《2022年新北师大版八年级下册第四章教案因式分解 2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年新北师大版八年级下册第四章教案因式分解 2.pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、4.1 因式分解教学目标认知目标：（1）理解因式分解的概念和意义（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系 相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。能力目标： 由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。情感目标： 培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。教学重点：1.理解因式分解的意义. 2.识别分解因式与整式乘法的关系. 教学难点 ：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系. 教学过程1、你能用几种不同的方法计算1002992，哪种方法最简单？请与你的同伴交流。100299
2、2=（100+99） （ 100 99） =199 1 =199 2、你能尝试把a2b2写成整式的积的形式吗？ (a+b)(ab)=a2b2a2b2=(a+b)(ab) (a+b)2=a2+2ab+b2a2+2ab+b2=(a+b)2m(a+b)=am+bmam+bm=m(a+b) 3、定义 （板书）：一般地，把一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。要点 ：1变形对象：多项式 2由和的形式变成积的形式 3几个整式的积4、因式分解与整式乘法有什么关系？因式分解与整式乘法是互逆过程5、下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？(1)22) 12(144xx
3、x(2)1)3(132xxxx(3)1(12xxxx(4) )1(2aaaa（5）9)3(32aaa6、填空（ 1） 3a(a+4) =3a2+12a 3a2+12a = ( )( ); （ 2） (a+3)2=a2+6a+9 a2+6a+9 = ( )( ); （ 3） (2 a)(2+a) = 4a24a2 =( )( ); 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页7、例：检验下列因式分解是否正确：（1）x2yxy2=xy(xy) （2）x2+3x+2=( x+1)(x1) （3）2x21=(2x+1)(2x1) （
4、4）a41=（a2）21=（a2+1） （a21） 8、智力抢答 (1)1012992= (2)872+87 13= (3)5122 51+1= 课堂小结你知道因式分解的定义吗? 你会判别哪些代数式的变形是因式分解吗你知道因式分解与整式的乘法的关系吗? 你会验证因式分解是否正确吗? 你会利用因式分解快速解决某些问题吗? 作业布置：课后反思：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页4.2 提公因式法【教学目标 】认知目标： 在具体情境中认识公因式通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因
5、式法分解因式能力目标：树立学生 “ 化零为整 ” 、“ 化归 ” 的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力。情感目标 ：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。【教学重点、难点】1教学重点 掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。教学难点正确地找出公因式【教学过程 】一、创设情境，提出问题如图，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是 3.7 m,如何计算这块菜园的面积呢？3.8 列式： 3.7 3.8+
6、3.76.2(学生思考后列式) 3.7 有简便算法吗? =3.7 (3.8+6.2) 3.7=3.7 10=37(m2) 在这一过程中 ,把 3.7 换成 m,3.8 换成 a,6.2 换成 b,于是有 : mamb =m(ab) 利用整式乘法验证: m(ab)=ma mb二、观察分析，探究新知让学生观察多项式：ma+mb（让学生说出其特点：都有m，含有两种运算乘法、加法；然后教师规范其特点，从而引出新知。）各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m 叫做这个多项式各项的公因式 。注意 ：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式。又如 ：b 是多项式abb2各项的公因式2xy 是多项式 4x
7、2y6xy2z各项的公因式让学生说出公因式，学生可能会说是2 或者是x 、 y、2x、2y、2xy 等，最后一起确定公因式2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法。三、 独立练习，巩固新知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式）ax+aya（a）5x2y310 x2y（5x2y）24abc9a2b2 （3ab）m2n+mn2 （mn）x(xy)2y(xy) (xy) 说明 :本活动也可以改为寻找公因式游戏如:(根据提供的多项式和整式,寻找出这个多项式的公因式.) ax+aya
8、5x2y310 x2y24abc9a2b2 m2n+mn2 x(xy)2y(xy) a, x, y5xy,5x2y3,5x2y3abc,9ab,3abmn,m2n,mn2 x(xy),y(xy),(xy) 游戏规则 :准备好写有整式和多项式的纸牌,学生分为四组 ,每组选四个同学游戏,其中 3 个同学举一组题中的整式牌 ,第四个根据组员建议寻找出题中的公因式,并说明理由。显然由定义可知，提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法： （可以由学生讨论总结，然后教师进行归纳）公因式的系数应取各项系数的最大公约数 （当系数是整数时）字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂根据分配律，可得
