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1、高中数学常用公式及结论大全（ 1）自然数集N（2）正整数集N*或 N+： （3）整数集 Z： （4）有理数集Q：包含分数、整数、有限小数等（5）实数集R： （1）传递性：若BA，CB，则CA（2）空 集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集 .6、含有n个元素的集合, 它的子集个数共有2n个；真子集有2n1 个；非空子集有2n1 个( 即不计空集 ) ；非空的真子集有2n2 个. 88、充要条件（1）若pq，则p是q充分条件，q是p必要条件 . （2）若pq，且qp，则p是q充要条件 . 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 90、四种命题：原命题：若p，则 q 逆命题：
2、若q，则 p 否命题：若p，则 q 逆否命题：若q，则 p 注意：（1）原命题与逆否命题同真同假，但逆命题的真假与否命题之间没有关系；（2） p 是指命题P的否定，注意区别“否命题”。例如命题P： “若0a，则0b” ，那么 P 的“否命题”是：“若0a，则0b” ，而 p 是： “若0a，则0b” 。91、全称命题：含有“任意”、 “所有”等全称量词（记为）的命题，如P：0)1( ,2xRx特称命题：含有“存在”、 “有些”等存在量词（记为）的命题，如q：1,2xRx注：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如上述命题p 和 q 的否定： p：0) 1( ,2mRm，q：1,2
3、xRx11、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）（1）奇函数满足)()(xfxf， 奇函数的图象关于原点对称；（2）偶函数满足)()(xfxf，偶函数的图象关于y 轴对称；注：具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称;若奇函数在原点有定义,则0)0(f12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑）当21xx时，都有)()(21xfxf，则)(xf在该区间上是增函数，图象从左到右上升；当21xx时，都有)()(21xfxf，则)(xf在该区间上是减函数，图象从左到右下降。13、一元二次方程20axbxc(0)a（1）求根公式 :aacbbx2422, 1（2）判别式：acb42（3）0时方程有两个不
4、等实根；0时方程有一个实根；0时方程无实根。（4）根与系数的关系韦达定理:abxx21，acxx2114、二次函数：一般式cbxaxy2(0)a；两根式)(21xxxxay(0)a（ 1）顶点坐标为24(,)24bacbaa； （ 2）对称轴方程为：x=ab2；（ 3）当0a时，图象是开口向上的抛物线，在x=ab2处取得最小值abac442当0a时，图象是开口向下的抛物线，在x=ab2处取得最大值abac442（ 4）二次函数图象与x轴的交点个数和判别式的关系：x y 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页0时，有
5、两个交点；0时，有一个交点（即顶点）；0时，无交点。15、函数的零点使0)(xf的实数0 x叫做函数的零点。例如10 x是函数1)(2xxf的一个零点。注：函数xfy有零点函数xfy的图象与x 轴有交点方程0 xf有实根16、函数零点的判定：如果函数xfy在区间ba,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf。 那么，函数xfy在区间ba,内有零点，即存在0,cfbac使得。86、解不等式（ 1） 、含有绝对值的不等式当 a 0时，有22xaxaaxa. 小于取中间 22xaxaxa或xa. 大于取两边 (2)、解一元二次不等式)0( , 02acbxax的步骤：求判别式acb42
6、000求一元二次方程的解：两相异实根一个实根没有实根画二次函数cbxaxy2的图象结合图象写出解集02cbxax解集12xxxxx或abxx2R 02cbxax解集21xxxx注：02cbxax)0(a解集为 R 02cbxax对Rx恒成立0（ 3）高次不等式：数轴标根法(奇穿偶回，大于取上，小于取下) （ 4）分式不等式：先移项通分，化一边为0，再将除变乘，化为整式不等式，求解。如解分式不等式11xx：先移项;011xx通分; 0)1(xxx再除变乘0)12(xx，解出。17、分数指数幂（0,am nN，且1n）（ 1）nmnmaa. 如233xx；(2)nmnmnmaaa11. 如2331
7、xx； （3）()nnaa；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页（ 4）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a. 18、有理指数幂的运算性质（Qsra, 0）（1）srsraaa；（2）rssraa )(；（3）rrrbaab)(19、指数函数xay（0a且1a） ，其中x是自变量，a叫做底数，定义域是R 若Nab，则叫做以为底N的对数。记作：bNalog（1,0 aa，0N）其中，a叫做对数的底数，N叫做对数的真数。对数函数xyalog（0a，且1a） ：其中，x是自变量，a叫做底数，
