[数学]概率论与数理统计3.ppt

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1、第三章 二维随机变量二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数对于任意实数对于任意实数 x, ,y, ,二元函数二元函数 F(x, y) = P(Xx Yy) = P(Xx, Yy)称为二维随机变量称为二维随机变量( (X, ,Y) )的（联合）分布函数。的（联合）分布函数。),(),(),(),(,112112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP 由概率可加性求得：由概率可加性求得：第三章第三章 二维随机变量二维随机变量基本性质：基本性质：10 F(x,y) 1，且，且，F( , y) = 0, F(x, ) = 0, F(, ) = 0, F(+, +) = 1;2 2F(

2、x, y) 关于关于 x, y 单调递增单调递增；3. 3. 右连续；右连续；二维离散二维离散随机变量随机变量(X,Y)(X,Y)的的分布律分布律：,.2 , 1,),( jipyYxXPijji xxyyijijpyxF),( 111. 2; 0. 1ijijijpp显然显然第三章 二维随机变量 YX0100.10.310.30.3解：按概率的乘法公式计算得：解：按概率的乘法公式计算得：PX= 0,Y= 0 = PX= 0*PY= 0|X= 0 = 2/5*1/4 = 0.1PX= 0,Y= 1 = 2/5*3/4 = 0.3PX= 1,Y= 0 = 3/5*2/4 = 0.3PX= 1,Y

3、= 1 = 3/5*2/4 = 0.3 一箱子一箱子 5 件产品，件产品，2 正品正品 3 次品，。不放回相继抽取两件产次品，。不放回相继抽取两件产品。定义随机变量：品。定义随机变量：X1（第一次取到次品），（第一次取到次品），0（第一次取到正品）（第一次取到正品）; Y1（第二次取到次品），（第二次取到次品），0（第二次取到正品）。（第二次取到正品）。第三章 二维随机变量 解：解：2. 2. 二维随机变量二维随机变量（X, Y）中中 X 以相等的概率取值以相等的概率取值 1,2,3,4，而而 Y 则以等概率取到则以等概率取到 1 X 间的整数值。写出其分布律。间的整数值。写出其分布律。XY1

4、23411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/16第三章 二维随机变量二维二维连续连续型随机变量型随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数和密度函数的分布函数和密度函数 ：),(),(2yxfyxyxF ),(),(),(),(,yxFyyxFyxxFyyxxFyyYyxxXxP 两边同时除以两边同时除以 y，得，得yyxFyxxFyyyYyxxXxPyy ),(),(, 再同时除以再同时除以 x，得，得yxyxFyxyyYyxxXxPxy ),(,2 令令x, y 趋向于零趋向于零第三章 二维随机变量二维二维连续连续型随机变量型随机变量(X,Y

5、)(X,Y)的分布函数和密度函数的分布函数和密度函数 ： yxdudvvufyxFyxfyxyxF),(),(),(),(2 GdydxyxfGYXPdydxyxfyxf),(),(; 1),(; 0),(性质：第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征作业作业2 2，3 3，4 4，5 5，7 7，8 8，1010，11 11，1414，1515第三章第三章 二维随机变量二维随机变量 othersGyxCyxf,),( ,),(0由概率的性质由概率的性质, 1),( CACdxdydxdyyxfG可得可得 C1 / A。3. 3. 设设 G 是平面上的一个有界区域，面积为是平面上的一

6、个有界区域，面积为 A，二维随机变，二维随机变量量 (X,Y) 只在只在 G 中取值，且每一个点取值都是中取值，且每一个点取值都是“等可能的等可能的”，问它的概率密度？问它的概率密度？解解: : )1(2exp121),(2221 Myxf222221212121)()(2)( yyxxM yx,二维正态分布密度函数：二维正态分布密度函数：第三章 二维随机变量4. 4. 已知已知 (X,Y) 的分布函数为的分布函数为求求解解: :)2 . 1, 2 . 1(00,1),()( YXPotheryxeeeyxFyxyx)2 . 1 , 2 . 1(), 2 . 1()2 . 1 ,(1)2 .

