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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date几何学发展的概述几何学概论第一部分 几何学发展概述第一章 几何学发展简史几何学是数学中最古老的一门分科。最初的几何知识是从人们对形的直觉中萌发出来的。史前人大概首先是从自然界本身提取几何形式，并且在器皿制作、建筑设计及绘画装饰中加以再现。图1-1所示图片显示了早期人类的几何兴趣，不止是对圆、三角形、正方形等一系列几何形状的认识，而且还有对全等、相似、对称等几何性质的运
2、用。古埃及时期陶器西安半坡陶器图1-1根据古希腊学者希罗多德的研究，几何学起源于古埃及尼罗河泛滥后为整修土地而产生的测量法，它的外国语名称geometry就是由geo（土地）与metry（测量）组成的。古埃及有专门人员负责测量事务，这些人被称为“司绳”。古代印度几何学的起源则与宗教实践密切相关，公元前8世纪至5世纪形成的所谓“绳法经”，就是关于祭坛与寺庙建造中的几何问题及求解法则的记载。中国最早的数学经典周髀算经事实上是一部讨论西周初年天文测量中所用数学方法的著作，其中第一章叙述了西周开国时期（约公元前1000年）周公姬旦同商高的问答，讨论用矩测量的方法，得出了著名的勾股定理，并举出了“勾三、
3、股四、弦五”的例子。古希腊数学家泰勒斯曾经利用两三角形的等同性质，做了间接的测量工作；毕达哥拉斯学派则以勾股定理等著名。在埃及产生的几何学传到希腊，然后逐步发展起来而变为理论的数学。哲学家柏拉图（公元前429前348）对几何学做了深奥的探讨，确立起今天几何学中的定义、公设、公理、定理等概念，而且树立了哲学与数学中的分析法与综合法的概念。此外，梅内克缪斯（约公元前340）已经有了圆锥曲线的概念。1 欧几里得与原本1.1 原本产生的历史背景欧几里得原本 “原本”的希腊文原意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。1606年，中国学者徐光启与意大利传教士利玛窦合作完成了欧几里得原本前6卷的中文翻译，
4、并于翌年正式刊刻出版，定名几何原本，中文数学名词“几何”由此而来。清代李善兰与传教士伟烈亚力合译后面部分成中文，于1856年完成。是一部划时代的著作。其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。它的出现不是偶然的，在它之前，已有许多希腊学者做了大量的前驱工作。从泰勒斯算起，已有三百多年的历史。泰勒斯是希腊第一个哲学学派伊奥尼亚学派的创建者。他力图摆脱宗教，从自然现象去寻找真理，对一切科学问题不仅回答“怎么样”？还要回答“为什么这样”？他对数学的最大贡献是开始了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了可贵的第一步。接着是毕达哥拉斯学派，用数来解释一切，将数学从具体的事物中抽象出来，建
5、立自己的理论体系。他们发现了勾股定理，不可通约量，并知道五种正多面体的存在，这些后来都成为原本的重要内容。这个学派的另一特点是将算术和几何紧密联系起来，为原本中算术几何化提供了线索。希波战争以后，雅典成为人文荟萃的中心。雅典的巧辩学派提出几何作图的三大问题：三等分角；倍立方体求作一立方体，使其体积等于已知立方体体积的两倍；化圆为方求作一正方形，使其面积等于一已知圆。问题的难处是作图只许用直尺（没有刻度，只能画直线的尺）和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题。这是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步。作图只能用尺规的限制最先是伊诺皮迪斯提出的，后来
6、原本用公设的形式规定下来，于是成为希腊几何的金科玉律。巧辩学派的安提丰为了解决化圆为方问题，提出颇有价值的“穷竭法”，孕育着近代极限论的思想。后来经过欧多克斯的改进，使其严格化，成为原本中的重要证明方法。埃利亚学派的芝诺提出四个著名的悖论，迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题。无穷历来是争论的焦点，在原本中，欧几里得实际上是回避了这一矛盾。例如第卷20命题说：“素数的个数比任意给定的素数都多。”而不用我们现在更简单的说法：素数无穷多。只说直线是可任意延长而不是无限长。原子论学派的德谟克利特用原子法得到的结论：锥体体积是同底等高柱体的，后来也是原本中的重要命题。柏拉图学派的思想对欧几里得无疑产生
