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1、运筹学运筹学北京理工大学北京理工大学管理管理(gunl)与经济学院与经济学院吴祈宗教授吴祈宗教授1第一页，共一百二十八页。 1、绪、绪 论论 2、线、线 性性 规规 划划 3、运、运 输输 问问 题题 4、动、动 态态 规规 划划 5、图与网络分析、图与网络分析 6、排、排 队队 论论 7、教学、教学(jio xu)日历日历运运 筹筹 学学 目录目录(ml)说说 明明 本教学课件是与教材紧密配合使用的，教材为：运筹学 杨民助编著(binzh)西安交通大学出版社，2000年6月参考书：运筹学 清华大学出版社或其他的运筹学方面本科教材的相关内容下面所标注的页号，均为本课下面所标注的页号，均为本课程
2、教材的页号。例如：程教材的页号。例如：p123 表示第123页p31-34 表示从第31页到第34页2第二页，共一百二十八页。绪 论 运筹学（运筹学（Operational Research) Operational Research) 直译为直译为“运作研究运作研究” 运筹学是运用(ynyng)科学的方法（如分析、试验、量化等）来决定如何最佳地运营和设计各种系统的一门学科。运筹学对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。 运筹学有广泛应用（可以自己找一些参考书看） 运筹学的产生和发展（可以自己找一些参考书看）3第三页，共一百二十八
3、页。运筹学解决问题的过程运筹学解决问题的过程(guchng)1）提出问题：认清(rn qn)问题2）寻求可行方案：建模、求解3）确定评估目标及方案的标准或方法、途径4）评估各个方案：解的检验、灵敏性分析等5）选择最优方案：决策6）方案实施：回到实践中7）后评估：考察问题是否得到完满解决1）2）3）：形成问题；4）5）分析问题：定性分析与定量分析。构成决策。4第四页，共一百二十八页。运筹学的分支运筹学的分支(fnzh) 线性规划(xin xn u hu) 非线性规划 整数规划 动态规划 多目标规划 随机规划 模糊规划等 图与网络理论 存储论 排队论 决策(juc)论 对策论 排序与统筹方法 可靠
4、性理论等5第五页，共一百二十八页。运筹学在工商管理中的应用运筹学在工商管理中的应用(yngyng)(yngyng)生产计划：生产作业的计划、日程表的编排、合理下 料、配料问题、物料管理等库存管理：多种物资库存量的管理，库存方式、库存 量等运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、 运输工具的调度以及建厂地址的选择等人事管理：对人员的需求和使用的预测(yc)，确定人员编 制、人员合理分配，建立人才评价体系等市场营销：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与 销售计划制定等财务和会计：预测、贷款、成本分析、定价、证券管 理、现金管理等 * 设备维修、更新，项目选择、评价，工程优化设计与管理等6第六
5、页，共一百二十八页。运筹学方法使用运筹学方法使用(shyng)(shyng)情况情况( (美美1983)1983)（% %）0 01010202030304040505060607070统计统计计算机模拟计算机模拟网络计划网络计划线性规划线性规划排队论排队论非线性规划非线性规划动态规划动态规划对策论对策论从不使用从不使用有时使用有时使用经常使用经常使用7第七页，共一百二十八页。0 0101020203030404050506060707080809090统计统计计算机模拟计算机模拟网络计划网络计划线性规划线性规划排队论排队论非线性规划非线性规划动态规划动态规划对策论对策论从不使用从不使用有时使
6、用有时使用经常使用经常使用运筹学方法运筹学方法(fngf)(fngf)在中国使用情况在中国使用情况( (随机抽样随机抽样) )（% %）8第八页，共一百二十八页。运筹学的推广应用前景运筹学的推广应用前景(qinjng) 据美劳工局据美劳工局19921992年统计预测年统计预测: : 运筹学应用分析人员运筹学应用分析人员(rnyun)(rnyun)需求从需求从19901990年到年到20052005年的增长百分比预测为年的增长百分比预测为73%,73%,增长速度排到各增长速度排到各项职业的前三位项职业的前三位. .结论结论: : 运筹学在国内或国外的推广前景是非常广阔的运筹学在国内或国外的推广前
7、景是非常广阔的 工商企业对运筹学应用和需求是很大的工商企业对运筹学应用和需求是很大的 在工商企业推广运筹学方面有大量的工作要做在工商企业推广运筹学方面有大量的工作要做9第九页，共一百二十八页。学习运筹学要把重点放在分析、理解有关的概念、思路上。在自学过程中，应该多学习运筹学要把重点放在分析、理解有关的概念、思路上。在自学过程中，应该多向自己提问，如一个方法的实质是什么，为什么这样做，怎么做等。向自己提问，如一个方法的实质是什么，为什么这样做，怎么做等。自学时要掌握三个重要环节：自学时要掌握三个重要环节： 1、认真阅读教材和参考资料，以指定教材为主，同时参考其他有关书籍。一般每一本运筹学教材都有
8、自己的特点，但是基本原理、概念都是一致的。注意主从，参考资料会帮助你开阔思路，使学习深入。但是，把时间过多放在参考资料上，会导致思路分散，不利于学好。 2、要在理解了基本概念和理论的基础上研究例题，注意例题是为了帮助你理解概念、理论的。作业练习的主要作用也是这样，它同时还有让你自己检查自己学习的作用。因此，做题要有信心，要独立完成，不要怕出错。因为，整个课程(kchng)是一个整体，各节内容有内在联系，只要学到一定程度，知识融会贯通起来，你做题的正确性自己就有判断。 3、要学会做学习小结。每一节或一章学完后，必须学会用精炼的语言来该书所学内容。这样，你才能够从较高的角度来看问题，更深刻的理解有
9、关知识和内容。这就称作“把书读薄”，若能够结合自己参考大量文献后的深入理解，把相关知识从更深入、广泛的角度进行论述，则称之为“把书读厚”在建数学模型时要结合实际应用，要学会用计算机软件解决问题在建数学模型时要结合实际应用，要学会用计算机软件解决问题。如何如何(rh)(rh)学习运筹学课程学习运筹学课程返回(fnhu)目录10第十页，共一百二十八页。各章节的重点各章节的重点(zhngdin)、难点、难点及注意事项及注意事项11第十一页，共一百二十八页。1 1、 线线 性性 规规 划划线性规划线性规划(xin xn u hu)模型：模型： 目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 约