7、1, 2 . 1(FFFYXP 4 . 24 . 22 . 12 . 12 . 12 . 1)1()1()1(1 eeeeee第三章第三章 二维随机变量二维随机变量 othersyxeyxfyx, 00,2),()2( yxdxdyyxfyxF),(),(5. 5. 设二维随机变量设二维随机变量 (X,Y) 具有概率密度具有概率密度试求：试求：(1)(1)分布函数分布函数 F(x,y)；(2)(2)P(XY)。解：解： othersyxdxdyeyxyx, 0, 0,200)2( othersyxeeyx, 0, 0,),1)(1(2 yxxydxedye0022第三章第三章 二维随机变量二维

8、随机变量 othersyxeyxfyx, 00,2),()2( GdxdyyxfGYXPYXP),(),(试求：试求：(2)(2)P(X0)的指数分布，求的指数分布，求 EX 和和 DX。 解：解：22222112)()()( EXXEXD2022 dxxex 00202222)()(dxxeexdxexdxxfxXExxx 1)()(000 dxexedxxedxxxfXExxx第四章第四章 随机变量数字特征随机变量数字特征数学期望数学期望和方差和方差例例6 6 设设 X N(0,1),求求 EX, DX。 解：解：1)()(22 EXXEDX dxexdxxxfEXx2/221)( )(2

9、12/2xexd 1212/2 dxex dxexXEx2/22221)( 0 第四章 随机变量数字特征数学期望数学期望和方差的性质和方差的性质数学期望的性质数学期望的性质方差的性质方差的性质E(C) = CD(C) = 0E(CX) = CE(X)D(CX) = C2D(X)E(X + Y) = E(X) + E(Y)X, Y 相互独立，相互独立，D(XY) = D(X) + D(Y)X,Y相互独立，相互独立，E(XY) = E(X)E(Y)D(X) = 0的充要条件是的充要条件是PX=C = 1第四章 随机变量数字特征数学期望数学期望和方差的性质和方差的性质 ijijjijijiijijj

10、ipypxpyxYXE)()( jiijjijijipypx jjjiiipypxEYEX jijijiijijjippyxpyxYXE )()()( jjjiiipypxEYEX 相互独立条件下相互独立条件下第四章 随机变量数字特征数学期望数学期望和方差的性质和方差的性质 2)()(YXEYXEYXD )(2)()(22EYYEXXEEYYEEXXE )(2EYYEXXEDYDX 相互独立条件下相互独立条件下 EXEYXEYYEXXYEEYYEXXE )( EXEYEXEYEYEXXYE EXEYXYE 0 第四章 随机变量数字特征数学期望数学期望和方差的性质和方差的性质例例1 1 设设 X

11、 N( ), 求求 EX, DX。 解：解：令令 则则 XY1)(, 0)(),1 , 0( YDYENY22)()()()()()()()( DYDYDXDEYEYEXE2, 第四章 随机变量数字特征数学期望数学期望和方差的性质和方差的性质例例2 2 设设 X B(n, p)，求，求 E(X) 和和 D(X)。npqXDXDXDnpXEXEXEniiniiniinii 1111)()()()()()(nipBXi, 2 , 1), 1( 解：解： 设相互独立的设相互独立的0-1分布的随机变量：分布的随机变量： 第四章 随机变量数字特征数学期望数学期望和方差的性质和方差的性质例例3 3 设设

12、X B(n,p), ,EX = 12, DX = 8. .求求 n 和和 p。解：由解：由 EX = np = 12, DX = np(1 - p) = 8, 得得 n = 36, p = 1/3.第四章第四章 随机变量数字特征随机变量数字特征数学期望数学期望和方差的性质和方差的性质例例4 4 X, Y N(0,1/2), ,相互独立，求相互独立，求 |X - Y| 的均值和方差的均值和方差解：解： 212)(2|)(|22 EZDZEZZDYXD),1 , 0( NYXZ 22222221|)(|02/02/2/222 zzzedzzedzezZEYXE第四章 随机变量数字特征随机变量函数数

13、学期望随机变量函数数学期望设设 g(x) 是实值连续函数，且级数或广义积分绝对收敛，是实值连续函数，且级数或广义积分绝对收敛，则用下式计算函数的期望：则用下式计算函数的期望：比直接计算来得简便。比直接计算来得简便。 dxxfxgXgEpxgXgEiii)()()()()(1第四章 随机变量数字特征随机变量函数数学期望随机变量函数数学期望例例1 1 设随机变量设随机变量X X在区间在区间 (0,) 内服从均匀分布，求内服从均匀分布，求 Y = sinX 的数学期望。的数学期望。解：解： 21sin)()()(0 dxxdxxfxgYE第四章 随机变量数字特征随机变量函数数学期望随机变量函数数学期

14、望例例2 2 某应季商品，每售出某应季商品，每售出 1kg 获利润获利润 6 元，如到季末元，如到季末处理每处理每 kg 亏损亏损 2 元，设某商店在季节内这种商品的元，设某商店在季节内这种商品的销售量销售量 X 是随机变量，服从区间是随机变量，服从区间(8, 16)内均匀分布。内均匀分布。为获利最大，问商店应进多少货？为获利最大，问商店应进多少货？解：解： 16,68),(26)(XmmmXXmXXwm第四章 随机变量数字特征随机变量函数数学期望随机变量函数数学期望dxmdxxmxmm 168681)(2681.14, 014)( mmdmXwdEm得得令令dxxwdxxfxwXwEmmm