7、过深刻的影响，欧几里得早年大概就是这个学派的成员。柏拉图非常重视数学，特别强调数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值。他主动通过几何的学习培养逻辑思维能力，因而几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。这个学派的重要人物欧多克斯创立了比例论，用公理法建立理论，使得比例也适用于不可通约量。原本第卷比例论大部分采自欧多克斯的工作。柏拉图的门徒亚里士多德是形式逻辑的奠基者，他的逻辑思想为日后将几何整理在严密的体系之中创造了必要的条件。到公元前4世纪，希腊几何学已经积累了大量的知识，逻辑理论也渐臻成熟，由来已久的公理化思想更是大势所趋。这时，形成一个严密的几何结构已是“山雨
8、欲来风满楼”了。建筑师没有创造木石砖瓦，但利用现有的材料来建成大厦也是一项不平凡的创造。公理的选择，定义的给出，内容的编排，方法的运用以及命题的严格证明，都需要有高度的智慧并要付出巨大的劳动。从事这宏伟工程的并不是个别的学者，在欧几里得之前已有好几个数学家做过这种综合整理工作。其中有希波克拉底，勒俄，修迪奥斯等。但经得起历史风霜考验的，只有欧几里得原本一种。在漫长的历史岁月里，它历经沧桑而没有被淘汰，表明它有顽强的生命力。1.2 原本的结构与内容欧几里得（活动于约公元前300年）古希腊数学家。以其所著的原本闻名于世。关于他的生平，现在知道的很少。早年大概就学于雅典，深知柏拉图的学说。公元前30
9、0年左右，在托勒密王（公元前364前283）的邀请下，来到亚历山大，长期在那里工作。他是一位温良敦厚的教育家，对有志数学之士，总是循循善诱。但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点。 据普罗克洛斯记载，托勒密王曾经问欧几里得，除了他的原本之外，还有没有其它学习几何的捷径。欧几里得回答说：“在几何里，没有专为国王铺设的大道。”这句话后来成为传诵千古的学习箴言。斯托贝乌斯记载了另一则故事，说一个学生才开始学第一个命题，就问欧几里得学了几何学之后将得到些什么。欧几里得说：给他三个钱币，因为他想在学习中获得实利。欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中
10、，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。除了原本之外，他还有不少著作，可惜大都失传。已知数是除原本之外唯一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作，体例和原本前6卷相近，包括94个命题，指出若图形中某些元素已知，则另外一些元素也可以确定。图形的分割现存拉丁文本和阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分。光学是早期几何光学著作之一，研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失。为了纪念欧几里得这位为人类的数学事业作出巨大贡献的学者，许多数学名词都以欧几里得的名字命名，如欧几里得几何、欧几里得空间、欧几里
11、得公理、欧几里得距离、欧几里得复形、欧几里得联络、欧几里得算法、欧几里得型、欧几里得多面体、欧几里得单纯复形等。欧几里得图1-2 图1-3希腊文化以柏拉图学派的时代为顶峰，以后逐渐衰落，而埃及的亚历山大学派则渐渐繁荣起来，它长时间成了文化的中心。古希腊数学家欧几里得把至希腊时代为止所得到的数学知识集其大成，编成十三卷的原本，这就是直到今天仍广泛地作为几何学的教科书使用下来的欧几里得几何学（简称欧氏几何）。原本是一部划时代的著作，是最早用公理法建立起演绎数学体系的典范。古希腊数学的基本精神，是从少数的几个原始假定（定义、公设 欧几里得在这里采用了亚里士多德对公理和公设的区分。亚里士多德深入研究了
12、作为数学推理的出发点的基本原理，并将它们区分为公理和公设。他认为公理是一切科学公有的真理；而公设则是为某一门科学所接受的第一性原理。、公理）出发，通过逻辑推理，得到一系列命题。这种精神，充分体现在欧几里得的原本中。公元前7世纪以来，希腊几何学已积累了相当丰富的知识，在欧几里得以前，已有希波克拉底（公元前5世纪下半叶）、修迪奥斯（公元前4世纪）等学者做过综合整理工作，想将这些零散的材料组织在严密的逻辑系统之中，但都没有成功。当欧几里得集前人之大成的原本出现的时候，这些工作都湮没无闻了。在印刷本出现之前，原本的各种文字的手抄本已流传了一千七百多年，以后又以印刷本的形式出了一千多版。从来没有一本科学