8、定义域是),0(注：指数式与对数式的互化公式：logbaNbaN(0,1,0)aaN（ 1）零和负数没有对数，即Nalog中0N；（ 2）1 的对数等于0，即01loga；底数的对数等于1，即1log aa24、对数的运算性质（a0，a1，M 0，N0）(1)log ()loglogaaaMNMN; (2) logloglogaaaMMNN; (3)loglog()naaMnM nR（注意公式的逆用）NaNalog25、对数的换底公式logloglogmamNNa (0a, 且1a,0m,且1m,0N). 推论或1loglogabba；loglogmnaanbbm. 26、28、幂函数xy（R
9、） ，其中x是自变量。要求掌握3, 2, 1 ,21, 1这五种情况 ( 如下图 ) 1a10a图像性质定义域： (0, ) 值域： R 过定点（ 1，0）增函数减函数取值范围0 x1 时， y1 时， y0 0 x0 x1 时， y0 1a10a图象性质（1）定义域： R （2）值域：（0，+）（3）过定点（ 0，1） ，即 x=0 时， y=1 （4）在 R 上是增函数（4）在 R 上是减函数21-22321321-22xy1xy2xyxy3xy1 1 1 1 1 1 y 0 1 x 0 x x y 0 1 x y 0 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
10、 - - - - - -第 3 页，共 10 页29、幂函数xy的性质及图象变化规律：（）所有幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1） ；（）当0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在区间),0上是增函数（）当0 时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数导数的几何意义：)(0/xf表示曲线)(xf在0 xx处的切线的斜率k；96、几种常见函数的导数(1) 0C（C为常数） . (2) )()(1Qnnxxnn. (3) xxcos)(sin. (4) xxsin)(cos. (5)xx1)(ln；aaaxxln)( (6) xxee )(;. （7）21)1(xx导数的运算法则（1）
11、()uvuv. （2）()uvuvuv. （ 3）2()(0)uu vuvvvv. 在某个区间（a , b）内，如果0)( xf，那么函数)(xfy在这单调递增，如果0)( xf；单调减。99、判别)(0 xf是极大（小）值的方法(1) 求导)(xf；（2）令)(xf=0，解方程，求出所有实根0 x（ 3）列表，判断每一个根0 x左右两侧)( xf的正负情况：如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极大值；如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极小值 . 100、求函数在闭区间a , b上的最值的步骤：（1）求函数)(xf的所有极值；（2）
12、求闭区间端点函数值)(),(bfaf；（3）将各极值与)(),(bfaf比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值。注意：（1）无论是极值还是最值，都是函数值，即)(0 xf，千万不能写成导数值)(0/xf。（2）若在某区间内只有一个极值，则不用与端点比较也知道这个极值就是函数的最值。103、常用不等式：（ 1）重要不等式 : 若,a bR，则222abab( 当且仅当a b 时取“ =”号) （ 2）基本不等式 : 若0,0 ba，则abba2 ( 当且仅当ab 时取“ =”号 ) 基本不等式的适用原则可口诀表示为：一正、二定、三相等当ab为定值时，ba有最小值，简称“积定和最小”当ba为定值
13、时，ab有最大值，简称“和定积最大”线性规划：（ 1）一条直线将平面分为三部分（如图）：（ 2）不等式0CByAx表示直线0CByAx极大值极小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页某一侧的平面区域，1先画出边界直线2 再运用“同正异负”口诀判断区域所在位置。验证方法：取原点（0，0）代入不等式，若不等式成立，则平面区域在原点所在的一侧。假如直线恰好经过原点，则取其它点来验证，例如取点（1， 0） 。（ 3）线性规划求最值问题：一般情况可以求出平面区域各个顶点的坐标，代入目标函数z，最大的为最大值。：h底柱SV，锥体
14、体积：h锥底S31V球表面积公式：24 RS球，球体积公式：334RV（上述四个公式不要求记忆）35、直线与平面平行：判定平面外一条直线与此平面内的一直线平行，则该直线与此平面平行。性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。36、平面与平面平行：判定若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。性质如果两个平面平行，则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行。如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们交线平行。37、直线与平面垂直：判定一条直线与一个平面内的两相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。性质垂直于同一平面的两条直线平行。两平行直