10、束条件：s.t. x1 + x2 300 2 x1 + x2 400 x2 250 x1 , x2 0*看 p 7-9 例1-1，1-2 例例1. 某工厂在计划(jhu)期内要安排甲、乙两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗以及资源的限制，如下表：问题：工厂应分别生产多少单位甲、乙产品才能使工厂获利最多？甲乙资 源 限 制设 备113 0 0 台 时原 料 A214 0 0 千 克原 料 B012 5 0 千 克单 位 产 品 获 利5 0 元1 0 0 元12第十二页，共一百二十八页。1 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.11.1）1. 1 线性规划的
11、概念线性规划的概念线性规划的组成线性规划的组成： 目标函数 Max f 或 Min f 约束条件 s.t. (subject to) 满足(mnz)于 决策变量 用符号来表示可控制的因素 一般一般(ybn)形式形式 ( p10- p 11)目标函数： Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn 约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn （ =, ）b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn （ =, ）b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn （ =, ）bm x1 ，x2 ， ，xn 0 标准
12、形式标准形式 ( p11- p 15 ，例，例1-3)目标函数： Max z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn 约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm x1 ，x2 ， ，xn 0*练习(linx)：p 68-70 习题1 1-1，1-213第十三页，共一百二十八页。1 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.21.2）1. 2 线性规划问题线性规划问题(wnt)解的概念及性质解的概念及性质熟悉下列一些
13、解的概念（p15-16） 可行解、可行解集（可行域），最优解、最优值，基、基变量、非基变量，基本解、基本可行解，可行基、最优基。 图解方法及各有关(yugun)概念的意义（p16-20） 看：图解法步骤，例1-4，1-5，1-6，1-7，1-8，1-9 下一页是一个图解法解题的一个例子，右图中的阴影部分为可行域。 单纯形法的理论基础（p20-30） 1.2.3段要求看懂，了解如何直接通过对约束矩阵的分析求出基本可行解 1.2.4, 1.2.5两段应注重结论的了解，如单纯形法思想和关于(guny)线性规划解的四个定理，而对证明过程则可根据自己的数学基础来掌握： 基础很好，可要求掌握；否则，也可略
14、去不看。*习题：p70 习题1 1-3，1-414第十四页，共一百二十八页。1 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.21.2）例例1.目标(mbio)函数： Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件： s.t. x1 + x2 300 (A) 2 x1 + x2 400 (B) x2 250 (C) x1 0 (D) x2 0 (E)得到最优解： x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 2750015第十五页，共一百二十八页。1 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3）1. 3 单纯形法单纯形法 利用单纯形表的方法求解线性规利用单纯形表的方法求解
15、线性规划划重点重点 (p30-45 1.3.1, 1.3.2, (p30-45 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3)1.3.3) 此项内容是本章的重点，学习中应注此项内容是本章的重点，学习中应注意掌握表格单纯形法求解线性规划问题的意掌握表格单纯形法求解线性规划问题的基本过程。要通过读懂教材内容以及基本过程。要通过读懂教材内容以及(yj)(yj)大量练习来掌握。大量练习来掌握。16第十六页，共一百二十八页。1 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3）表格单纯形法表格单纯形法 ( p40- p 45) 考虑：考虑： bi 0 i = 1 , , m Max z = c1 x1 +
16、c2 x2 + + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn bm x1 ，x2 ， ，xn 0加入加入(jir)松弛变量：松弛变量： Max z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn + xn+1 = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn + xn+2 = b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn+ xn+m = bm x1
17、 ，x2 ， ，xn ，xn+1 ， ，xn+m 017第十七页，共一百二十八页。显然，显然，xj = 0 j = 1, , n ; xn+i = bi i = 1 , , m 是基本可行解 对应(duyng)的基是单位矩阵。以下是初始单纯形表： m m其中：f = - cn+i bi j = cj - cn+i aij 为检验数 cn+i = 0 i= 1,m i = 1 i = 1 an+i,i = 1 , an+i,j = 0 ( ji ) i , j = 1, , m1 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3）c1cncn+1cn+mCBXBx1xnxn+1xn+micn+