13、书籍像原本那样长期成为广大学子传诵的读物。古希腊的海伦、帕普斯、辛普利休斯等人都做过注释。亚历山大的赛翁提出一个修订本，对正文作了校勘和补充。这个本子成为后来所有流行的希腊文本和译本的蓝本，一直到19世纪初，才在梵蒂冈发现早于赛翁的希腊文手抄本。原本全书共分13卷 欧几里得的原著只有13卷，14、15卷是后人添加上去的。一般认为第14卷出自普西克勒斯之手，而15卷是6世纪时达马斯基乌斯所著。，包括有5条公理、5条公设、119个定义和465条命题。以下简要介绍原本的内容。第1卷首先给出23个定义。如“点是没有部分的”，“线有长无宽”，等等。还有平面、直角、垂直、锐角、钝角、圆、直径、等腰三角形、
14、等边三角形、菱形、平行线等定义。接着是5个公设，前4个很简单：公设1 任两点可联一线；公设2 直线可任意延长；公设3 以任何中心、任何半径可作一圆；公设4 凡直角都相等。第5个就是著名的欧几里得第五公设：“如果一直线和两直线相交，所构成的同旁内角小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在那两内角的一侧相交。”这公设比其它四个复杂得多，而且并不那么显而易见，因此引起长达两千多年的争论，最后导致非欧几里得几何学的产生。公设之后是5个公理：公理1 等于同量的量彼此相等；公理2 等量加等量，和相等；公理3 等量减等量，差相等；公理4 彼此重合的图形是全等的；公理5 整体大于部分。近代数学不区分公设与
15、公理，凡是基本假定都叫公理。原本后面各卷不再列出其它公理。这一卷在公理之后给出48个命题，包括三角形的角与边、垂线、平行线、平行四边形等命题。下面给出其中的几个命题。命题1 在给定直线上作一等边三角形。证明是简单的（如图1-4所示）。以A为中心以AB为半径作圆。以B为中心以AB为半径作圆。设C是一个交点，ABC便是所求的三角形。图1-4 命题2 过一已知点（作为一个端点）作一直线（段）使之等于一已给直线（段）。命题4 若两个三角形的两边和夹角对应相等，它们就全等。证法是把一个三角形放到另一个三角形上，指明它们必须重合。命题5 等腰三角形两底角相等。书中证法比目前许多中学课本中的好（如图1-5所
16、示），因后者在这一阶段就假定了角A存在角平分线。把AB延长到F，把AC延长到G，使。于是。因而。现有。图1-5 图1-6第47命题就是有名的勾股定理：“在直角三角形斜边上的正方形（以斜边为边的正方形）等于直角边上的两个正方形”。它的证明是用面积来做的，如图1-6所示，首先证明，推得矩形正方形。同理推得矩形正方形。第2卷包括14个命题，用几何的语言叙述代数的恒等式。第3卷有37个命题，讨论圆、弦、切线、圆周角、内接四边形及与圆有关的图形。第4卷有16个命题，包括圆内接与外切三角形、正方形的研究，圆内接正多边形（5边、6边、15边）的作图。第5卷是比例论，是以欧多克斯的工作为基础的。后世的评论家认
17、为这是原本的最高成就，因为它在当时的认识水平上消除了由不可公度量引起的数学危机。同原本任何其它部分相比，它的内容被人讨论得最多，它的意义被人争论得最激烈。毕达哥拉斯学派也有关于比例（两个比相等的关系）的理论，即关于可公度量（其比可用整数比表示的那种量）的比例理论。在欧多克斯以前应用比例关系的数学家，一般在用不可公度量时没有可靠的理论依据。第五卷把比例关系的理论推广到不可公度量而避免了无理数。原本第5卷中给出比例的定义相当于（原文是用文字叙述的）说：设是任意四个量，其中A和B同类（即均为线段、角或面积等），C和D同类。如果对于任何两个正整数m和n，关系（情况同理）是否成立，相应地取决于关系是否成
18、立，则称A与B之比等于C与D之比，即四量成比例。这一定义并未限制涉及的量是可公度的还是不可公度的，因此可以运用它来证明许多早期毕达哥拉斯学派只对可公度量证明了的命题。举一个例子：定理 如果两个三角形的高相同，则它们的面积之比等于两底之比。毕达哥拉斯学派的证明：如图1-7(a)所示，考虑两个三角形和，它们的底(和)处于同一直线上。设和分别包含一个公度单位的p倍和q倍，在和上画出这些分点，并与顶点A连接。和分别被划分成p和q个小三角形，它们等底等高，因此根据已知结果，它们的面积相等。由此得这里用表示此三角形的面积不当，应改为“”，余同，但由于不可公度量的出现，上述证明以及许多其它定理的证明都不再适