15、168)(81)()()(322142 mm第四章 随机变量数字特征随机变量函数数学期望随机变量函数数学期望（报童的利润）某报童每天从发行商处购进报纸零售，（报童的利润）某报童每天从发行商处购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。如果每份报纸的购进价晚上将没有卖掉的报纸退回。如果每份报纸的购进价为为a，零售价为，零售价为b，退回价为，退回价为c，且满足，且满足cab。假设。假设已经知道已经知道159159天报纸需求量的情况，报童每天应购进天报纸需求量的情况，报童每天应购进多少份报纸？多少份报纸？需求量需求量100 120 140 160 180 200 220 240 260 280天数天数

16、3 9 13 22 32 35 20 15 8 23 9 13 22 32 35 20 15 8 2已知每天需求量（随机变量）已知每天需求量（随机变量） X，求平均每天利润多，求平均每天利润多少少 ？练习练习1. 设随机变量设随机变量 X 的概率密度为的概率密度为则则 EX = ，DX = 。 othersxxxf, 010,2)(2. 设设 X N(1,4), Y N(-1,2)，且，且 X 与与 Y 相互独立，则相互独立，则 E(X 2Y) = , D(X 2Y) = 。3. 设设 X R(-3, 3)，则，则 D(1 3X) = .4. 盒子内盒子内 3 个白球，个白球，2 个黑球，从中

17、任取个黑球，从中任取 2 求，设求，设 X为取得白球的个数，求为取得白球的个数，求 EX5. 有有 4 名顾客随机地进入名顾客随机地进入 4 家商店，家商店，X 表示没有顾客表示没有顾客进入的商店数，求进入的商店数，求 EX。6. 设设 X 额概率密度为额概率密度为求求 EX，DX xexfx,21)(| 设随机变量设随机变量 X 是是 n 次伯努利试验中事件次伯努利试验中事件 A 出现的出现的次数，次数，P(A) = p，令，令 求求 EY。8. 设（设（X, Y）有）有求求EX，EY ，E(XY) 和和 E(X2 + Y2)。 othersxyyyxf, 0, 10,12),(2 为偶数为

18、偶数当当为奇数为奇数当当XXY, 0, 1报童的利润报童的利润00000()()()(, )()( ) (, )( , ) ( )()()() ( )()( )( )( )0,( )( )( )1( ),( )nnnnnnnnba Xac nXXng X nba nXnV nE g X ng x n p x dxba xac nxp x dxba np x dxp x dxbaV nacp x dxp x dxp x dxp x dxbap x dxbc 设天利润设天利润平均利润平均利润令令近似有近似有即即第四章 随机变量数字特征协方差和相关系数协方差和相关系数 0)( EXEYXEYYEXX

19、YEEYYEXXE当当 X, Y 相互独立时，有相互独立时，有0)( EYYEXXE反反之之，表示表示 X, Y 不独立。不独立。用这个量表示两个随机变量之间联系的紧密程度用这个量表示两个随机变量之间联系的紧密程度第四章 随机变量数字特征协方差和相关系数协方差和相关系数)(),cov(EYYEXXEYX EXEYXYEEXEYYEXXEYXYEEYYEXXEYX )()()(),cov(EYEXXYEYX )(),cov(定义两个随机变量定义两个随机变量 X，Y 的协方差：的协方差：第四章 随机变量数字特征协方差和相关系数协方差和相关系数0, 00|1|11)0)(, 0)(),cov( XY

20、XYXYXYXYXYYDXDDYDXYX ，将协方差标准化（单位化）将协方差标准化（单位化）越相关越相关正相关正相关越不相关越不相关负相关负相关第四章 随机变量数字特征协方差和相关系数协方差和相关系数EXEYdxdyyxxyfYXEXEYpyxYXdxdyyxfEYyEXxYXpEYyEXxYXijijjiijijji ),(),cov(),cov(),()(),cov()(),cov(1111例例1. 二维离散随机变量二维离散随机变量(X, Y) 的分布律为的分布律为X Y -10110.20.10.120.100.1300.30.1求求 cov(X, Y), XY。解解: 边缘分布分别为边

21、缘分布分别为X123pk0.40.20.4Y-101pk0.30.40.3E(X) = 2, E(Y) = 0, E(XY) = 0.2, D(X) = 0.8, D(Y) = 0.6cov(X,Y) = 0.2 20 = 0.2, XY = 0.2/(0.80.6)0.5 = 0.29第四章 随机变量数字特征协方差和相关系数协方差和相关系数 1)()()(),cov(,2222 bDXEXbbEXDXbDXbEXaEXbXaXEDXDYYXDXbDYbEXaEYbXaYXY 当当当当 X, Y 相互独立，相互独立，0 XY 线性相关性线性相关性负负相相关关，正正相相关关越越线线性性无无关关，