18、1xn+1b1a11a1na1n+1a1n+m1cn+2xn+2b2a21a2na2n+1a2n+m2cn+mxn+mbmam1amnamn+1amn+mm-zf1n0018第十八页，共一百二十八页。1 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3单纯形法解题单纯形法解题(ji t)(ji t)例）例）50100000CBXBx1x2x3x4x5i0 x3300111003000 x4400210104000 x52500(1)001250-z050100*0000 x350(1)010-1500 x41502001-175100 x225001001-z-2500050*000-100
19、50 x1501010-10 x45000-211100 x225001001-z-2750000-500-50例例1。化标准形式：。化标准形式： Max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 + x3 = 300 2 x1 + x2 + x4 = 400 x2 + x5 = 250 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0最优解 x1 = 50 x2 = 250 x4 = 50（松弛标量(bioling)，表示原料A有50个单位的剩余） 19第十九页，共一百二十八页。 注意：单纯形法中，注意：单纯形法中， 1、每一步运算只能用矩阵、每一步运算只能用矩阵(j
20、zhn)初等行变换；初等行变换； 2、表中第、表中第3列的数总应保持非负（列的数总应保持非负（ 0）；）； 3、当所有检验数均非正（、当所有检验数均非正（ 0）时，得到最）时，得到最优单纯形表。优单纯形表。1 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3）20第二十页，共一百二十八页。1 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3）一般情况的处理一般情况的处理(chl)及注意事项的强调（及注意事项的强调（p45-55） 1.3.4段主要是讨论初始基本可行解不明显时，常用的方法。要弄清段主要是讨论初始基本可行解不明显时，常用的方法。要弄清它的原理，并通过例它的原理，并通过例1-14
21、 例例1-17掌握这些方法，同时进一步熟掌握这些方法，同时进一步熟悉用单纯形法解题。悉用单纯形法解题。考虑一般问题：考虑一般问题： bi 0 i = 1 , , m Max z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm x1 ，x2 ， ，xn 021第二十一页，共一百二十八页。1 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3） 大大M法：法： 引入人工变量 xn+i 0 i =
22、 1 , , m ; 充分大正数 M 。 得到， Max z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn + M xn+1 + + M xn+m s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn + xn+1 = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn + xn+2 = b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn + xn+m = bm x1 ，x2 ， ，xn ，xn+1 ， ，xn+m 0显然，显然，xj = 0 j=1, , n ; xn+i = bi i =1 , , m 是基本可行解 对应的基是单位矩阵。结论结论(jiln)：
23、若得到的最优解满足：若得到的最优解满足 xn+i = 0 i = 1 , , m 则是原问题的最优解；否则，原问题无可行解。22第二十二页，共一百二十八页。1 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3） 两阶段法：两阶段法：引入人工变量 xn+i 0，i = 1 , , m；构造， Max z = - xn+1 - xn+2 - - xn+m s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn + xn+1 = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn + xn+2 = b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn + xn+m = bm
24、x1 ，x2 ， ，xn ，xn+1 ， ，xn+m 0第一阶段求解上述第一阶段求解上述(shngsh)问题：问题：显然，显然，xj = 0 j=1, , n ; xn+i = bi i =1 , , m 是基本可行解 对应的基是单位矩阵。结论：若得到的最优解满足结论：若得到的最优解满足 xn+i = 0 i = 1 , , m 则是原问题的基本可行解；否则，原问题无可行解。得到原问题的基本可行解后，第二阶段求解原问题。得到原问题的基本可行解后，第二阶段求解原问题。23第二十三页，共一百二十八页。1 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3）例题）例题(lt)(lt) 例：（LP）
25、Max z = 5 x1 + 2 x2 + 3 x3 - x4 s.t. x1 + 2 x2 + 3 x3 = 15 2 x1 + x2 + 5 x3 = 20 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 26 x1 , x2 , x3 , x4 0大M法问题(wnt)（LP - M） Max z = 5 x1 + 2 x2 + 3 x3 - x4 - M x5 - M x6 s.t. x1 + 2 x2 + 3 x3 + x5 = 15 2 x1 + x2 + 5 x3 + x6 = 20 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 26 x1 , x2 , x3 , x4 , x5
26、 , x6 0两阶段法 ：第一阶段问题（LP - 1） Max z = - x5 - x6 s.t. x1 + 2 x2 + 3 x3 + x5 = 15 2 x1 + x2 + 5 x3 + x6 = 20 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 26 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 024第二十四页，共一百二十八页。1 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3）大）大M M法例法例(f l)(f l)523-1-M-MCBXBx1x2x3x4x5x6i-Mx5151230105-Mx62021(5)0014-1x4261241006.5-z35M+
27、263M+63M+48M+7000-Mx53-1/5(7/5)001-3/515/73x342/51/51001/520-1x410-3/56/5010-4/525/3-z3M-2-M/5+16/57/5M+13/5000-8/5M-7/52x215/7-1/71005/7-3/73x325/7(3/7)010-1/72/725/3-1x452/7-3/7001-6/7-2/7-z-53/725/7000-M-13/7-M-2/72x210/3011/302/3-1/35x125/3107/30-1/32/3-1x4110011-10-z-112/300-25/30-M-2/3-M+8/3大大
28、M法法 （LP - M） 得到(d do)最优解：(25/3，10/3，0，11)T 最优目标值：112/325第二十五页，共一百二十八页。1 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3）两阶段）两阶段(jidun)(jidun)法例法例0000-1-1CBXBx1x2x3x4x5x6i-1x5151230105-1x62021(5)00140 x4261241006.5-z35338000-1x53-1/5(7/5)001-3/515/70 x342/51/51001/5200 x410-3/56/5010-4/525/3-z3-1/57/5000-8/50 x215/7-1/710
29、05/7-3/70 x325/73/7010-1/72/725/30 x452/7-3/7001-6/7-2/7-z00000-1-1第一阶段第一阶段 （LP - 1） 得到原问题的基本(jbn)可行解：(0，15/7，25/7，52/7)T 26第二十六页，共一百二十八页。1 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3）两阶段）两阶段(jidun)(jidun)法例法例523-1CBXBx1x2x3x4i2x215/7-1/71003x325/7(3/7)01025/3-1x452/7-3/7001-z-53/725/70002x210/3011/305x125/3107/30-1x
30、4110011-z-112/300-25/30第二阶段第二阶段 把基本(jbn)可行解填入表中 得到(d do)原问题的最优解：(25/3，10/3，0，11)T 最优目标值：112/327第二十七页，共一百二十八页。1 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3）1.3.5 1.3.5 矩阵描述矩阵描述 此段为选读，有困难此段为选读，有困难者可不看。者可不看。 1.3.6 1.3.6 段单纯形迭代过程中的几点注意段单纯形迭代过程中的几点注意事项是对有关内容事项是对有关内容(nirng)(nirng)的强调和补充，要的强调和补充，要认真学习、理解。认真学习、理解。*习题：p70-71
31、习题1 1-5，1-628第二十八页，共一百二十八页。1. 4 线性规划应用线性规划应用 建模（建模（p55-68）本节介绍了些线性规划应用的例子，这些例子从多个方面介绍建模对未来是很有本节介绍了些线性规划应用的例子，这些例子从多个方面介绍建模对未来是很有用的，应认真对待。用的，应认真对待。 除了教材上的例子之外，还有许多其它应用：* 合理利用线材问题：如何下料使用材最少* 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润* 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大* 产品(chnpn)生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大* 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要* 运输问
32、题：如何制定调运方案，使总运费最小 *下面是一些建模的例子，有兴趣者，可作为练习。这些例子有一定的难度，做起来会有下面是一些建模的例子，有兴趣者，可作为练习。这些例子有一定的难度，做起来会有一些困难。一些困难。*习题：p72-73 习题1 1-7，1-8，1-9，1-101 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.41.4）返回(fnhu)目录29第二十九页，共一百二十八页。例某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下： 设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作(gngzu)八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作(gngzu)需要，又配备最少司
33、机和乘务人员?班次时间所需人数16：00 10：0060210：00 14：0070314：00 18：0060418：00 22：0050522： 2：002062：00 6：0030例：人力例：人力(rnl)(rnl)资源分配的问题资源分配的问题30第三十页，共一百二十八页。解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员(rnyun)数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 60 x1 + x2 70 x2 + x3 60 x3 + x4 50 x4 + x5 20 x5 + x6
34、30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 0例：人力例：人力(rnl)(rnl)资源分配的问题（续）资源分配的问题（续）31第三十一页，共一百二十八页。 例、 明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须(bx)本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？甲乙丙资源限制铸造工时(小时/件)51078000机加工工时(小时/件)64812000装配工时(小时/件)32210000自产铸件成本(元/件)3
35、54外协铸件成本(元/件)56-机加工成本(元/件)213装配成本(元/件)322产品售价(元/件)231816例：生产计划例：生产计划(jhu)(jhu)的问题的问题32第三十二页，共一百二十八页。解：设 x1,x2,x3 分别为三道(sn do)工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数， x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。 求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和可得到 xi（i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9元。这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Max 15x1 + 10 x2 + 7x3 + 13x4
36、+ 9x5 约束条件： s.t. 5x1 + 10 x2 + 7x3 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000 x1,x2,x3,x4,x5 0例：生产计划例：生产计划(jhu)(jhu)的问题（续）的问题（续）33第三十三页，共一百二十八页。例、 永久机械厂生产、三种产品，均要经过A、B 两道工序加工。假设有两种规格的设备(shbi)A1、A2能完成 A 工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。可在A、B的任何规格的设备上加工； 可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能
37、在B1设备上加工；只能在A2与B2设备上加工；数据如下表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？产品单件工时 设备设备的有效台时满负荷时的设备费用A15106000300A2791210000321B168400050B24117000783B374000200原料（元/件）0.250.350.50售价（元/件）1.252.002.80例：生产计划例：生产计划(jhu)(jhu)的问题（续）的问题（续）34第三十四页，共一百二十八页。解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。 利润 = （销售单价 - 原料单价）* 产品件数之和 - （每
38、台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。 这样我们建立(jinl)如下的数学模型: Max 0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123 s.t. 5x111 + 10 x211 6000 （ 设备 A1 ） 7x112 + 9x212 + 12x312 10000 （ 设备 A2 ） 6x121 + 8x221 4000 （ 设备 B1 ） 4x122 + 11x322 7000 （ 设备 B2 ） 7x123 4000 （ 设备 B
39、3 ） x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （产品在A、B工序加工的数量相等） x211+ x212- x221 = 0 （产品在A、B工序加工的数量相等） x312 - x322 = 0 （产品在A、B工序加工的数量相等） xijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3例：生产计划例：生产计划(jhu)(jhu)的问题（续）的问题（续）35第三十五页，共一百二十八页。例、某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何(rh)下料，可使所用原料最省？解： 设计下列
40、 5 种下料方案方 案 1方 案 2方 案 3方 案 4方 案 5方 案 6方 案 7方 案 82.9 m120101002.1 m002211301.5 m31203104合 计7.47.37.27.16.66.56.36.0剩 余 料 头00.10.20.30.80.91.11.4假设(jish) x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面前 5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 约束条件： s.t. x1 + 2x2 + x4 100 2x3 + 2x4 + x5 100 3x1 + x2 + 2x3 +
41、3x5 100 x1,x2,x3,x4,x5 0例：套裁例：套裁(toci)(toci)下料问题下料问题36第三十六页，共一百二十八页。例6某工厂要用三种(sn zhn)原料1、2、3混合调配出三种(sn zhn)不同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？产品名称规格要求单价（元/kg）甲原材料1不少于50%，原材料2不超过25%50乙原材料1不少于25%，原材料2不超过50%35丙不限25原材料名称每天最多供应量单价（元/kg）11006521002536035例：配料例：配料(pi lio)(pi lio)问题问题37第三十七页，共一百二十八页。例：配
42、料例：配料(pi lio)(pi lio)问题（续）问题（续）解： 设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33； 目标函数(hnsh)： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个； 供应量限制 3 个。38第三十八页，共一百二十八页。Max z = -15x11+25x12+15x13-30
43、 x21+10 x22-40 x31-10 x33 s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 （原材料2不超过(chogu)25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （原材料2不超过50%） x11+ x21 + x31 100 (供应量限制） x12+ x22 + x32 100 (供应量限制） x13+ x23 + x33 60 (供应量限制） xij 0 , i = 1,2,3; j
44、 = 1,2,3例：配料例：配料(pi lio)(pi lio)问题（续）问题（续）39第三十九页，共一百二十八页。 例8某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目(xingm)投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元； 据测定每万元每次投资的风险指数如右表：问：
45、问：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？项 目风 险 指 数 （ 次 /万 元 ）A1B3C4D5.5 解：解： 1 1）确定决策变量：连续投资问题 设 xij ( i = 1 - 5，j = 1、2、3、4)表示第 i 年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额(jn )。这样我们建立如下的决策变量： A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x24例：投
46、资例：投资(tu z)(tu z)问题问题40第四十页，共一百二十八页。2 2）约束条件：）约束条件：第一年：A当年末可收回投资(tu z)，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+ x12 = 200；第二年：B次当年末才可收回投资故第二年年初的资金为 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11；第三年：年初的资金为 x21+x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；第四年：年初的资金为 x31+x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；第五年：年初的资金为 x41+x32，于是 x51 = 1.1x4
47、1+ 1.25x32； B、C、D的投资限制： xi2 30 ( I =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 3 3）目标函数及模型：）目标函数及模型：a) a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32； xi2 30 ( I =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 xi
48、j 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4） b) b) Min f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32； xi2 30 ( I =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x2
49、4 330 xij 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）例：投资例：投资(tu z)(tu z)问题（续）问题（续）41第四十一页，共一百二十八页。2 2、线性规划、线性规划(xin xn u hu)(xin xn u hu)问题的进一步研究问题的进一步研究（2.12.1）2. 1 对偶原理对偶原理1、对偶问题：、对偶问题：考虑前文例考虑前文例 1 若设备和原料都用于外协加工，工厂收取加工费。试问：设备工时和若设备和原料都用于外协加工，工厂收取加工费。试问：设备工时和原料原料A、B 各如何收费各如何收费(shu fi)才最有竞争力？才最有竞争力？ 设 y1 ，y2 ，y
50、3 分别为每设备工时、 原料 A、B每单位的收取费用Max z = 50 x1 + 100 x2 Min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3 s.t. x1 + x2 300 s.t. y1 + 2 y2 + 50 2 x1 + x2 400 （不少于甲产品的利润） x2 250 y1 + y2 + y3 100 x1 , x2 0 y1, y2 , y3 042第四十二页，共一百二十八页。2、对偶定义、对偶定义对称形式： 互为对偶 (LP) Max z = cT x (DP) Min f = bT y s.t. Ax b s.t. AT y c x 0 y 0 “Max