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1、 例例I- -1 求图示半径为求图示半径为r的半圆形对其直径轴的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐的静矩及其形心坐标标yC。 OCrxydAyCydy解：过圆心解：过圆心O作与作与x轴垂直的轴垂直的y轴，在距轴，在距x任意高度任意高度y处取一个与处取一个与x轴平行的窄条，轴平行的窄条，ydyrAd-222 所以所以 3022322ryd)yr( yAdySrAx-3423223r/r/rASyxC4、组合图形的形心与静矩、组合图形的形心与静矩（1）组合图形的静矩）组合图形的静矩CiiyiyCiixixxASSyASS（2）组合图形的形心）组合图形的形心iCiiiyCiCiiixCAxAASxA
2、yAASy 解：将此图形分别为解：将此图形分别为I、II、III三三部分，以图形的铅垂对称轴为部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，轴，过过II、III的形心且与的形心且与y轴垂直的轴线轴垂直的轴线取为取为x轴，则轴，则例例I- -2 求图示图形的形心。求图示图形的形心。150yCxOx1y120010yC300IIIIII10mm8 .38)30010(2102000)30010(2)1505()10200(iiiAyAyCC由于对称知：由于对称知： xC=01.极惯性矩：极惯性矩：2.惯性矩：惯性矩：AyAxdAxIdAyI22ApdAI2为图形对一点的为图形对一点的极惯性矩极惯性矩；xydAx
3、y O3.惯性积：惯性积： 为图形对为图形对x、y一对正交轴的一对正交轴的惯性积；惯性积；AxyxydAI分别为图形对分别为图形对x、y轴轴的的惯性矩；惯性矩；4.惯性矩与极惯性矩的关系：惯性矩与极惯性矩的关系：xyAApIIdA)yx(dAI222 平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数，平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数，等于图形对该点的极惯性矩。等于图形对该点的极惯性矩。I-2 极惯性矩极惯性矩 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 解：平行解：平行x轴取一窄长条，轴取一窄长条， 其面积为其面积为dA=bdy，则，则 惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位：惯性矩
4、、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位：m4、cm4、mm4； 若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为交轴的惯性积为零零； 惯性矩、惯性积和极惯性矩均为惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩面积的二次矩 如将如将dA看成质量看成质量dm，则，则Ix、Iy、Ip分别为平面体对分别为平面体对x、y、原点的、原点的转动惯量转动惯量。例例I- -3 求图示矩形对通过其形心且与边求图示矩形对通过其形心且与边平行的平行的x、y轴的惯性矩轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积和惯性积Ixy。dyb/2b/2xyyh/2h/2CdA1232222
5、bh)ydb(yAdyI/h/hAx-123hbIy又因为又因为x、y轴皆为对称轴，故轴皆为对称轴，故Ixy=0。同理可得同理可得 由于圆形对任意直径轴都是对称的，故由于圆形对任意直径轴都是对称的，故Ix=Iy注意到注意到I=Ix+Iy，得到，得到例例I- -4 求图示直径为求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩轴的惯性矩Ix、Iy及对圆心的极惯性矩及对圆心的极惯性矩I。dCxyd 解：解：首先求对圆心的极惯性矩。首先求对圆心的极惯性矩。在离圆心在离圆心O为为 处作宽度为处作宽度为d 的薄圆环，其面的薄圆环，其面积积dA=2d ，则，则32)d2(d42/022d
6、AIdA64214dIIIyx一、平行移轴公式一、平行移轴公式1.公式推导公式推导2.平行移轴公式平行移轴公式abAIIAbIIAaIICCCCyxxyyyxx22 b和和a是图形的形心是图形的形心C在在Oxy坐标系中的坐标，所以它们是坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。有正负的。3.注意注意： xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小；的惯性矩最小；I- -3 惯性矩和惯性积的惯性矩和惯性积的平行移轴公式平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积组合截面的惯性矩和惯性积 n1iin1iin1iixyxyyyxxIIIIII，二、组合
7、图形的惯性矩：二、组合图形的惯性矩：OxyCdAxCyCabyxxCyC已知：已知： 、 、 ，形心在，形心在xOy坐标系下的坐标坐标系下的坐标(a，b)，求，求Ix、Iy、IxyCxICyICCyxI A2xdAyI A2CC2A2CdA)yay2a(dA)ya( A2CACA2dAydAya2dAaAaII2xxC AbII2yyC 同同理理：CxA2CACAIdAy0dAyAdA ， AxyxydAI ACCCCACCdA)yxbyaxab(dA)ya)(xb( ACCACACAdAyxdAybdAxadAabCCyxACCACACAIdAyx0dAy0dAxAdA ，abAIICCyx