9、m（a+b） =ma+mb 逆变形，使得到ma+mb 的因式分解形式：ma+mb=m（a+b） 这说明多项式 ma+mb 各项都含有的公因式可提到括号外面，将多项式ma+mb 写成 m（ a+b）的形式，这种分解因式的方法叫做 提取公因式法。定义 ：一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法。四、例题教学，运用新知例 1把 3pq3+15p3q 分解因式通过上面的练习，学生会比较容易地找出公因式，所以这一步还是让学生来操作。然后在黑板上正确规范地书写提取公因式法的步骤。事后总结出提取公因式的一般步骤分两步：第一步：找出公因式；第二步：提取公因
10、式解：3pq3+15p3q=3pq q2+3pq 5p2=3pq(q2+5p2) 让学生口答 ：把 2x3+6x2分解因式【学生在探究、交流中能获得一些初步概念和技能，但真正达到掌握知识与技能，还需要教师示范，学生模仿性学习，经过规范化的示范，就能逐步培养学生严谨的思维，正确的计算能力。 】说明 ：应特别强调确定公因式的两个条件,以免漏取 . 刚开始讲 ,最好把公因式单独写出。以显提醒强调提公因式强调因式分解例 2把 4x28ax+2x 分解因式【先让学生自己动手做，暴露他们的错误，然后再进行点评，加深他们的记忆。 】分析 ：找出公因式2x，强调多项式中2x=2x 1解：4x28ax+2x=2
11、x 2x2x 4a+2x 1=2x（2x4a+1）说明 ：当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1 的乘积，提公因式后剩下的应是1。1 作为项的系数通常可省略， 但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏项。这类题常有学生犯下面的错误：4x28ax+2x=2x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页（2x4a）注意 ：提公因式后的项数应与原多项式的项数一样，这样可检查是否漏项。例 3把3ab+6abx9aby 分解因式【让学生自己观察找出此例与前面两例的不同点】他们很快就会发现第一项的系数是“” 的，那么如何转化
12、呢？应先把它转化成前面的情形，便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提“” 号时，教师可适当地引出添括号法则，可谓解决“ 燃尾之急 ” 。添括号法则： 括号前面是 “+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是 “” 号，括到括号里的各项都要变号。课堂练习 ： （巩固添括号法则）解：3ab+6abx9aby=（3ab6abx+9aby） =3ab（12x+3y）说明 ：通过此例可看出应用提取公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则要提出负因数，此时一定要把各项变号。由此总结出提取公因式法的一般步骤。课堂练习 ：【通过纠错题，及时反馈信息，进行点评】例
13、 4探索 ： 2（ab）2a+b 能分解因式吗？还是把问题先交给学生进行小组讨论（四人一小组），鼓励学生进行交流探索。可能有学生会提出好象没有公因式？此时教师可以适当地点拨一下。比如可降低难度改为：2（ab）2（ab） ，然后启发学生如何转化？从而解决问题。解：2（ab）2a+b= 2（ab）2（ab） =（ab） 2（ab）1=（ab） （2a2b1）然后可追加一问：2（ ab）2（ba）3呢？让学生积极思考，讨论回答。注： n 为偶数（ab）n=（ba）nn 为奇数（ab）n= （ba）n【让他们从合作中去感受群体合作的力量，体验展示自我的愉悦。 】指出 ：我们知道代数式里的字母可以表示一
14、个数、一个单项式、一个多项式。此多项式的公因式不明显，但仔细观察可发现，利用添括号法则把a+b 可变形成（a+b） ，若把（ ab）看作 m，原多项式就可以提取公因式ab。【向学生渗透换元思想】【例题 4 培养学生分析问题的能力，优化学生思维品质，让学生区分方法的差异。】五、强化训练，掌握新知把下列各式分解因式2ax+2ayx2yxy2a3+2a2a2mn6m2n2+14m3n3ab2c+2a2b5ac2x（a+b）y（ a+b）a（xa）+b（ax）c（ xa）【让学生上来板演，练习都是针对例题的直接应用，同时可检查学生对提取公因式法的灵活应用。 】精选学习资料 - - - - - - -
15、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页六、变式训练，扩展新知A 组:将下列各式分解因式（1）3（ab）26a+6b （2）0.01x3y+o.2x2yz2（3）利用因式分解计算：22 3.145+53 3.145+31.45 2.5 B 组: 分解因式xaxa1+xa2 七、课堂小结同学们，今天这节课你学会了什么？在学习过程中你有哪些收获？还有什么疑问？课后作业课后反思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页4.3用乘法公式分解因式（1）教学目标1、要求学生理解因式分解的平方差公式的意义
16、2、会将数和式子写成平方的形式，根据平方差公式的特征判断能否利用平方差公式进行因式分解教学重难点教学重点：灵活利用平方差公式分解因式教学难点：与提公因式法结合，灵活利用平方差公式分解因式教学过程一、复习提问：1、公因式的概念、因式分解的概念、提公因式法的概念2、(x+5)(x-5)=_, (a+b)(a-b)_ _; 3、)(5(252xx;)(22baba二、导入新课：把乘法公式（ a+b） （ab）=22ab反过来，就得到22ab=（a+b） （ ab）这个等式有什么特征？（让学生讨论总结特征）三、新课讲解：结合等式的特征可得到：把形式是平方差的多项式可进行分解因式运用平方差公式分解因式的