19、用。图1-7 (a)(b)欧几里得原本中的证明（欧多克斯）：如图1-7(b)所示，在延长线上从点B起相继截取个与相等的线段，分别将分点与顶点A连接。同样从延长线上从E点起相继截取个与相等的线段，把分点与顶点A连接。这时有：根据已证明的结果，可知取决于，也就是说取决于。因此，根据欧多克斯比例定义，有。由此看到，原本第5卷将比例理论由公度量推广到不可公度量，使它能适用于更广泛的几何命题证明，从而巧妙地回避了无理量引起的麻烦。同原本的其它部分相比，第5卷的内容颇引人争议。第6卷把第5卷已建立的理论用到平面图形上去，共33个命题。第7、8、9三卷是数论。第10卷是篇幅最大的一卷，包含16个定义和115
20、个命题，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），但只涉及相当于之类的无理量。第10卷的第一个命题对原本其后几卷的讲解是重要的。命题1：对于两个不相等的量，若从较大量减去一个比它的一半还要大的量，并继续重复执行这一步骤，就能使所余的一个量小于原来较小的量。欧几里得在证明的结尾说，若定理中所减去的是一半的量，这也能证明。他的证明里有一步用了一个没有被他自觉意识到的公理：在两个不等的量中，较小者可自己相加有限倍而使其和超过较大者；欧几里得把有问题的这一步建立在两个量之比的定义上。但此定义并不足以证明这一步是对的。这定义说当两个量之中的任一量自身相加足够多次后便能超过另一量，则此两量有一个比；因此欧
21、几里得应该证明这一点对他所说的量是可以做到的。但他却假定他的量可以相比，并利用了较小量自身相加足够多次后可以超过较大量的事实。据阿基米德所说，欧几里得是用过这个公理的（严格地说是其等价说法），他是把它作为一个引理建立起来的。第11卷讨论空间的直线与平面的各种关系（相交、垂直、平行等）以及平行六面体的体积等问题。第12卷利用穷竭法证明“圆面积的比等于直径平方的比”，“球体积的比等于直径立方的比”以及“锥体体积的比等于同底等高的柱体的”等。第13卷着重研究5种正多面体。1.3 原本的优缺点欧几里得原本被称为数学家的圣经，在数学史，乃至人类科学史上具有无与伦比的崇高地位。它的主要贡献在于：成功地将零
22、散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的整体结构。对命题作了公理化演绎。从定义、公理、公设出发建立了几何学的逻辑体系，称为其后所有数学的范本。几个世纪以来，已成为训练逻辑推理的最有力的教育手段。因为原本是最早一本内容丰富的数学书，而且为所有后代人所使用，所以它对数学发展的影响超过任何别的书。读了这本书之后，可以对数学本身的看法，对证明的想法，对定理按逻辑次序的排法，都学到一些东西，而且它的内容也决定了其后的思想发展。欧几里得对公理的选择是很出色的。他能用一小批公理证出几百个定理，其中好多是深奥的。他的选择是费了心机的。他对平行公理的处理特别显得聪明。任何这样的公理都不免或明或暗的要提到在无
23、限远空间所必须成立的事项的任何说法，它的具体意义总是含混不清的，因为人的经验是有限的。然而他也认识到这样的公理不能省掉。于是就采取了这样一种说法，提出二直线能交于有限远处的条件。更有甚者，他在求助于这一公理以前先证明了所有无需它来证的定理。欧几里得原本可以说是数学史上的第一座理论丰碑。它最大的功绩，是在于数学中演绎范式的确立，这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理公设或公理。这就是后来所谓的公理化思想。原本是古希腊数学的代表作，出现在两千多年前，这是难能可贵的。但用现代的眼光看，也还有
24、不少缺点：首先使用了重合法来证明图形的全等。这方法有两点值得怀疑：第一，它用了运动的概念，而这是没有逻辑依据的；第二，重合法默认图形从一处移动到另一处时所有性质保持不变。要假定移动图形而不致改变它的性质，那就要对物理空间假定很多的条件。其次是公理系统不完备，例如没有运动、连续性、顺序等公理，因此许多证明不得不借助于直观，利用今天的认识可以发现欧几里得用了数十个他所从未提出而且无疑并未发觉的假定，包括关于直线和圆的连续性的假定。在第一卷命题1的证明中假定了两圆有一个公共点。每个圆是一个点集，很可能两圆彼此相交而在假定的点或所谓交点（一个或两个）处没有两圆的公共点。按照原本里的逻辑基础来说，两直线
