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1、附附 录录平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学选择材料选择材料与材料的机械性质有关与材料的机械性质有关确定尺寸确定尺寸与截面大小、形状有关与截面大小、形状有关拉压：拉压：应力均布，仅需满足应力均布，仅需满足 ，不考虑形状；不考虑形状；扭转：扭转：应力不均布，出现应力不均布，出现 ，在在面积面积A相同，但形状不同的情况下，应相同，但形状不同的情况下，应力分布不同。力分布不同。平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学一、定一、定 义义1、静矩、静矩oyzAdAyz AydA AzdA图形对图形对y轴的静矩轴的静矩图形对图形对z轴的静矩轴的静矩单位：单位：平面图形的几何性质平面图形的几何
2、性质材料力学 讨论讨论（1）静矩可）静矩可 0；0；0。（2）若图形形心）若图形形心C已知，由静力学可知：已知，由静力学可知：oyzAC（3）求静矩的另一公式：）求静矩的另一公式：平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学（3）若）若yzAC则则y、z轴称为形心轴。轴称为形心轴。若已知若已知 则可确定则可确定z z轴、轴、y y轴通轴通过截面形心。过截面形心。平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学2、惯矩、惯矩oyzAdAyz AydA AzdA图形对图形对y轴的惯矩轴的惯矩图形对图形对z轴的惯矩轴的惯矩单位：单位：平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学 讨论讨论（1）惯矩恒）惯
3、矩恒 0；（2）所以所以惯性半径惯性半径（单位：（单位：）平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学3、极惯矩、极惯矩oyzAdAyz图形对图形对o点的极惯矩点的极惯矩单位：单位：讨论讨论（1）平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学oyzAdAyzyzzy且且即即对对o o点极惯矩点极惯矩 =对过对过o o点同一平面内任意一点同一平面内任意一 对相互垂直轴的惯矩之和对相互垂直轴的惯矩之和平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学所以所以 只与原点只与原点o有关，即有关，即（2）平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学4、惯积、惯积图形对图形对y、z两轴的惯积两轴的惯积单位：单位：
4、oyzAdAyz 讨论讨论（1）可可 0；0；0；（2）若图形有一对称轴，则）若图形有一对称轴，则平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学yz（3）若）若则则y、z轴称为轴称为主惯性轴（主轴）主惯性轴（主轴）。对称轴一定是主轴，主轴不一定是对称轴。对称轴一定是主轴，主轴不一定是对称轴。通过形心的主轴称为形心主惯性轴。通过形心的主轴称为形心主惯性轴。平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学yzbh例：例：1、矩形。求、矩形。求解：解：（1）（2）zdz同理同理c平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学（3）例：例：2、圆形。、圆形。yzd已知已知则则而而所以所以平面图形的几何性质平面
5、图形的几何性质材料力学二、组合图形的几何性质二、组合图形的几何性质dD根据定义：根据定义：整个图形对某一轴的惯矩（静矩、惯积整个图形对某一轴的惯矩（静矩、惯积）等于各个）等于各个分图形对同一轴的惯矩（静矩、惯积分图形对同一轴的惯矩（静矩、惯积）之和。）之和。平面图形的几何性质平面图形的几何性质IIIIIIyz材料力学例如例如:则则IIIIIIyz同理同理平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学空心圆空心圆其中其中平面图形的几何性质平面图形的几何性质dDyz材料力学IIIIIIyzy1平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学A三、平行移轴公式三、平行移轴公式CyzdAyzoba已知已知:
6、(y、z轴过形心轴过形心C)求求解：解：代入定义式：代入定义式：平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学ACyzdAyzoba同理同理00平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学平行移轴公式平行移轴公式 注意：注意：（1 1 1 1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴）两平行轴中，必须有一轴为形心轴）两平行轴中，必须有一轴为形心轴）两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两截面对任意两截面对任意两截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系平行轴的惯性矩间的关系平行轴的惯性矩间的关系平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩应通过平行的形心轴惯性矩应通过平行的形心轴惯性矩应通过平行的形心轴惯