15、线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。38、平面与平面垂直：判定一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。（2）O为ABC的重心（各边中线的交点）. 重心将中线分成2：1 的两段 (1) 过2211,yxByxA两点的直线，斜率1212xxyyk， （21xx）（3）曲线)(xfy在点（),00yx处的切线，其斜率)(0 xfk41、直线位置关系：已知两直线222111:,:bxkylbxkyl，则1/2121212121kkllbbkkll且特殊情况：（1）当21,kk都不存在时，21/ ll； （2）当1k不
16、存在而02k时，21ll42、直线的五种方程：点斜式11()yyk xx( 直线l过点),(11yx，斜率为k)斜截式ykxb (直线l在y轴上的截距为b，斜率为k). 两点式112121yyxxyyxx ( 直线过两点),(11yx与),(22yx). 截距式1byax（ba,分别是直线在x 轴和 y 轴上的截距，均不为0）一般式0AxByC(其中 A、B 不同时为0)；可化为斜截式：BCxBAy43、 （1）平面上两点),(),(2211yxByxA间的距离公式：|AB|=221221)()(yyxx（ 2）空间两点),(),(222111zyxBzyxA距离公式 |AB|=2212212
17、21)()()(zzyyxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页（ 3）点到直线的距离0022|AxByCdAB(点00(,)P xy，直线l：0AxByC). 44、两条平行直线0A1CByx与0A2CByx间的距离公式：2221BACCd注：求直线0ACByx的平行线，可设平行线为0AmByx，求出m即得。圆的一般方程220 xyDxEyF. 其中圆心为)2,2(ED，半径为2422FEDr，其中224DEF0 48、直线与圆相交于),(),(2211yxByxA两点，求弦AB长度的公式： （1）222|drAB
18、（2）2122124)(1|xxxxkAB（结合韦达定理使用） ，其中k是直线的斜率（ 1）频率分布直方图（注意其纵坐标是“频率/组距）组距极差组数，样本容量频数频率，频率组距频率组距小矩形面积。（ 2）数字特征众数：一组数据中，出现次数最多的数。中位数：一组数从小到大排列，最中间的那个数（若最中间有两个数，则取其平均数）。57、互斥事件概念：在一次随机事件中，不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件（如图1） 。如果事件A、B 是互斥事件，则P（A+B ）=P（A）+P（ B）58、对立事件（如图2） ：指两个事件不可能同时发生，但必有一个发生。对立事件性质：P（A）+P（A）=1，其中A表示
19、事件A 的对立事件。59、古典概型是最简单的随机试验模型，古典概型有两个特征：（ 1）基本事件个数是有限的；（ 2）各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同60、设一试验有n 个等可能的基本事件，而事件A 恰包含其中的m 个基本事件，则事件A 的概率 P(A) 公式为基本事件的总数包含的基本事件的个数AAP= 62、终边相同角构成的集合：Zkk,2|63、弧度计算公式：rl64、扇形面积公式：22121rlrS(为弧度 ) 65、三角函数的定义：已知yxP,是的终边上除原点外的任一点则xyrxrytancossin，, 其中222yxr66、三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四
20、余弦0 643223345623sin0 1222321 3222120 -1 nmB A 图 1 A B 图（ 2）y P(x,y) )x r 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页cos1 3222120 -12-22-32-1 0 tan0 331 3不存在-3-1 -330 不存在68、同角三角函数的关系：cossintan, 1cossin2269、和角与差角公式：二倍角公式：sin()sincoscossin; cossin22sincos()coscossinsin; 222sin21sincos2cos
21、tantantan()1tantan. 22tantan21tan70、诱导公式记忆口诀：奇变偶不变,符号看象限；其中，奇偶是指2的个数 ,符号参考第66 条. tan2tancos2cossin2sinkkktantancoscossinsintantancoscossinsintantancoscossinsincos)2sin(sin)2cos(cos)2sin(sin)2cos(71 、 辅 助 角 公 式 ：sincosab=22sin()ab( 辅 助 角所 在 象 限 与 点( , )a b的 象 限 相 同 , 且tanba ). 主要在求周期、单调性、最值时运用。如)6sin
22、(2cossin3xxxy72、半角公式 ( 降幂公式 ) ：2cos12sin2，2cos12cos273、三角函数)sin(xAy的性质（0,0A）（ 1）最小正周期2T；振幅为A；频率Tf1；相位：x；初相：；值域：,AA；对称轴：由kx2解得x；对称中心：由kx解得x组成的点)0,(x（ 2）图象平移：x左加右减、y上加下减。例如：向左平移1 个单位，解析式变为) 1(sinxAy向下平移3 个单位，解析式变为3)sin( xAy（ 3）函数tan()yx的最小正周期T. 74、正弦定理：在一个三角形中，各边与对应角正弦的比相等。RCcBbAa2sinsinsin(R 是三角形外接圆半
23、径) 75、余弦定理：.cos2,cos2,cos2222222222CabbacBcaacbAbccba推论.2c o s,2c o s,2c o s222222222abcbaCcabacBbcacbA1cos22A B C abc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页76、三角形的面积公式：.sin21sin21sin21SABCAbcBacCab77、三角函数的图象与性质和性质三角函数xysinxycosxytan图象定义域),(),()2,2(kk值域-1，1 -1 ，1 ),(最大值kx22，1maxykx
24、2，1maxy最小值kx22，1minykx2，1miny周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性Zk在22,22kk上是增函数在2,2kk上是增函数在)22,2(kk上都是增函数在223,22kk上是减函数在2,2kk上是减函数78、向量的三角形法则： 79、向量的平行四边形法则：80、平面向量的坐标运算: 设向量 a=11(,)xy, 向量 b=22(,)xy（1）加法 a+b=1212(,)xxyy. （2）减法 a-b=1212(,)xxyy. （3）数乘a=),(),(1111yxyx（4）数量积ab=|a| b|cos =2121yyxx，其中是这两个向量的夹角（5）已知两点A11(
25、,)x y，B22(,)xy，则向量2121(,)ABOBOAxx yy. 81、向量 a=( , )x y的模： | a|=222)(yxaaa，即22|aa82、两向量的夹角公式121222221122cosx xy ya ba bxyxy83、向量的平行与垂直（b0）a| b b =a 12210 x yx y. 记法：a=11(,)x y, b=22(,)xyab ab=0 12120 x xy y.记法 ： a =11(,)x y, b=22(,)xy84、数列前 n 项和与通项公式的关系: .2; 111nSSnSannn，( 数列na的前 n 项的和为12nnsaaa).85、等
26、差、等比数列公式对比y x 0 21 -1 2-y x 0 21 -1 2-2x y 0 223-2a a+b b a b b-a a b a+b 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页Nn等差数列等比数列定义式daann1qaann1 (0q) 通项公式及推广公式dmnaadnaamnn11mnmnnnqaaqaa11中项公式若,a A b成等差，则2Aba若,a G b成等比，则2Gab运算性质若2mnpqr，则2nmpqraaaaa若2mnpqr，则2nmpqra aa aa前 n 项和公式dnnnaaanSnn
27、21211.1111, 1111qqqaaqqaqnaSnnn，一个性质232,mmmmmSSSSS成等差数列232,mmmmmSSSSS成等比数列椭圆标准方程：焦点在x 轴:12222byax)0(ba；焦点在 y 轴:12222bxay)0(ba；长轴长 =a2，短轴长 =2b 焦距： 2c 恒等式：a2-b2=c2离心率：ace双曲线定义：若F1， F2是两定点，aPFPF221（a为常数），则动点P 的轨迹是双曲线。图形：如图标准方程：焦点在 x 轴:12222byax)0,0(ba焦点在 y 轴:12222bxay)0,0(ba实轴长 =a2，虚轴长 =2b，焦距： 2c 恒等式：a
28、2+b2=c2离心率：ace渐近线方程：当焦点在x 轴时，渐近线方程为xaby；当焦点在y 轴时，渐近线方程为xbay等轴双曲线：当ba时，双曲线称为等轴双曲线，可设为22yx。94、抛物线定义：到定点F 距离与到定直线l的距离相等的点M 的轨迹是抛物线（如左下图MF=MH ） 。图形：F)0,2(p准线F M H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页方程)0( ,22ppxy22, (0 )yp xp22, (0 )xp yp22, (0 )xp yp焦点：F)0,2(pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2p准
29、线方程：2px2px2py2py注意：几何特征：焦点到顶点的距离=2p；焦点到准线的距离=p；101、复数zabi，其中a叫做实部，b叫做虚部(1) 复数的相等,abicdiac bd. （, , ,a b c dR）(2) 当 a=0,b 0 时,z=bi为纯虚数 ; (4) 复数 z 的共轭复数是biaz(5) 复数zabi的模|z=22ab. (3) 乘：()()()()abicdiacbdbcad i; 类似多项式相乘(4) 除：)()(dicdicdicbiadicbia（分子、分母乘分母共轭复数，此法称为“分母实数化”）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页