17、条件是多项式可以写成两个数的平方的形式因此，运用平方差公式分解因式要进行观察，判断所要分解的多项式是否符合平方差公式的特点，即应是二项式，两项都能写成平方的形式且符号相反如把294x分解因式，可以看出它符合平方差公式的特点，先把它写成22(3 )2x的形式，再得出22(3 )2x=（3x+2） （3x2） 例 1、把下列各式分解因式：（1）23625x； （2）22169ab；（3）229()4()abab由（ 3）总结：因式分解所得的每一个整式必须化简练习：把下列各式分解因式：（1）29a；（ 2）2225mn；（3）224()()abac； （4）2236()49()xyxy例 2、如图，
18、大圆的半径为35m，小圆的半径为15m，求圆环的面积3515精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页例 3、把下列各式分解因式：（1）4481xy；（2）42xx； （3）22()()m xam xb； （4）229()4()x abyba；点评： 运用平方差公式因式分解的一般步骤是：（1）还原成平方差的形式（2）运用公式写成两数和与两数差的积的形式（3）分别在括号内合并同类项因式分解的标准：（1）因式之间只存在乘积运算（2）要分解到不能再分解为止练习：把下列各式分解因式：（1）644xx；（2）441681ab；（3）
19、2(1)(1)xbx； （4）2222()()a xyb yx四课堂小结:这节课你学到了什么知识，掌握什么方法？（1）说说因式分解与整式乘法的联系与区别；（2）说说如何用平方差公式分解因式；（3）如何将44yx分解因式？五课后作业六教后反思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页4.3用乘法公式分解因式（2）教学目标（一）教学知识点：1使学生会用完全平方公式分解因式2使学生学习多步骤，多方法的分解因式（二）能力训练要求在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力（三）情感与价值观要求通
20、过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力教学重难点教学重点：让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法教学难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式教学过程一创设问题情境，引入新课我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？在前面我们不仅学习了平方差公式（a+b）（ ab）=a2b2还学习了完全平方公式（a b）2=a2 2ab+b2本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式二新课1.由因式分解和整式乘法的关
21、系，能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2= （a+b）2；a22ab+b2=（ab）2便得到用完全平方公式分解因式的公式2 那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？左边的特点：（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2 倍右边的特点：这两数或两式和（差）的平方用语言叙述为：两个数的平方和加上（或减去）这两数的乘积的2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方形如 a2+2ab+b2或 a2 2ab+b2的式子称为完全平方式由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过
22、来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法二、例题例 1、判断下列各式是否完全平方式：（1）4x34x+1 （2）4x22x+1 （3）4x24x+1 （4）x2x+41（5）92x+132x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页例 2、把下列各式分解因式：（1）4a2+12ab+9b2；（2）x2+4xy4 y2（ 3）3ax2+6axy+3ay2注意以下几点：（1）当两个平方项前面的符号为负时，应先提取“ ” 号，如 x2+4xy4 y2=（ x24 xy+4y2）（2）（ 2）多项式
23、中有公因式的先提取公因式课堂练习把下列各式分解因式：（1）4a24ab+b2；（2）a2b2+8abc+16c2；（3） （x+y）2+6（x+y）+9；（ 4）1442m6mn+n2；（5）4（2a+b）212（2a+b）+9；（6）51x2yx41002y三课堂小结这节课我们学习了用完全平方公式分解因式，它与平方差公式不同之处是：（1）要求多项式有三项（2）其中两项同号， 且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2 倍，符号可正可负同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式四课后作业：五课后反思：精选学习资料 - - - - - - - -
24、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页补充：因式分解之十字相乘法（1）【教学目标】 1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式；2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力；3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质. 【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式. 【教学难点】把x2 + px + q 分解因式时，准确地找出a、b，使 a b = q；a + b = p. 【教学过程】一、复习导入1口答计算结果：(1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x 1)
