辆 卡ABCDEFG431213BCDA名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选
19、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载车能否通过公司的大门 ?并说明你的理由. 4、将一根长 24 的筷子置于地面直径为5 ，高为 12 的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长为 h ，则 h 的取值范围。5、如图，铁路上A、B两点相距 25km ，C、D为两村庄， DA ? 垂直 AB于 A，CB垂直 AB于 B，已知 AD=15km ，BC=10km ，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得 C、D两村到 E站的距离相等，则E站建在距 A站多少千米处？考点十：其他图
20、形与直角三角形如图是一块地，已知AD=8m ，CD=6m ，D=90 ，AB=26m ，BC=24m ，求这块地的面积。考点十一：与展开图有关的计算名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载1、如图，在棱长为1 的正方体 ABCD ABCD的表面上，求从顶点A到顶点 C的最短距离2、如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高 4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到 B点，则最少要爬行
21、cm 3、 国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线考点十二、航海问题1、一轮船以 16 海里/ 时的速度从 A港向东北方向航行， 另一艘船同时以12 海里/ 时的速度从AB名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - -
22、- - - - - - 优秀学习资料欢迎下载A港向西北方向航行，经过1.5 小时后，它们相距 _海里2、如图，某货船以 24 海里时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M处，在点 A处测得某岛 C在北偏 东 60的方向上。该货船航行30 分钟 到达 B处，此时又测得该岛在北偏东 30的方向上，已知在C岛周围 9 海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。3、如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向 260km的 B处有一台风中心，沿BC方向以 15km/h 的速度向 D移动，已知城市A到BC的距离 AD=100km ，那么台风中心经过多长时间从
23、B点移到 D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？考点十三、网格问题DBCA东北3060BACMD名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A0 B1 C2 D3 2、如图，正方形网格中的 AB
24、C ，若小方格边长为1，则 ABC是 （）A.直角三角形 B.锐角三角形 C. 钝角三角形 D.以上答案都不对3、如图，小方格都是边长为1 的正方形 , 则四边形 ABCD 的面积是 ( ) A 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5 BCAABCDCBA（图 1）（图 2）（图 3）4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、8、5（在图甲中画一个即可） ；使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可） 甲乙名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -