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1、包装件的振动包装件的振动三、两自由度线性系统振动三、两自由度线性系统振动 一、包装件振动问题概述一、包装件振动问题概述 四、多自由度线性系统振动四、多自由度线性系统振动 二、单自由度线性系统振动二、单自由度线性系统振动 五、弹性体及刚体产品的振动分析五、弹性体及刚体产品的振动分析* 授课知识点授课知识点第三类：已知系统和响应，求激励第三类：已知系统和响应，求激励环境预测环境预测 例如：为了避免产品在公路运输中的损坏，需要通过实地行车例如：为了避免产品在公路运输中的损坏，需要通过实地行车记录汽车振动和产品振动，以估计运输过程中是怎样的一种振记录汽车振动和产品振动，以估计运输过程中是怎样的一种振动
2、环境，运输过程对于产品是怎样的一种激励，这样才能有根动环境，运输过程对于产品是怎样的一种激励，这样才能有根据地为产品设计可靠的减震包装据地为产品设计可靠的减震包装 第二个逆问题第二个逆问题 系统系统（输入）（输入）激励激励（输出）（输出）响应响应第一节第一节 概述概述系统系统（输入）（输入）激励激励（输出）（输出）响应响应第一类：已知激励和系统，求响应：第一类：已知激励和系统，求响应：动力响应分析，正问题动力响应分析，正问题 第二类：已知激励和响应，求系统：第二类：已知激励和响应，求系统：系统辨识，第一个逆问题系统辨识，第一个逆问题 第三类：已知系统和响应，求激励：第三类：已知系统和响应，求激
3、励：环境预测，第二个逆问题环境预测，第二个逆问题第一节第一节 概述概述q 振动分类振动分类按运动微分方程的形式可分为：按运动微分方程的形式可分为： 描述其运动的方程为描述其运动的方程为线性微分方程线性微分方程，相应的系，相应的系统称为线性系统。线性系统的一个重要特性是统称为线性系统。线性系统的一个重要特性是线性叠加原理成立线性叠加原理成立描述其运动的方程为描述其运动的方程为非线性微分方程非线性微分方程，相应的，相应的系统称为非线性系统。对于非线性振动，系统称为非线性系统。对于非线性振动，线性线性叠加原理不成立叠加原理不成立 线性振动线性振动非线性振动非线性振动第一节第一节 概述概述按激励的有无
4、和性质，振动可以分为：按激励的有无和性质，振动可以分为： 固有振动固有振动自由振动自由振动强迫振动强迫振动随机振动随机振动自激振动自激振动参数振动参数振动 无激励时系统所有可能的运动集合（不是现实的振动，仅反无激励时系统所有可能的运动集合（不是现实的振动，仅反映系统关于振动的固有属性）映系统关于振动的固有属性） 激励消失后系统所做的振动（现实的振动）激励消失后系统所做的振动（现实的振动） 系统在外部激励作用下所做的振动系统在外部激励作用下所做的振动 系统在非确定性的随机激励下所做的振动，例如行驶在公路系统在非确定性的随机激励下所做的振动，例如行驶在公路上的汽车的振动上的汽车的振动 系统受其自身
5、运动诱发出来的激励作用而产生和维持的振动，系统受其自身运动诱发出来的激励作用而产生和维持的振动，例如提琴发出的乐声，切削加工的高频振动，机翼的颤振等例如提琴发出的乐声，切削加工的高频振动，机翼的颤振等 激励以系统本身的参数随时间变化的形式出现的振动，例如激励以系统本身的参数随时间变化的形式出现的振动，例如秋千被越荡越高。秋千受到的激励以摆长随时间变化的形式秋千被越荡越高。秋千受到的激励以摆长随时间变化的形式出现，而摆长的变化由人体的下蹲及站立造成出现，而摆长的变化由人体的下蹲及站立造成第一节第一节 概述概述三、包装件振动模型与运动方程三、包装件振动模型与运动方程 （1）连续系统模型连续系统模型
6、 （无限多自由度系统，分布参数系统）（无限多自由度系统，分布参数系统） （多自由度系统（多自由度系统 ，单自由度系统），单自由度系统）数学工具：数学工具：偏微分方程偏微分方程- 振动系统三要素：质量，刚度，阻尼振动系统三要素：质量，刚度，阻尼质量是感受惯性（包括转动惯量）的元件，刚度是感受弹性的元件，质量是感受惯性（包括转动惯量）的元件，刚度是感受弹性的元件，阻尼是耗能元件阻尼是耗能元件- 描述振动系统的两类力学模型：描述振动系统的两类力学模型：（2）离散系统模型离散系统模型 结构参数（质量，刚度，阻尼等）在空间上连续分布结构参数（质量，刚度，阻尼等）在空间上连续分布数学工具：数学工具：常微分
7、方程常微分方程结构参数为集中参量结构参数为集中参量第一节第一节 概述概述 m包装物的位移用包装物的位移用x(t)表示表示,外包装的运动位移用外包装的运动位移用y(t)表示。表示。当包装件受到一个外界激励时，包装物将绕静平衡位置来回振动，当包装件受到一个外界激励时，包装物将绕静平衡位置来回振动，此时包装物所受的弹性力为此时包装物所受的弹性力为-k(x-y)+k,阻尼力为阻尼力为 ，)(yxc 重力为重力为-mg。由于。由于是因包装物重量是因包装物重量mg引起的衬垫静位移，产引起的衬垫静位移，产生大小相等方向相反的支承反力，即生大小相等方向相反的支承反力，即k=mg。根据牛顿第二定。根据牛顿第二定
8、律，此时包装物的运动方程为：律，此时包装物的运动方程为：0)()(yxkyxcxm 第一节第一节 概述概述第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动一、单自由度线性系统无阻尼自由振动一、单自由度线性系统无阻尼自由振动不计阻尼和激励，则方程变为：不计阻尼和激励，则方程变为：mk0mxkx0 xmkx 因为质量因为质量m和弹性系数和弹性系数k都是正数，所以式中都是正数，所以式中k/m恒为正，恒为正，于是可以引入记号于是可以引入记号20km200 xx这是一个二阶常系数齐次常微分方程，它的特征方程为这是一个二阶常系数齐次常微分方程，它的特征方程为20这特征方程的两个根为于是，微分方程的解
9、就是由Euler（欧拉）关系所以22001020,ii 0012ititxC eC e000cossinitetit100200120120(cossin)(cossin)()cos()sinxCtitCtitCCti CCt第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动 令则对时间t求导一次，得振体速度代入初始条件（1），得所以1212,()BCC Di CC00cossinxBtDt0000sincosxBtDt 000,vBxD0000cossinvxxtt第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动 000sin ,cosvxAaAa22000()vAx000arct
10、anxav0sin()xAta则得振体运动方程：则得振体运动方程：令：令：第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动 播放播放谐振谐振动动.exe.exe动画动画零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动： 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止为振动频率的简谐振动，并且永无休止 0初始条件：初始条件： 0, 200 xx固有频率从左到右：固有频率从左到右： 0003,2,时间时间位置位置第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动 0kxxcxm 动力学方程：动力学方程
11、：02200 xxx 或写为：或写为：mk0kmc2固有频率固有频率相对阻尼系数相对阻尼系数 mkc建立平衡位置，并受力分析建立平衡位置，并受力分析mxcxm x0kx02mc第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动 二、单自由度线性系统有阻尼自由振动二、单自由度线性系统有阻尼自由振动动力学方程：动力学方程：02200 xxx mk0kmc2令：令：tex特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 三种情况：三种情况：111欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动 第一种情况：第一种情况：1欠阻尼欠阻尼d
12、i02, 1特征根：特征根：201d阻尼固有频率阻尼固有频率有阻尼的自由振动频率有阻尼的自由振动频率 )sincos()(210tctcetxddt振动解：振动解：c1、c2：初始条件决定：初始条件决定两个复数根两个复数根第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动 设初始条件：设初始条件：0)0(xx0)0(xx)sincos()(00000txxtxetxdddt则：则：)sin()(0tAetxdt或：或：200020)(dxxxA00001xxxtgd第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动 1欠阻尼欠阻尼振动解：振动解：201d阻尼固有频率阻尼固有频率阻尼自由
13、振动周期：阻尼自由振动周期：ddT2T0：无阻尼自由振动的周期：无阻尼自由振动的周期阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期 2012201T)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddt第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动 tAe0tAe0dTt)(txAA01欠阻尼欠阻尼响应图形响应图形振动解：振动解：)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddt欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动=0 1的区域的区域(高频区或惯性控制区高频区或惯性控制区)，
14、0， ，响响应与激励反相；阻尼影响也不大。应与激励反相；阻尼影响也不大。第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动3、 1的附近区域的附近区域(共振区共振区)， 急剧增大并在急剧增大并在 1略为略为偏左处有峰值。通常将偏左处有峰值。通常将1，即即 n称为共振频率。称为共振频率。阻阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。 在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，在相频特性曲线图上，无论阻尼大小， 1时，总有，时，总有， /2,这也是共振的重要现象。这也是共振的重要现象。第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动例2-5在上图所示的振
15、动系统中，已知弹簧常数k=4.38N/mm，物块质量m=18.2kg,粘滞阻尼系数c=0.149Ns/mm，干扰力的力幅F0=44.5N,干扰力频率=15rad/s,试求振体的受迫振动。解解：由已知数据可求得系统的固有频率：静力偏移：04380/18.215.5(/ )krad smmmsNmsNkmCmmkFBc/565. 0)/(68.5642 .18438022:)(16.1038. 45 .4400临界阻尼系数第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动故振体的受迫振动的运动方程为故振体的受迫振动的运动方程为 ：0.1490.2640.565ccC94. 1515. 0196
16、8. 0264. 02968. 01121/12222220BB01.94 10.1619.7(mm)BB122arctan8.111.45(rad)1tgsin()19.7sin(151.45) (mm)xBtt0150.96815.5阻尼比：阻尼比： 频率比：频率比：动力放大系数：动力放大系数：受迫振动的振幅：受迫振动的振幅：相位差：相位差：第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动2. 隔振隔振 隔振分为隔振分为主动隔振主动隔振和和被动隔振被动隔振两类。主动隔振是将振源与支持两类。主动隔振是将振源与支持振源的基础隔离开来。振源的基础隔离开来。被动隔振被动隔振是将需要防振的物体
17、与振源隔开。是将需要防振的物体与振源隔开。包装产品在运输过程中隔振属于被动隔振，例如汽车驶过不平的包装产品在运输过程中隔振属于被动隔振，例如汽车驶过不平的路面而产生的振动等，图为其简化模型，由于汽车振动将引起搁路面而产生的振动等，图为其简化模型，由于汽车振动将引起搁置在其上的物体的振动，这种激励称为位移激振。置在其上的物体的振动，这种激励称为位移激振。kcmx0第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动sinyzt63. 0, 0 . 1, 6 . 1000D 设位移激励为：，若取物体的振动位移为设位移激励为：，若取物体的振动位移为x x，则作用在物体上的，则作用在物体上的弹簧力为
18、弹簧力为 阻尼力为阻尼力为 ，系统振动的运动微分，系统振动的运动微分方程式：方程式： ()k xy式中：式中：整理得：整理得：xfkcmx0()c xy)()(yxcyxkxm )sin(tHkxxcxm 22)(ckzHkcarctan)sin(tBx设稳态解为：设稳态解为：第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动22222222222)2()1 ()2(1)(zcmkckzB 我们将振体振幅与支座振动的振幅的比值（或者输出与输入我们将振体振幅与支座振动的振幅的比值（或者输出与输入振幅之比值）定义为传递率振幅之比值）定义为传递率Tr, 那么：那么：2222)2()1 ()2(1
19、zBTr第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动0.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0 rT1 0 幅频曲线幅频曲线0190180相频曲线相频曲线第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动例2-6包装件内装产品在静平衡时压缩缓冲衬垫引起的静变形为5.08cm，如果此包装件放在运输车上，支座扰频为=15.7（rad/s），支座扰力幅值为=0.1g,求产品最大位移和最大加速度。解：系统固有频率：解：系统固有频率：maxy 0980/13.9(rad/s)5.08sg22201115.71/13.5811 (/)13.9rT )sin(tBx2maxmaxmax
20、BxBxBx 负号与表明输入与输出反相。由于输出公式为：负号与表明输入与输出反相。由于输出公式为：题中未计阻尼所以题中未计阻尼所以第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动产品偏离平衡位置的最大距离为产品偏离平衡位置的最大距离为1.42cm，且和车箱底板不同步。车箱底板，且和车箱底板不同步。车箱底板振幅为振幅为:同理，对于输入同理，对于输入 有：有：tzysin2maxmaxmaxyByByB 所以所以maxmaxmaxmaxmaxmaxrxxxBTzyyy因此，最大输出加速度为：因此，最大输出加速度为：cmgxBxggxTxsr42. 17 .15/358. 0/358. 01 . 058. 322maxmaxmaxmax cmxxss4 . 057. 19801 . 0/22 第二节第二节 单自由度线性系统振动单自由度线性系统振动谢谢大家62 结束语结束语