25、 (3) (x 2)(x+1) (4) (x 2)(x1) (5) (x+2)(x+3) (6) (x+2)(x 3) (7) (x 2)(x+3) (8) (x 2)(x3) 2问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢? 在多项式的乘法中,有 (x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + ab 二、探索新知1、观察与发现: 等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算 . 反过来可得x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b). 等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程
26、将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解 . 2、体会与尝试：试一试因式分解 : x2 + 4x + 3 ；x2 2x 3 将二次三项式x2 + 4x + 3 因式分解， 就需要将二次项x2分解为 x x，常数项 3 分解为 3 1，而且 3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). x +3 x +1 3x + x = 4x 定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 . 拆一拆将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）：6= ；12= ；24= ；-6= ；-12= ； -2
27、4= . 练一练将下列各式用十字相乘法进行因式分解：(1) x2 7x + 12；(2) x2 4x12；(3) x2 + 8x + 12 ；(4) x2 11x12；(5) x2 + 13x + 12 ；(6) x2 x12；探索符号规律,完成填空 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页3、思考与归纳：要将二次三项式x2 + px + q 因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即x2 + px + q = x2+(a + b)x +
28、 ab = (x + a)(x + b). 用十字交叉线表示: x+a x+bax + bx = (a + b)x由于把 x2 + px + q 中的 q 分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解. 三例题举偶. 例 1 把下列各式分解因式：（1）1522xx；（ 2）2265yxyx例 2 把下列各式分解因式：（1）91024xx；（2）；120)8(22)8(222aaaa（3）)(2)()(23yxyxyx点悟：（ 1）把2x看作一整体，从而转化为关于2x的二次三项式；（2）以)8(2aa为整体，转化为关于)8(2aa的二
29、次三项式（3）提取公因式 (xy)后，原式可转化为关于 (xy)的二次三项式；练习：（1）x27x 6 （2）a24a21 （ 2）x2xy 12y2（ 3）x213xy36y2 （5）a2ab12b2 （6）m46m28 （7）x410 x29 (8)242112222xxxx课堂小结： 对二次三项式x2pxq 进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：1掌握方法 : 拆分常数项 ,验证一次项 . 2符号规律 : 当 q0 时， a、b 同号，且 a、 b 的符号与p 的符号相同；当 q0 时， a、b 异号，且绝对值较大的因数与p 的符号相同 . 3. 多项式因式分解的一般步骤可用口诀概括如下
30、：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”课后作业：课后反思：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页十字相乘法 (2) 教学目标1.使学生掌握运用十字相乘法把某些形如cbxax2的二次三项式分解因式；2.进一步培养学生的观察力和思维和敏捷性. 教学重点和难点重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1 的二次三项式分解因式；难点：灵活运用十字相乘法分解因式. 教学过程设计一、导入新课1.把下列各式多分解因式：x2+6x72；(x+y) 28(x+y)+48
31、 ；x47x2+18；x2 10 xy56y2. 我们已经学习了把形如qpxx2的某些二次三项式分解因式，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如qpxx2型的某些多项式分解因式. 2. 在多项式2286yxyx中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于 y 的二次三项式在多项式37222abba中，把 ab看作一个整体，即3)(7)(22abab，就是关于ab 的二次三项式同样，多项式12)(7)(2yxyx，把 xy 看作一个整体，就是关于xy 的二次三项式十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法这节课就来讨论某些形如cbxax2的二次三项式分解因式
32、 . 二、新课讲解例 1 把 2x27x+3 分解因式 . 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下解，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数 )：21 22 1；分解常数项：3=1 3=1 3=( 3) (1)=(1) (3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况：5123132117321112315) 1(23-13-21-1）（7) 3(21-11-23-1）（经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数7. 解 2x27x+3=(x 3)(2x1). 一
33、般地 ，对于二次三项式ax2+bx+c(a 0) ，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把 a1，a2，c1，c2，排列如下：12212211cacacaca精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页按斜线交叉相乘， 再相加，得到 a1c2+a2c1， 若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b， 即 a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与 a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x
34、+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法. 例 2 把 6x27x 5 分解因式 . 分析： 按照例 1 的方法， 分解二次项系数6 及常数项 5，把它们分别排列，可有 8 种不同的排列方法，其中的一种是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解: 6x27x5=(2x+1)(3 x5). 指出：通过例1 和例 2 可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1 的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 例 3 把 5x2+6xy 8y2分解因式 . 分析：这个多项式可以看作是关于x
35、的二次三项式，把8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5 与 8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即625)4(14321解 5x2+6xy8y2=(x+2y)(5x4y). 例 4 把(xy)(2x 2y3)2 分解因式 . 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解. 问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(xy)，它是第一个因式的二倍，然后把(xy)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(xy)的二次三
36、项式，就可以用十字相乘法分解因式了 . 解 (x y)(2x2y3) 2 =(xy)2(x y)32 =2(xy) 23(x y)2=(x y)22(x y)+1 =(xy2)(2x2y+1). 三、课堂练习1.用十字相乘法分解因式：(1)2x25x12；(2)3x25x 2；(3)6x213x+5；(4)7x219x6；(5)12x213x+3；(6)4x2+24x+27. 2.把下列各式分解因式：(1)6x213xy+6y2；(2)8x2y2+6xy35；(3)18x2 21xy+5y2；(4)2(a+b) 2+(a+b)(a b) 6(ab) 2(5)7(x1) 2+4(x1)(y+2)
37、 20(y+2) 2. 四、小结1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c 的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：(1)正确的十字相乘必须满足以下条件：在式子12212211cacacaca中，竖向的两个数必须满足关系a=a1a2，c=c1c2；在上式中，斜向的两个数必须满足3)2(2111221指出：把(xy)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“ 整体 ” 思想方法 . 指出：原式分解为两个关于 x，y 的一次式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页关系 a1c2+a2c1=b. (2)由十字相
38、乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2 是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项 . (3)二次项系数a 一般都把它看作是正数(如果是负数， 则应提出负号， 利用恒等变形把它转化为正数，)只需把它分解成两个正的因数. 2.形如 x2+px+q 的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式. 3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c 的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4. 4.多项式因式分解的一般步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解
39、要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”五、课后作业：六、课后反思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页补充：因式分解之分组分解法教学目标：1. 理解分组分解法的概念和意义；2. 掌握分组分解法中使用“ 二二 ” 、 “ 一三 ” 分组的不同体型的解题方法；3. 渗透化归数学思想和局部与整体的思想方法. 教学重点 ：1.分组分解法中筛选合理的分组方案，掌握分组的规律与方法；2. 综合运用提公因式法和公式法完成因式分解. 教学难点 ：分组分解法中筛选合理的分组方案，掌握分组的规律与方法. 教学过程：一、课程引入：我们已
40、经学习了在分解因式中，根据项数的不同选择不同的分解方法，比如公式法，十字相乘法，当然，分解的前提是如果有公因式，通常首先提取公因式，我们来看这样一道题：分解因式：acabayax二、探索尝试1. 如果把上面的式子改成bybxayax，还能用刚刚我们回顾的方法来分解因式吗？归纳：（ 1）分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。）使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时， 必须有预见性。 能预见到下一步能继续分解。而 “ 预见 ” 源于细致的 “ 观察 ” ，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。（2）分组分解法适用于四项或者四项以上的多项式三、例题举偶1.按字
41、母特征分组：（1）1abba（ 2）bcacaba22.按系数特征分组：（1）xxyyx21372（2）bdbcadac3623.按指数特点分组：（1）baba62922（2）yyxx24224.按公式特点分类：（1）2222cbaba（2）2229124cbcba总结规律1.合理分组（ 2+2 型）； 2.组内分解（提公因式，平方差公式）；3.组间再分解（整体提因式）4.如果一个多想中有三项式一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般选用 “ 三一 ” 分组的方法进行分组分解，因此在分组分过程中要特别注意符号的变化。例 1. 把多项式2422 (1)1a aaaa分解因式，所得的结果
42、为_ 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底. 例 2. 分解因式54321xxxxx分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把xxxxx54321和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把xx54，xxx321和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。2. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足acbcaba2,222求证：以a、b、 c为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“ 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”222222222020()0()()000a
43、cbacaaccbacbacbacbacbacbacbacbabcabcabcababc证明：，即又，即以 、 、 为三边能构成三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页3. 在方程中的应用例：求方程xyxy的整数解分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x 与 y，故可考虑借助因式分解求解解：xyxyxyxyxyxyx yyyxx yxyxy01111111111111111即是整数或()()()(),xyxy0022或中考点拨例 1.分解因式：1222mnmn_。说明：观察此题是四
44、项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。例 2分解因式：xyxy22_ 说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。例 3. （ 2001北京昌平）分解因式：xxx323412_ 解：xxx323412xxx324312x xxxxx()()()()()22434322说明：分组的目的是能够继续分解。题型展示例 1. 分解因式：mnmnn222141()解：mnmnn222141()m nmmnnm nmnmmnnmnmnmnmnmnmn222222222241212111()()()(
45、)()()说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn 分成 2mn 和 2mn，配成完全平方和平方差公式。例 2. 已知：2222110abcdac bd，且，求 ab+cd 的值。22222222222211()()()()()()() ()a bc da bc da bcdc daba b ca b dc d ac d ba b cc d ba b dc d ab ca cb da db da ca cb db ca d解：acbd00原式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页说明：首先要充
46、分利用已知条件abcd222211，中的 1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd 因式乘积的形式，由ac+bd=0 可算出结果。例 3. 分解因式：xx323分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1 时，它的值为0，这就意味着xxx1233是的一个因式，因此变形的目的是凑x1这个因式。解一（拆项）：xxxxx3332333223112113222()()()()()xxxx xxxx解二（添项）：xxxxxxxxxxxxx332222232311313()()()()()说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？练习：1. 填空题：（ ）分解因式：（）分解因式：（ ）分解因式：13322444311222233aabbxxxyyymnmnm n()2. 已知：abcaa cabcb cb03223，求的值。3. 分解因式：15aa；4. 已知：xyzAx y zxyzxy xz A2223330， 是一个关于的一次多项式，且, ,()()，试求 A 的表达式。5. 证明：222(2 )(2) (1)(1) (1)a baba babab课后作业：课后反思：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页