25、可能相交而没有一个公共点。也有的公理可以从别的公理推出（如直角必相等）。又点、线、面等定义本身是含混不清的，而且后面从来没有用过，完全可以删去。在一些实际给出的证明里也有缺点。有些是欧几里得搞错的地方可以纠正，但少数地方需要给出新的证明。另一类缺点是原本中通篇都有，那就是只用特例或所给数据（图形）的特定位置证明一般性的定理。同时，全书十三卷并未呵成一气，而在某种程度上是前人著作的堆砌。例如，第七、八、九卷对整数重复证明了先前对量所给出的许多结果。第十三卷的第一部分重复了第二和第四卷中的结果。第十、十三卷可能在欧几里得以前是单独的一本著作。尽管如此，原本开创了数学公理化的正确道路，对整个数学发展
26、的影响，超过了历史上任何其它著作。1.4 原本对我国数学的影响中国传统数学最明显的特点是以算法中心。虽然也有逻辑证明，但却没有形成一个严密的公理化演绎体系，这也许是最大的弱点。明末原本传入，正好弥补我们的不足。可是实际情况并不理想。徐光启本人对原本十分推崇，也有深刻的理解。他认为学习此书可使人“心思细密”。在译本卷首的几何原本杂议中说：“人具上资而意理疏莽，即上资无用；人具中材而心思缜密，即中材有用；能通几何之学，缜密甚矣，故率天下之人而归于实用者，是或其所由之道也。”在他的大力倡导下，确实也发挥一定的作用，可惜言者淳淳，听者藐藐，要在群众中推广，仍然有很大困难。他在杂议中继续写到：“而习者盖
27、寡，窃意百年之后，必人人习之。”他只好把希望寄托于未来。明末我国正处在数学发展的低潮，原本虽已译出，学术界是否看到它的优点，大有疑问。事实上，明清两代几乎没有人对原本的公理化方法及逻辑演绎体系作过专门的研究。康熙之后，清统治者实行闭关锁国、盲目排外的政策。知识分子丧失了思想、言论自由，为了逃避现实，转向古籍的整理和研究，以后形成了以考据为中心的乾嘉学派。徐光启之后，数学界的代表人物是梅文鼎，他汇通中西数学，对发扬中国传统数学及传播西方数学均有贡献，然而却没有认识到公理化方法的重要性。他认为西方的几何学，无非就是中国的勾股数学，没有什么新鲜的东西。他在几何通解中写道：“几何不言勾股，然其理并勾股
28、也。故其最难通者，以勾股释之则明。”类似的说法还有多处。他见到的只是几何的一些命题，至于真正的精髓公理体系及逻辑结构，竟熟视无睹。2 解析几何的诞生2.1 笛卡儿和费马在创立解析几何中的贡献近代数学本质上可以说是变量数学。文艺复兴以来资本主义生产力的发展，对科学技术提出了全新的要求。到了16世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。这就迫切的需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学亦即近代数学的诞生。变量几何的第一个里程碑是解析几何的发明。解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对之间建立一一对应的关系。每一对实数都对应于平面上的一个点；
29、反之，每一个点都对应与它的坐标。以这种方式可以将一个代数方程与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。借助坐标来确定点的位置的思想古代曾经出现过，古希腊的阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线性质的推导，阿拉伯人通过圆锥曲线交点求解三次方程的研究，都蕴含着这种思想。解析几何最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆，他在论形态幅度著作中提出的形态幅度原理，甚至已接触到函数的图像表示，奥雷斯姆借用了“经度”、“纬度”这两个地理学术语来描述他的图线，相当于横坐标与纵坐标。不过他的图线概念是模糊的，至多是一个图表，还未形成清晰的坐标与函数图像的概念。解析几何的真正
30、发明还要归功于法国另外两个数学家笛卡儿与费马。他们工作的出发点不同，但却殊途同归。2.1.1. 笛卡儿的主要工作笛卡儿1637年发表了著名的哲学著作方法论，该书有三个附录：几何学、屈光学和气象学，解析几何的发明包含在几何学这篇附录中。笛卡儿的出发点是一个著名的希腊数学问题帕波斯问题：设在平面上给定3条直线，过平面上的点C作三条直线分别与交于点P、R、Q，交角分别等于已知角，求使的点C的轨迹；如果给定4条直线，则求使（k为常数）的点C的轨迹。图1-8问题还可以类似地推广到n条直线的情形。帕波斯曾宣称，当给定的直线是三条或四条（即所谓三线或四线问题）时，所得的轨迹是一条圆锥曲线。笛卡儿在几何学第二