8、xy 例例I- -5 求图示求图示T型截面对形心轴型截面对形心轴的惯性矩。的惯性矩。530530例例I- -6 已知三角形对底边已知三角形对底边(x1轴轴)的惯性的惯性矩为矩为bh3/12，求其对过顶点的与底边平，求其对过顶点的与底边平行的行的x2轴的惯性矩。轴的惯性矩。bx1hx2xCh/3 解：由于解：由于x1、x2轴均非形心轴，所以轴均非形心轴，所以不能直接使用平行移轴公式，需先求出三不能直接使用平行移轴公式，需先求出三角形对形心轴角形对形心轴xC的惯性矩，再求对的惯性矩，再求对x2轴的轴的惯性矩，即进行两次平行移轴：惯性矩，即进行两次平行移轴：423236362312323223232
9、121bhbhhbhAaIIbhbhhbhAaIICCxxxx-303055CC2C1y221y1zC1zC2求求T形截面对形心轴的惯性矩形截面对形心轴的惯性矩先求形心的位置：先求形心的位置：取参考坐标系如图，则：取参考坐标系如图，则： iiiCCAyAy0zmm75.23AAyAyA212211 即即截截面面的的形形心心轴轴。、CCzy再求截面对形心轴的惯性矩：再求截面对形心轴的惯性矩：433ymm115601230512530IC 4222Cz121Cz222z121zzmm34530A)yy(I A)yy(I )AaI ()AaI (I2C1C2C1CC - - - - 由由平平行行移移
10、轴轴定定理理得得：yCzyCzC一、惯性矩和惯性积的转轴公式一、惯性矩和惯性积的转轴公式1.公式推导：公式推导：2.转轴公式转轴公式：-2222222221111cosIsinIIIsinIcosIIIIIsinIcosIIIIIxyyxyxxyyxyxyxyyxyxx3.注意：注意： 是是x轴与轴与x1轴的夹角，由轴的夹角，由x轴逆时针转到轴逆时针转到x1轴轴时的时的 为正。为正。 I- -4 惯性矩和惯性积的惯性矩和惯性积的转轴公式转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩 y1=|AC|dAy1x1y1x1 yx DEBACOxy已知：已知：Ix、Iy、Ixy、 ，求，求
11、、 、 。1xI1yI11yxI A21xdAyI1 - - A2xdA)sinxcosy(I1=|AD|- -|EB| =ycos-xsin - - 2yxy2xsinIcossinI2cosI - - A2222dA)sinxcossinxy2cosy(利用三角变换，得到利用三角变换，得到2sin2cos221xyyxyxxIIIIII-同理，利用：同理，利用：x1=|OC|=|OE|+|BD|=xcos +ysin - - - - - - - 2cosI2sin2IIIasinI2cos2II2IIIxyyxyxxyyxyxy111得到得到形心主惯性矩形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩
12、；：图形对形心主轴的惯性矩；2.主轴方位：主轴方位：利用主轴的定义利用主轴的定义惯性积等于零进行求解；惯性积等于零进行求解；主轴与主轴与x轴的夹角轴的夹角:yxxyIIItg-220 由上式可求出相差由上式可求出相差90o的的 0， 0+90o，分别对应于一对相垂，分别对应于一对相垂直的主轴直的主轴x0、y0；二、主惯性轴、主惯性矩二、主惯性轴、主惯性矩1.主轴的相关概念：主轴的相关概念：主轴主轴(主惯性轴主惯性轴)：惯性积等于零的一对正交轴；惯性积等于零的一对正交轴； 形心主轴形心主轴：过图形形心的主轴，图形的对称轴就是形：过图形形心的主轴，图形的对称轴就是形心主轴心主轴 与主轴方位的对应关
13、系：与主轴方位的对应关系：求求 0时只取主值时只取主值|2 0| /2)，若若IxIy，则由，则由x轴转过轴转过 0到达到达x0轴时，有轴时，有 ；若；若IxIy，则则 。注意，。注意， 0为正值时应逆时针旋转。为正值时应逆时针旋转。maxxII0minxII0 任何具有三个或三个以上对称轴的平面图形，所有形心任何具有三个或三个以上对称轴的平面图形，所有形心轴都是主轴，如正三角形、正方形、正多边形。轴都是主轴，如正三角形、正方形、正多边形。 求惯性矩的极值所在方位，得到与上式相同结果。所以：求惯性矩的极值所在方位，得到与上式相同结果。所以：图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值，就是对过
14、图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值，就是对过该点主轴的两个主惯性矩。该点主轴的两个主惯性矩。3.主惯性矩大小：主惯性矩大小： 22minmax22xyyxyxIIIIIII-12010101070例例I-7 计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩IIIIIIICxyy0 x0 0图形的对称中心图形的对称中心C为形心，在为形心，在C点建立坐标点建立坐标系系xCy如图如图将整个图形分成将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图三个矩形，如图整个图形对整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别轴的惯性矩和惯性积分别为为IIIxIIxIxxIIII 2)106
15、0()560(12106023 - - 46mm1008. 5 12120103 46IIIyIIyIyymm1084. 1IIII 46IIIxyIIxyIxyxymm1031. 2IIII - - 426. 1III22tgyxxy0 - - - 2827o0 minymaxx0oyx0IIIIx2827xII4/000 ，转到主轴转到主轴轴逆时针旋转轴逆时针旋转自自， - - 46462xy2yxyxminmaxmm1064. 0mm1028. 6I2II2IIII形心主惯形心主惯性矩大小性矩大小 例例I- -8 求图示正方形对过形求图示正方形对过形心的心的x1、y1轴的惯性矩和惯性积。轴的惯性矩和惯性积。xyaaCx1y1 解：由于：解：由于：0124xyyxIaII，22221yxxyyxyxxIIsinIcosIIIII-则则同理同理 ，21yxyIII011yxI