22、越越线线性性相相关关，0, 00|1| XYXYXYXY “不相关不相关” 和和 “相互独立相互独立” 是不同的概念是不同的概念X, Y 相互独立相互独立X, Y 不相关不相关E(XY) = EXEYcov(X, Y) = 0, XY = 0反之呢？反之呢？1. 设设 X N(1,5), Y N(1,16)，且，且 X 与与 Y 相互独立，令相互独立，令Z = 2X Y 1 ，则，则 E(Z) = , D(Z) = ，Y 与与 Z的相关系数的相关系数 XY = .练习练习2. 设随机变量设随机变量 X 与与 Y 的相关系数的相关系数 XY = 0，则，则（a）D(X Y) = DX DY;（b

23、） 相互独立；（相互独立；（c）可能服从二维均匀分布；（可能服从二维均匀分布；（d）E(XY) = EXEY3. 设（设（X, Y）有）有求相关系数求相关系数 XY 。 othersyxyxyxf, 01,0 ,2),(4. 设（设（X, Y）有）有求求EX，EY 和相关系数和相关系数 XY 。 othersxyxyxf, 0| , 10, 1),(第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征作业作业2 2，3 3，4 4，5 5，7 7，8 8，1010，11 11，1414，1515第四章第四章 随机变量数字特征随机变量数字特征车贝雪夫不等式车贝雪夫不等式对任意对任意证明：证明：22

24、222 DXdxxfEXxdxxfEXxdxxfEXXPEXxEXx )()()()()()|(|2)|(|, 0 DXEXXP 用于在没有概率分布用于在没有概率分布情况下估计概率情况下估计概率EX2第四章第四章 随机变量数字特征随机变量数字特征EX = 10, DX = 0.05. P(| X 10 | 0.4) ),(,212= = = =iDXEXii第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理11lim1niniPXn 证明：证明： nnEXnXnEniinii11111222211111nniiiiDXDXnnnnn 由车贝雪夫不等式由车贝雪夫不等式221/111 nX

25、nPnii 11,1niinPXn N N个随机变量的算术个随机变量的算术平均（几乎）趋向平均（几乎）趋向于一个常数于一个常数第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理大数定律大数定律贝努里大数定律贝努里大数定律 设设 nA 是是 n 次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件 A 发生的次数，发生的次数，p 是事件是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意在每次试验中发生的概率，则对任意 有有0 1lim pnnAn证明：设证明：设 X1, X2, 是独立同分布是独立同分布 B( 1, p ) 的随机变量序的随机变量序列，且列，且 EXi = p, DXi = p(1-p) nA

26、XXXn 2111lim1niniPEXpn 第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理大数定律大数定律贝努里大数定律贝努里大数定律 设设 nA 是是 n 次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件 A 发生的次数，发生的次数，p 是事件是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意在每次试验中发生的概率，则对任意 有有0 1lim pnnAn证明：设证明：设 X1, X2, 是独立同分布是独立同分布 B( 1, p ) 的随机变量序的随机变量序列，且列，且 EXi = p, DXi = p(1-p) nAXXXn 21lim1AnnPpn 当试验次数很大时，事件的概当试验次数很大时，

27、事件的概率接近事件发生的频数率接近事件发生的频数第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理中心极限定理中心极限定理独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理 只要只要 n 充分大，独立同分布的随机变量之和就近似服从正态充分大，独立同分布的随机变量之和就近似服从正态分布分布 niinnnNXS12),( 或或)1 , 0( NnnSn 隶莫佛中心极限定理隶莫佛中心极限定理当当 n 充分大时，充分大时，1(,(1)nAniinSXN np npp 第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理例例20个噪声电压在区间个噪声电压在区间 (0, 10) 上服从均匀分布，互

28、上服从均匀分布，互相间独立。求其和大于相间独立。求其和大于 105 的概率近似值。的概率近似值。解：解： 201iiVV2021121005,/,= = = =iDVEVii348038701350010010511051105.).(/)()( VPVP)/,(3500100NV第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理练习练习 掷一枚均匀硬币时，需投掷多少次才能保证正面出现频率掷一枚均匀硬币时，需投掷多少次才能保证正面出现频率在在0.4 至至 0.6 之间的概率不小于之间的概率不小于 90%。解：解：)25. 0 ,5 . 0(201nnNXXnA 9 . 02 . 05 . 05 . 04 . 05 . 05 . 06 . 0)4 . 0()6 . 0()6 .4 . 0()6 . 04 . 0(20nnnnnnnnFnFnnnPnnPAA 67)2 . 0/333. 1(333. 12 . 095. 02 . 02 nnnP