31、卷中，证明了四线问题的帕波斯结论：记，经简单的几何分析，用已知量表出的值，带入（设），就得到一个关于的二次方程： （2-1）其中A、B、C、D是由已知量组成的简单代数式。于是他指出，任给的一个值，就得到关于的二次方程，从这个方程可以解出，并根据他在几何学第一卷中所给的方法，用圆规直尺将画出。如果取无穷多个的值，就得到无穷多个值，从而得到无穷多个点C，所以这些点C的轨迹就是方程（2-1）代表的曲线。在这个具体问题中，笛卡儿选定一条直线（AG）作为基线（相当于一根坐标轴），以点A为原点，值是基线的长度，从A点量起；值是另一条线段的长度，该线段从基线出发，与基线交成定角。正是如此，笛卡儿建立了历史上
32、第一个倾斜坐标系。在几何学第三卷中，还可以看到笛卡儿也给出了直角坐标系的例子。有了坐标系和曲线方程的思想，笛卡儿又提出了一系列新颖的想法，如：曲线的次数与坐标轴选择无关；坐标轴选取应使曲线方程尽量简单；利用曲线的方程表示来求两条不同曲线的交点；曲线的分类等等。几何学作为笛卡儿哲学著作方法论的附录，意味着他的几何学发现乃至其它方面的发现都是在其方法论原理指导下获得的。笛卡儿方法论原理的本旨是寻求发现真理的一般方法，他在另一部较早的哲学著作指导思维的法则中称自己设想的一般方法为“通用数学”，并概述了这种通用数学的思路。提出了一种大胆的计划，即：任何问题数学问题代数问题方程求解。为了实施这一计划，笛
33、卡儿首先通过“广延”的比较，将一切度量问题化为代数方程问题，为此需要确定比较的基础，即定义“广延”单位，以及建立“广延”符号系统及其算术运算，特别是要给出算术运算与几何图形之间的对应。这就是笛卡儿几何学的方法论背景。然而，笛卡儿的方法论著作并没有告诉人们，在将一切问题划归为代数方程问题后将如何继续，这正是几何学需要完成的任务。几何学开宗明义，在任意选取单位长度的基础上定义了线段的加、减、乘、除、乘方、开方等运算。他以特殊的字母符号来表示线段，由于可用线段表示积、幂，这样就突破了“齐次性”的束缚，而在几何中自由运用算术或代数术语。运用这些算术术语又可以将一切几何问题化为关于一个未知线段的单个代数
34、方程：几何学的主要目标就是讨论如何给出这些方程的标准解法。他在几何学第一卷中从最简单的一、二次方程出发，这相应于只用尺规作图的所谓“普通几何”问题。讨论了三种形式的二次方程：，并分别给出作图，本质上它是利用了圆与直线的交点。为了接着讨论三次以及三次以上方程的作图，就需要研究曲线的性质与分类，这就引出了作为几何学第二卷与第三卷前半部分的一个很长的过渡，其中包括了使他成为近代数学先驱的坐标几何。笛卡儿在几何学第三卷的后半部分，又回到他的主题高次方程的标准作图，利用刚得到的坐标几何工具，解决了三、四次方程的作图和五、六次方程的作图，并指出，可以依次类推地解决更高次方程的作图问题。2.1.2. 费马的
35、主要工作与笛卡儿不同，费马工作的出发点是竭力恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作论平面轨迹，他为此而写了一本题为论平面和立体的轨迹引论（1629）的书。书中清晰地阐述了费马的解析几何原理，指出：“只要在最后的方程中出现两个未知量，我们就有一条轨迹，这两个量之一的末端描绘出一条直线或曲线。直线只有一种，曲线的种类则是无限的，有圆、抛物线、椭圆等等”。费马在书中还提出并使用了坐标的概念，不仅使用了斜坐标系，也使用了直角坐标系，他所称的未知量实际就是“变量”，也就是今天所称的横坐标与纵坐标。他考虑任意曲线和它上面的一般点。的位置用两字母定出：A是从点O延底线到点Z的距离，E是从Z到J的距离。他所用的坐标就是
36、我们所说的倾斜坐标，但是轴没有明白出现，而且不用负数。他的A、E就是我们的（如图1-9所示）。图1-9费马让一个字母代表一类的数，然后写出联系A和E的各种方程，并指明它们所描绘的曲线。例如，他写出并指明这代表一条直线。他又给出，并肯定它也代表一条直线。书中费马解析地定义了以下的曲线：直线方程：；圆：；椭圆：；抛物线：；双曲线：；费马后来还定义了新曲线：因为费马不用负坐标，他的方程不能像他所说代表整个曲线，但他确实领会到坐标轴可以平移或旋转，因为他给出一些较复杂的二次方程，并给出它们可以简化到的简单形式，他肯定：一个联系着A和E的方程，如果是一次的，就代表直线轨迹，如果是二次的，就代表圆锥曲线。
