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1、第六章实数6.1.1 平方根第一课时【教学目标】知识与技能：通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；教学重点：算术平方根的概念和求法。教学难点：算术平方根的求法。教学方法 : 自主探究、启发引导、小组合作【教学过程】一、情境引入：问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为225dm的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？二、探索归纳：1.探索：学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为dm5。接下来教师可以再深入地引导此问题：如果正方形的面积分别是1、9、 16、3
2、6、254，那么正方形的边长分别是多少呢？学生会求出边长分别是1、3、4、6、52，接下来教师可以引导性地提问：上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。2.归纳：算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a，即 x2=a 那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根。算术平方根的表示方法：a 的算术平方根记为a，读作“根号a”或“二次很号a” ， a叫做被开方数。三、应用：求下列各数的算术平方根：10064499710001.00解：因为,100102所以100的算术平方根是10，即
3、10100；因为6449)87(2，所以6449的算术平方根是87，即876449；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页因为916)34(,9169712，所以971的算术平方根是34，即34916971；因为0001.001.02，所以0001.0的算术平方根是01.0，即01.00001.0；因为002，所以0的算术平方根是0，即00。注：根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算；求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解；0 的算术平方根是0。由此例题教师可以引导学生思考如下
4、问题：你能求出 1,36,100 的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？归纳：一个正数的算术平方根有1 个； 0 的算术平方根是0；负数没有算术平方根。即：只有非负数有算术平方根，如果ax有意义，那么0,0 xa。注：0a且0a这一点对于初学者不太容易理解，教师不要强求，可以在以后的教学中慢慢渗透。求下列各式的值：（1）4（2）8149（3）2)11(（ 4）26分析：此题本质还是求几个非负数的算术平方根。解： （1）24（2）978149（3）1111)11(22（4）662求下列各数的算术平方根：23342)10(6101解： (1)因为932，所以3932；因为238644，所以8
5、6443；因为2210100)10(，所以10100)10(2；因为63101101，所以36101101。根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结：1、由332，662，可得)0(2aaa2、由11)11(2，10)10(2，可得)0(2aaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 27 页教师需强调0a时对两种情况都成立。四、随堂练习：1、算术平方根等于本身的数有。2、求下列各式的值：1，259，25，2)7(3、求下列各数的算术平方根：0025.0，121，24，2)21(，16914、已知, 011ba求ba2的值。五
6、、课堂小结1、这节课学习了什么呢？2、算术平方根的具体意义是怎么样的？3、怎样求一个正数的算术平方根？六、布置作业课本第 75 页习题 13.1 第 1、2 题教学反思本节课是本章的第一节课，主要是要建立算术平方根的概念为了使学生体会引入算术平方根的必要性，感受新数（无理数）的产生是实际生活和科学技术发展的需要，也为了激发学生的学习热情， 所以章前图的学习不要省略能使学生理解引人算术平方根符号的必要性，明确有些正数的算术平方根不能容易地求得，为下节课的学习做准备6.1.2 平方根第 2 课时【教学目标】知识与技能：会用计算器求算术平方根；了解无限不循环小数的特点；会用算术平方根的知识解决实际问
7、题。过程与方法：通过折纸认识第一个无理数2，并通过估计它的大小认识无限不循环小数的特点。用计算器计算算术平方根，使学生了解利用计算器可以求出任意一个正数的算术平方根，再通过一些特殊的例子找出一些数的算术平方根的规律，最后让学生感受算术平方根在实际生活中的应用。情感态度与价值观：通过探究2的大小，培养学生的估算意识，了解两个方向无限逼近的数学思想，并且锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。教学重点：认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页会用算术平方根的知识解
8、决实际问题。教学难点：认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。教学方法 : 自主探究、启发引导、小组合作教学过程：一、通过实验引入：怎样用两个面积为1 的小正方形拼成一个面积为2 的大正方形？如图， 把两个小正方形沿对角线剪开，将所得的4 个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为 2 的大正方形。你知道这个大正方形的边长是多少吗？设大正方形的边长为x，则22x，由算术平方根的意义可知2x，所以大正方形的边长为2。二、讨论2的大小：由上面的实验我们认识了2，它的大小是多少呢？它所表示的数有什么特征呢？下面我们讨论2的大小。因为, 42, 112221222，所以122. 因为96.14
9、.12，25.25 .12，所以4.125.1。因为9881.141.12，0164.242.12，所以41.1242.1因为999396.1414.12，002225.2415.12，所以414.12415.1,如此进行下去，我们发现它的小数位数无限，且小数部分不循环，像这样的数我们成为无限不循环小数。2=41421356.1,注：这种估算体现了两个方向向中间无限逼近的数学思想，学生第一次接触，不好理解，教师在讲解时速度要放慢，可能需要讲两遍。2=41421356.1, ，是个无限不循环小数，但是很抽象， 没有办法全部表示出来它的大小，类似这样的数还有很多，比如7,5,3等，圆周率 也是一个
10、无限不循环小数。三、用计算器求算术平方根：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页大多数计算器都有“”键，用它可以求出一个有理数的算术平方根或近似值。用计算器求下列各式的值：3136) 1(；2)2(（精确到)001.0解： （1）依次按键3136，显示： 56.所以563136（2）依次按键2=，显示：414213562.1，这是一个近似值。所以.414.12注：不同品牌的计算器，按键的顺序可能有所不同。四、探索规律：（1）利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？0625. 0625. 025. 65.
11、62625625062500(2)用计算器计算3（结果保留4 个有效数字），并利用你发现的规律写出03.0，300，30000的近似值。你能根据3的值求出30的值吗？学生通过计算器可求出（1）的答案，依次是：250,1 .79,25,91.7 ,5 .2,791.0 ,25.0。从运算结果可以发现，被开方数扩大或缩小100 倍时，它的算术平方根就扩大或缩小10 倍。由732.13可得2 .17330000,32.17300,1732. 003.0， 由3的值不能求出30的值，因为规律是被开方数扩大或缩小100 倍时，它的算术平方根才扩大或缩小10 倍，而 3 到 30 扩大的是10 倍，所以不
12、能由此规律求出。此题学生可独立完成。五、实际应用：例 1、小丽想用一块面积为2400cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为2300cm的长方形纸片，使它的长与宽之比为3：2，不知道能否裁出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。”你同意小明的说法吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？分析：学生一般认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。通过计算和讲解纠正这种错误的认识。解：设长方形纸片的长为xcm3，宽为xcm2。根据边长与面积的关系可得：30023xx，30062x，502x，50 x长方形纸片的长为cm503。因为5049，所
13、以507，从而50321即长方形纸片的长应该大于cm21，而已知正方形纸片的边长只有cm20，这样长方形纸片精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页的长将大于正方形纸片的边长。答：不能同意小明的说法。小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。六、随堂练习：1.用计算器求下列各式的值：（1）1369（2）2036.101（3）5（精确到01.0）2、估计大小：（1）140与12（2）215与5.03、已知414.12，求02.0，0002. 0，200，20000的值。七、课堂小结1、被开方数增大或缩小时，其相应的
14、算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值；2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值；3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？4、怎样的数是无限不循环小数？八、布置作业课本第 75 页习题 13.1 第 3、 5 题教学反思：本节课首先提出“2有多大”的问题，这是一个学生关注的具有挑战性的问题，也是说明引入算术平方根必要性的好问题（如果算术平方根都可以像完全平方数的算术平方根那样求得，恐怕就没有必要花那么多的精力来学习算术平方根了），所以教学中要引起重视解决这个问题的过程体现了“数学中的无限逼近的思想”并使学生体
15、验“无限不循环”小数的特点（学生对无限的体会没有障碍，但对不循环会因计算实际的局限无法体会，是本节课的一个疑点，教师可适当说明，不要深究）6.1.3 平方根第三课时【教学目标】知识与技能了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根；了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根过程与方法通过学习平方根， 进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。 通过对正数平方根特点的探究，了解平方根与算术平方根的区别和联系，体验类比、化归等问题解决数学思想方法的运用，提高学生对问题的迁移能力。情感、态度与价值观通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。通过探究活动培养动手能
16、力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。教学重点 : 了解开方和乘方互为逆运算，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页教学难点 :平方根与算术平方根的区别和联系。教学方法 : 自主探究、启发引导、小组合作教学过程一、情境导入如果一个数的平方等于9，这个数是多少？讨论：这样的数有两个，它们是3 和 3.注意932中括号的作用又如：2542x，则 x 等于多少呢？二、探索归纳：1、平方根的概念： 如果一个数的平方等于a， 那么这个数就叫做a 的平方根 即：如果2x=a，那么 x
17、 叫做 a 的平方根求一个数的平方根的运算，叫做开平方例如：3 的平方等于9，9 的平方根是3，所以平方与开平方互为逆运算2、观察：课本P73 的图 14.1-2. 图 14.1-2 中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质并根据这个关系说出1,4,9 的平方根例 4 求下列各数的平方根。（1） 100 （2）169（3） 0.25 3、按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数有平方根吗？一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，符号：正数a 的算
18、术平方根可用a表示；正数a的负的平方根可用 -a表示例 5 求下列各式的值。（1）144， （2）81.0， （3）196121（4）256，256归纳： 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。三、练习课本 P75 小练习 1、2、3 四、小结：1、什么叫做一个数的平方根？2、正数、 0、负数的平方根有什么规律？3、怎样求出一个数的平方根？数a 的平方怎样表示？五、作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
19、 - -第 7 页，共 27 页P75-76 习题 13.1 第 4、7、 8 题。教学反思本课主要是在算术平方根的基础上建立平方根的概念，要以等式x2=a 和已有算术平方根概念为基础， 并使学生明确平方根与算术平方根之间的联系与区别，把握了这些平方根的有关概念，正数、零、负数的平方根的规律也就不难掌握了6.2 立方根【教学目标】知识与技能：了解立方根的概念和表示方法，并会求一个数的立方根；会用计算器求一个数的立方根。过程与方法：从具体的计算出发归纳出立方根的概念，然后讨论立方与开立方的关系，研究立方根的特征，最后介绍实用计算器求立方根的方法。情感态度与价值观：通过探索立方根的特征，培养学生独
20、立思考和小组交流的能力；通过立方根与平方根的比较使学生学会类比学习的数学思想；通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，可以将求负数的立方根转化为求正数的立方根的问题，培养学生的转化思想。教学重点：立方根的概念和求法教学难点：立方根的求法。教学过程：一、情景引入：要制作一种容积为327m的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？二、探索归纳：1.探索：设这种包装箱的边长为xm，则273x，这就是要求一个数，使它的立方等于27. 因为2733，所以3x，即这种包装箱的边长应为m3。2.归纳：立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。立方根的
21、表示方法：如果ax3，那么x叫做a的立方根。记作3ax，3a读作三次根号a。其中a是被开方数， 3 是根指数，3a中的根指数3 不能省略。开立方的概念：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 开立方与立方互为逆运算，可以根据这种关系求一个数的立方根。3、探索立方根的特点：根据立方根的意义填空，思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？（1）因为823，所以 8 的立方根是（） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页（2）因为(125.0)3，所以125.0的立方根是（） ；（3）因为(0)3，所以 0 的立方根是（） ；
22、（4）因为(8)3，所以8的立方根是（） ；（5）因为(278)3，所以278的立方根是（） 。学生独立完成后，教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点。归纳：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是0. 4.探究互为相反数的两个数的立方根的关系：填空：因为38，38，所以3838；因为327，327，所以327327由上面两个例子可归纳出：一般地，33aa。注：这个关系对于正数、负数、零都成立。求负数的立方根时，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再确它的相反数。三、应用：求下列各式的值：（1）364（2）3125（3）36427分析：根据立方根的意义求解。
23、解： （1）4643（2）51253（3）4364273求下列各式中x的值：（1）008.03x（2）8333x（3）8) 1(3x分析：此题的本质还是求立方根。解： （1）008.03x3008.0 x2.0 x（2）8333x8273x23x（3）8) 1(3x21x3x例 3、用计算器计算3310，3610，3910，3310，3610的值，你发现了什么？并总结出来。利用你前面发现的规律填空：已知62163，则3000216.0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页3216000。分析：在用计算器求立方根时按键
24、顺序是：3、被开立方的数字、=，这样即可显示出计算结果解：101033，2361010，3391010，1331010，2361010由此发现：一个数扩大或缩小1000 倍时，它的立方根扩大或缩小10 倍。3000216.006.0，602160003。四、随堂练习：立方根等于本身的数是，如果,113aa则a。2、64的立方根是，3)4(的立方根是。3、已知163x的立方根是4，求42x的算术平方根。4、已知43x，求33)10(x的值。5、比较大小： （1）32.131.2， （2）332343， （3）337五、课堂小结1.立方根和开立方的定义2.正数、 0、负数的立方根的特征3.立方根与
25、平方根的异同六、布置作业课本第 172 页习题 10.2 第 1、3、5、6 题；教学反思：我将本节课定位为探究式教学活动，通过对教材进行适当的整合，让学生带着原有的知识背景、生活体验和理解走进学习活动，并通过自己的主动探索，与同学交流、反思等，构建对知识的形成和运用。突出以学生的“数学活动”为主线，激发学生学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，获得广泛的数学活动经验。这样的安排符合掌握知识与发展思维、能力相统一的原则、教师的主导作用与学生的主体作用相结合的原则。精选学习资料 - - - - - -
26、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页6.3.1 实数第一课时【教学目标】知识与技能：了解无理数和实数的概念以及实数的分类；知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。过程与方法：在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类，接着把无理数在数轴上表示出来，从而得到实数与数轴上的点是一一对应的关系。情感态度与价值观：通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用；敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。教学重点：了解无理数和实数的概念；对实数进行分类。教学难点：对无理数的认识。【教学过程】一
27、、复习引入无理数：利用计算器把下列有理数95,119,847,53,3写成小数的形式，它们有什么特征？发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式即：5.095,18.0119,875.5847,6.053,0.33归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数，把无限不循环小数叫做无理数。比如33,5,2等都是无理数。14159265.3, 也是无理数。二、实数及其分类：1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数。2、实数的分类：按照定义分
28、类如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 27 页O A C B 实数数）无理数（无限不循环小小数）（有限小数或无限循环分数整数有理数按照正负分类如下：实数负无理数负有理数负实数零负无理数正有理数正实数3、实数与数轴上点的关系：我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。物理是合乎是否也可以用数轴上的点表示出来吗？活动 1：直径为 1 个单位长度的圆其周长为，把这个圆放在数轴上，圆从原点沿数轴向右滚动一周， 圆上的一点由原点到达另一个点，这个点的坐标就是，由此我们把无理数 用数轴上的点表示了出来。活动 2：在数轴上，以一
29、个单位长度为边长画一个正方形，则其对角线的长度就是2以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示2，与负半轴的交点就是2。事实上通过这种做法，我们可以把每一个无理数都在数轴上表示出来，即数轴上有些点表示无理数。归纳：实数与数轴上的点是一一对应的。即没一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。三、应用：例 1、下列实数中，无理数有哪些？2，172，37.0，14.3，35，0，11121211211121.10，2)4(。解：无理数有：2，35，注：带根号的数不一定是无理数，比如
30、2)4(，它其实是有理数4；无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数。比如11121211211121.10。例 2、把无理数5在数轴上表示出来。分析：类比2的表示方法，我们需要构造出长度为5的线段，从而以它为半径画弧，与精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 27 页,有理数集合无理数集合数轴正半轴的交点就表示5。解：如图所示，, 1,2 ABOA由勾股定理可知：5OB,以原点O为圆心，以OB长度为半径画弧，与数轴的正半轴交于点C,则点C就表示5。四、随堂练习：1、判断下列说法是否正确：无限小数都是无理数；无理数都
31、是无限小数；带根号的数都是无理数；所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数；所有实数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有的点都表示实数。2、把下列各数分别填在相应的集合里：,7221415926.3，7，8，32，6.0，0，36，3，313113111.0。3、比较下列各组实数的大小：4，15（2），1416.3（1）（3）23,23（4）33,22五、课堂小结1、无理数、实数的意义及实数的分类. 2、实数与数轴的对应关系. 六、布置作业P86-87 习题 13.3 第 1、2、 3 题；教学反思：关于无理数的认识是非常抽象的，只要求学生了解无理数和
32、实数的意义即可，学生对实数的认识是逐步加深的，以后还要讨论，所以本节课不易过难，教师要把握好难度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 27 页6.3.2 实数第二课时【教学目标】知识与技能：掌握实数的相反数和绝对值；掌握实数的运算律和运算性质. 过程与方法：通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识。情感态度与价值观：通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分
33、感受数的不断发展。教学重点：会求实数的相反数和绝对值；会进行实数的加减法运算；会进行实数的近似计算。教学难点：认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充。【教学过程】一、复习引入：有理数的一些概念和运算性质运算律：1、相反数：有理数a的相反数是a。2、绝对值：当a0 时，aa，当a0 时，aa。3、运算律和运算性质：有理数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0） 、乘方、非负数的开平方、任意数的开立方运算，有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律。二、实数的运算：1.实数的相反数：数a的相反数是a。2.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是0.
34、 3、实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0） 、乘方、非负实数的开方运算，还有任意实数的开立方运算，在进行实数的运算中，交换律、结合律、分配律等运算性质也适用。三、应用：例 1、 （1）求364的绝对值和相反数；（2）已知一个数的绝对值是3，求这个数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 27 页解： （1）因为4643，所以44643，4)4(643（2）因为33,33，所以绝对值为3的数是3或3。例 2、计算下列各式的值：（1）2)23(；（2）3233。分析：运用加法的结合律和分配律。解： （1）303)2_2(
35、32)23(；（2）353)23(3233例 3、计算：（1）5（精确到01.0）（2）23（结果保留3 个有效数字）解： （1）38. 5142.3236.25；（2）45.2414.1732. 123。四、随堂练习：1、计算：（1）2624；（2）)23(3；（3）3253；（4）23)54(198。2、计算：（1）322（精确到0.01） ；（2）34225、（精确到十分位） 。3、在平面内有四个点，它们的坐标分别是)2, 2(),2, 5(),22, 5(),22,2(DCBA。（1）依次连接DCBA、，围成的四边形是一个什么图形？（2）求这个四边形的面积。（3）将这个四边形向下平移2
36、个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？五、课堂小结1、实数的运算法则及运算律。2、实数的相反数和绝对值的意义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 27 页六、布置作业课本 P87 习题 14.3 第 4、5、6、7 题；教学反思：当数的范围由有理数扩充到实数后有理数的概念和运算（包括运算律和运算性质）在实数范围内仍然成立。教学时要注意突出这种早数的扩充中体现出来的一致性；同时， 教学中也要注意， 随着数的范围的不断扩大，在扩大的数的范围内可以解决更多的问题，这一点在以后的教学中会更加充分的体现。本章复习本章的知识网络结构：知识
37、梳理一数的开方主要知识点：【1】平方根：1.如果一个数x 的平方等于a，那么，这个数x 就叫做 a 的平方根；也即，当)0(2aax时，我们称x 是 a的平方根，记做：)0(aax。因此：2.当 a=0 时，它的平方根只有一个，也就是0 本身；3.当 a 0 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：ax。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页当 a0 时，也即a为负数时，它不存在平方根。例 1. （1）的平方是 64，所以 64 的平方根是；（2）的平方根是它本身。（3）若x的平方根是2
38、，则 x= ；16的平方根是（4）当 x 时，x23有意义。（5）一个正数的平方根分别是m 和 m-4，则 m 的值是多少？这个正数是多少？【算术平方根】 ：1.如果一个正数x 的平方等于a，即ax2，那么，这个正数x 就叫做 a 的算术平方根，记为： “a” ，读作， “根号 a” ，其中， a称为被开方数。特别规定：0 的算术平方根仍然为0。2.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0 aa。3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a
39、。例 2. （1）下列说法正确的是（）A1 的立方根是1B24C.81的平方根是3D.0 没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A.981B.14. 314. 3C.3927D.235（3）2)3(的算术平方根是。（4）若xx有意义，则1x_。（5）已知 ABC 的三边分别是,cba且ba,满足0)4(32ba，求 c 的取值范围。（6）已知： A=yxyx3是3yx的算术平方根，B=322yxyx是yx2的立方根。求 AB 的平方根。（7） （提高题）如果x、 y 分别是 43 的整数部分和小数部分。求x y 的值 . 【立方根】1.如果 x 的立方等于a，那么，就称x 是 a的立方根，或者
40、三次方根。记做：3a，读作， 3次根号 a。注意： 这里的 3 表示的是开根的次数。一般的， 平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。2.平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是， 并不是每个数都精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页有平方根，只有非负数才能有平方根。例 3. （1）64 的立方根是（2）若9.28,89. 233aba，则 b 等于（）A. 1000000B. 1000C. 10 D. 10000 （ 3）下列说法中：3都是27 的立方根，yy3
41、3，64的立方根是2，4832。其中正确的有（）A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个【无理数】1.无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等； （2）开方开不尽的数，如:39,5,2等； （3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01 （两个 1 之间依次多1 个 0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：2. 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无
42、限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1 的分数），而无理数则不能写成分数形式。例 4.（1）下列各数：3.141、 0.33333, 、75、 、252.、32、0.3030003000003, （相邻两个3 之间 0 的个数逐次增加2） 、其中是有理数的有；是无理数的有。（填序号）（2）有五个数 :0.125125,0.1010010001,-,4,32其中无理数有( )个A 2 B 3 C 4 D 5 【实数】1.有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。2.实数的性质：实数a 的相
43、反数是-a；实数a 的倒数是a1（ a 0） ；实数a 的绝对值|a|=)0()0(aaaa，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。3.实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0 大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。 （在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页4.实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算
44、。运算法则和运算顺序与有理数的一致。例 5. （1）下列说法正确的是（） ；A、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；C、1 和 2 之间的无理数只有2；D、不带根号的数都是有理数。（2）a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( ) A、baB、abC、baD、ab（3）比较大小 (填“ ”或“ 0，则 ab=1； （）2把下列各数分别填入相应的集合里|3|，213， 1234，227,0，9 ,318, 2,8 , (2 3 )0，32，ctg45,1.2121121112 中无理数集合负分数集合整数集合非负数集合*3已知 1x2 ，则 |x3|+(1-
45、x)2 等于（）（A） 2x（B）2（C）2x（D） 2 4下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？3, 2 1， 3， 0 3，31，1 +2 ，313互为相反数：互为倒数：互为负倒数：*5已知、是实数，且（x2 ）2 和 2互为相反数，求，y 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 27 页6.,b 互为相反数， c,d 互为倒数， m 的绝对值是2，求|a+b|2m2+1+4m-3cd= 。*7已知（ 3） 2 24a+20，求 = 。三、解题指导：1下列语句正确的是（）（A）无尽小数都是无理数（B
46、）无理数都是无尽小数（C）带拫号的数都是无理数（D）不带拫号的数一定不是无理数。2和数轴上的点一一对应的数是（）（A）整数（ B）有理数（C）无理数（D）实数3零是（）最小的有理数（B）绝对值最小的实数（C）最小的自然数（D）最小的整数4.如果 a 是实数，下列四种说法：（1） 2 和都是正数， （2），那么一定是负数，（3）的倒数是1a， （4）和的两个分别在原点的两侧，几个是正确的（）（A）0（B）1（C）2（D）3 *5比较下列各组数的大小：3445(2) 323 12 (3)ab0 时 , 1a1b6若 a,b 满足|4-a2|+ a+ba+2=0,则2a+3ba的值是*7实数 a,b
47、,c 在数轴上的对应点如图，其中O 是原点，且 |a|=|c| 判定 a+b,a+c,c-b 的符号化简 |a|-|a+b|+|a+c|+|c-b| *8数轴上点A 表示数 1，若 AB3，则点 B 所表示的数为9已知 x0，且 y|x|，用 连结 x， x， |y|，y。10最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？11绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？12把下列语句译成式子：（1）a 是负数； （2）a、b 两数异号； （3）a、b 互为相反数；（4）a、b 互为倒数；(5)x 与 y 的平方和是非负数；（6）c、d 两数中至少有
48、一个为零； （7） a、b 两数均不为0。*13. 数轴上作出表示2 ，3 ，5 的点。四独立训练：10 的相反数是，3的相反数是，38 的相反数是； 的绝对值是，0的绝对值是，2 3 的倒数是2数轴上表示32 的点它离开原点的距离是。A 表示的数是12，且 AB 13，则点 B 表示的数是。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 27 页333 ,(12 )o,227,01313,3-1 ,1101001000,( 两1 之间依次多一个0), 中无理数有，整数有，负数有。4. 若 a 的相反数是27，则 a|；5若 |a|2
49、 ，则 a= 5若实数x，y 满足等式（ x3） 2 4y 0，则 xy 的值是6实数可分为（）（A）正数和零（B）有理数和无理数（C）负数和零（D）正数和负数*7若 2a与 1 a互为相反数，则a等于（）（A）1（B） 1（C）12（D）138当 a 为实数时，a2 =a 在数轴上对应的点在（）(A) 原点右侧（ B）原点左侧（ C）原点或原点的右侧（D）原点或原点左侧*9代数式的所有可能的值有（）（A）2 个（B）3 个（C）4 个（D）无数个10已知实数a、b 在数轴上对应点的位置如图（1）比较 ab 与 a+b 的大小（2）化简 |ba|+|a+b| 11实数、在数轴上的对应点如图所示
50、，其中试化简：2*12 已知等腰三角形一边长为，一边长，且（2） 2 9 2 0 。求它的周长。13若 3， 5 为三角形三边，化简：（ 2） 2 （ 8）2 课外训练：1、 297的平方根是；125 的立方根是 _;2)4(的算术平方根是；36的平方根是；327= ；327的平方根是；64的立方根是；16的平方根是；如果a的平方根是3，则 a= 。2、 若41x，则化简22)1()4(xx的结果是 _ 3、 大于2小于5的所有整数的和是。4.有如下命题：负数没有立方根；一个实数的立方根不是正数就是负数；一个正数或负数的立方根与这个数同号；如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1 或0.