7、性矩来换算来换算来换算来换算;（2 2 2 2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中）截面图形对所有平行轴的惯性矩中）截面图形对所有平行轴的惯性矩中）截面图形对所有平行轴的惯性矩中,以对通过形心以对通过形心以对通过形心以对通过形心轴的惯性矩最小轴的惯性矩最小轴的惯性矩最小轴的惯性矩最小.ACyzdAyzoba平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学20cm3173例：例：T字形截面字形截面,求其对形心轴的惯矩。求其对形心轴的惯矩。解解:(1)求形心求形心zyC任选参考坐标系任选参考坐标系,如如III而而平面图形的几何性质平面图形的几何性质y1材料力学(2)求求20cm3173zyCIII平面图形
8、的几何性质平面图形的几何性质y1材料力学四、转轴公式四、转轴公式oyzAdAyz设一设一平面图形平面图形,已知已知 求求解解:平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学oyzAdAyz同理同理改写为改写为并且并且 角角从从原始坐标轴量起原始坐标轴量起,逆时针转向为正逆时针转向为正,反之则为负反之则为负.平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学oyzAdAyz平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学五、主惯性轴及主惯性矩五、主惯性轴及主惯性矩oyzAdAyz若若则则 轴称为轴称为主惯性轴（主轴）主惯性轴（主轴）。如坐标原点与形心重合如坐标原点与形心重合,则称为形心主惯性轴。则称为形心主
9、惯性轴。对主惯性轴的的惯矩称为对主惯性轴的的惯矩称为主惯性矩主惯性矩平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学方向方向 的求解的求解:代入代入,得主惯矩得主惯矩为为平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学求求 因此主惯性轴的惯性矩因此主惯性轴的惯性矩 即过即过o o点各轴中的惯矩极值点各轴中的惯矩极值.可求得可求得:平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学定理定理:截面图形对某点有一对以上不相重合的主惯轴截面图形对某点有一对以上不相重合的主惯轴,则则 所有通过该点的轴都是主惯轴所有通过该点的轴都是主惯轴.推论推论:(1)当当截面图形过某点的一对主惯轴的惯矩相等截面图形过某点的一对主惯
10、轴的惯矩相等,则过则过(2)该点的轴都是主惯轴该点的轴都是主惯轴.(2)任何具有三个或三个以上对称轴的任何具有三个或三个以上对称轴的截面图形截面图形,它它所有的形心轴都是主惯轴所有的形心轴都是主惯轴,且惯矩相等且惯矩相等.平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学(3)(3)若各铆钉的材料相同、直径相等，且外力偶作用面垂直于铆钉若各铆钉的材料相同、直径相等，且外力偶作用面垂直于铆钉若各铆钉的材料相同、直径相等，且外力偶作用面垂直于铆钉若各铆钉的材料相同、直径相等，且外力偶作用面垂直于铆钉 的轴线，则各铆钉的受力与该铆钉横截面形心至钉群截面形心的轴线，则各铆钉的受力与该铆钉横截面形心至钉群截面
11、形心的轴线，则各铆钉的受力与该铆钉横截面形心至钉群截面形心的轴线，则各铆钉的受力与该铆钉横截面形心至钉群截面形心 的距离成正比，而力的方向与该铆钉至钉群截面形心的连线相的距离成正比，而力的方向与该铆钉至钉群截面形心的连线相的距离成正比，而力的方向与该铆钉至钉群截面形心的连线相的距离成正比，而力的方向与该铆钉至钉群截面形心的连线相 垂直。垂直。垂直。垂直。FF/nF/nF/nF/n(1)(1)若各铆钉的材料相同、直径相等，且外力作用线通过钉群截若各铆钉的材料相同、直径相等，且外力作用线通过钉群截若各铆钉的材料相同、直径相等，且外力作用线通过钉群截若各铆钉的材料相同、直径相等，且外力作用线通过钉群
12、截 (2)(2)面形心，则每一铆钉的受力相等。面形心，则每一铆钉的受力相等。面形心，则每一铆钉的受力相等。面形心，则每一铆钉的受力相等。铆钉受力假设铆钉受力假设铆钉受力假设铆钉受力假设(2)(2)若各铆钉的材料相同、直径不等，而外力作用线通过钉群截面若各铆钉的材料相同、直径不等，而外力作用线通过钉群截面若各铆钉的材料相同、直径不等，而外力作用线通过钉群截面若各铆钉的材料相同、直径不等，而外力作用线通过钉群截面 形心，则每一铆钉的受力与该铆钉的横截面面积成正比。形心，则每一铆钉的受力与该铆钉的横截面面积成正比。形心，则每一铆钉的受力与该铆钉的横截面面积成正比。形心，则每一铆钉的受力与该铆钉的横截面面积成正比。FF1F2TFQ材料力学