37、费马没有说明他的解析几何思想是如何形成的。他与笛卡儿的创造都是文艺复兴以来欧洲代数学振兴所带来的必然结果。能够看到，笛卡儿和费马研究解析几何的方法大不相同。笛卡儿批评了希腊的传统，而且主张同这传统决裂；费马则着眼于继承希腊人的思想，认为他自己的工作只是重新表述了阿波罗尼奥斯的工作。真正的发现代数方法的威力是属于笛卡儿的，他知道他是在改换古代方法。虽然用方程表示曲线的思想在费马的工作中比在笛卡儿的工作中更为明显，但费马的工作主要是这样一个技术的成就：他完成了阿波罗尼奥斯的工作，并且利用了韦达用字母代表数类的思想。笛卡儿的方法是可以普遍使用的，而且就潜力而论也适用于超越曲线。尽管笛卡儿和费马研究解
38、析几何的方式和目的有显著不同，他们却卷入谁先发明的争论。费马的著作直到1679年才出版，但他在1629年已发现了解析几何的基本原理，这比笛卡儿发表几何学的年代1637年还早。笛卡儿当时已完全知道费马的许多发现，但否认他的思想是从费马来的。当几何学出版的时候，费马批评说，书中删去了极大值和极小值、曲线的切线以及立体轨迹的作图法。他认为这些是值得所有几何学家注意的。笛卡儿回答说，费马几乎没有做什么，至多做出一些不费气力不需要预备知识就能得到的东西，而他自己却在几何学的第三卷中，用了关于方程性质的全部知识。他讽刺地称呼费马为我们的极大和极小大臣，并且说费马欠了他的债。后来这两人的态度趋于缓和。在16
39、60年的一篇文章里，费马虽然指出几何学中的一个错误，当他宣称他是如此佩服笛卡儿的天才，即使笛卡儿有错误，他的工作甚至比别人没有错误的工作更有价值。笛卡儿却不像费马那样宽厚。后代人对待几何学不像笛卡儿那样重视。虽然对数学的前途来说，方程和曲线的结合是一个显著的思想，但对笛卡儿来说，这个思想只是为了达到目的解决作图问题的一个手段。费马强调轨迹的方程，从近代观点来看，是更为恰当的。笛卡儿在几何学第1卷和第3卷中所着重的几何作图问题，已逐渐失去重要性，这主要是因为不再像希腊人那样，用作图来证明存在了。第三卷中也有一部分是在数学里占永久地位的。笛卡儿解决作图问题时，首先把问题用代数表出，接着就解出所得到
40、的代数方程，最后按解的要求来作图。在这个过程中，笛卡儿收集了自己的和别人的有助于求解的方程论工作。因为代数方程不断地出现在成百的、与作图问题无关的不同场合中，所以这个方程论已经成为初等代数的基础部分。阅读材料笛卡儿简介 勒奈笛卡儿(1596年3月31日-1650年2月11日)，物理学家、数学家，笛卡儿是欧洲近代资产阶级哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”。他自成体系，熔唯物主义与唯心主义于一炉，在哲学史上产生了深远的影响。同时，他又是一位勇于探索的科学家，他所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。1596年3月31日生于法国小镇拉埃的一个贵族家庭。因家境富裕从小多病，学校允许他在
41、床上早读，养成终生沉思的习惯和孤僻的性格。1606年他在欧洲最有名的贵族学校耶稣会的拉弗莱什学校上学，1616年在普依托大学学习法律与医学，对各种知识特别是数学深感兴趣。在军队服役和周游欧洲中他继续注意“收集各种知识”，“随处对遇见的种种事物注意思考”，16291649年在荷兰写成方法论（1637）及其附录几何学、屈光学、气象学（1644）。1650年2月11日卒于斯德哥尔摩，死后还出版有论光（1664）等。他的哲学与数学思想对历史的影响是深远的。人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“笛卡儿，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人。”笛卡儿最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学
42、。在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。笛卡儿致力于将代数和几何联系起来的研究，于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。他的这一成就为微积分的创立奠定了基础。解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一。笛卡儿不仅提出了解析几何学的主要思想方法，还指明了其发展方向。他在几何学中，将逻辑，几何，代数方法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，从此，数和形就走到了一起，数轴是数和形的第一次接触。解析几何的创立是数学史上一次划时代的转折。而平面直角坐标系的建立正是解析几何得以创立的基础。直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁
43、，它使几何概念可以用代数形式来表示，几何图形也可以用代数形式来表示，于是代数和几何就这样合为一家人了。正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。” 笛卡儿堪称17世纪及其后的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。2.2 解析几何的发展费马的轨迹引论虽然在他的朋友中得到传播，但迟至1679年才出版。笛卡儿对于几何作图问题的强调，遮蔽了方程和曲线的主要思想。事实上，许多和他同时代的人认为解析几何主要是解决作图问题的工具，甚至莱布尼茨也说笛卡儿的工作是退回到古代。笛卡儿本人确
44、实知道他的贡献远远不限于提供一个解决作图问题的新方法。他在几何学的引言中说：“此外，我在第二卷中所做的关于曲线性质的讨论，以及考查这些性质的方法，据我看，远远超出了普通几何的论述。”但是，他利用曲线方程之处，例如，解决了帕波斯问题，找出卵形线的性质等，大大地被他的作图问题所遮盖。解析几何传播速度缓慢的另一原因，是笛卡儿坚持要把他的书写得使人难懂。还有一个原因，是许多数学家反对把代数和几何混淆起来，或者把算术和几何混淆起来。早在16世纪当代数正在兴起的时候，已经有过这种反对的意见了。塔塔利亚坚持要区别数的运算和希腊人对于几何物体的运算。他谴责原本的译者不加区别地使用multiplicare（乘）
45、和ducere（倍）两字。他说，前一字是属于数的，后一字是属于几何量的。韦达也认为数的科学和几何量的科学是平行的，但是有区别。甚至牛顿也如此，他虽然对解析几何有贡献，而且在微积分里使用了它，但反对把代数和几何混淆起来。使解析几何迟迟才被接受的又一原因，是代数被认为缺乏严密性。巴罗不愿承认：无理数除了作为表示连续几何量的一个符号外，还有别的意义。算术和代数从几何得到逻辑的核实，因而代数不能替代几何，或与几何并列。上述种种，虽然阻碍了对笛卡儿和费马的贡献的了解，但也有很多人逐渐采用并且扩展了解析几何。第一个任务是解释笛卡儿的思想。Frans Van Schooten将几何译成拉丁文，于1649年出
46、版，并再版了若干次，这本书不但在文字上便于所有的学者，而且添了一篇评论，对笛卡儿的精致陈述加以阐述。John Wallis在论圆锥曲线中，第一次得到圆锥曲线的方程。他是为了阐明阿波罗尼奥斯的几何条件翻译成代数条件，从而得到这些方程的。他于是把圆锥曲线定义为对应于含和的二次方程的曲线，并证明这些曲线确实就是几何里的圆锥曲线。他很可能是第一个用方程来推导圆锥截线的性质的人。他的书大大有助于传播解析几何的思想。17甚至18世纪的人，一般只用一根坐标轴（轴），其值是沿着与轴成直角或斜角的方向画出的。牛顿所引进的坐标系之一，是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准，略如我们现在的极坐标系。由于牛顿的这个
47、工作直到1736年才为世人所知，而James Bernoulli于1691年在教师学报上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为他是极坐标的发现者。后来又出现了许多新的曲线和它们的方程。把解析几何推广到三维空间，是在17世纪中叶开始的。在几何的第二卷中，笛卡儿指出，容易将他的想法应用到所有这样的曲线，即可以看作使一个点在三维空间中作规则运动时所产生的曲线。要把这种曲线用代数表示出来，笛卡儿的计划是：从曲线的每个点处作线段垂直于两个互相垂直的平面。这些线段的端点将分别在这两个平面上绘出两条曲线，而这两条平面曲线就可用已知的方法处理。在第二卷的前一部分里，笛卡儿指出，一个含有三个未知数这三个数定出轨迹上的一点C的方程所代表的C的轨迹是一个平面，一个球面或一个更复杂的曲面。他显然体会到他的方法可能推广到三维空间中的曲线和曲面，可是他没有进一步去考虑这种推广。费马在1643年的一封信里，简短地描述了他的关于三维解析几何的思想。他谈到柱面、椭圆抛物