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1、第 1 页 共 12 页绝密启用前2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效4.保持
2、卡面清洁，不折叠，不破损5.作选考题时， 考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑参考公式 : 样本数据1x,2x,nx的标准差222121nsxxxxxxn其中x为样本平均数柱体体积公式VSh其中S为底面积，h为高一、填空题：本大题共1 小题，每小题5 分，共 70 分1.cos6fxx的最小正周期为5，其中0，则= 2一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率3.11ii表示为abi,a bR，则ab= 4.A=2137xxx，则 A Z 的元素的个数5.a，b的夹角为120，1a，3b则5ab锥体体积公式13VSh其中S为底面积，h为高球的表面积、体积公式2
3、4SR，343VR其中 R 为球的半径名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 12 页6.在平面直角坐标系xoy中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域， 向 D 中随机投一点， 则所投的点落入E 中的概率是 7.某地区为了解70-80 岁老人的日平均睡眠时间（单位：h） ，随即选择了50 为老人进行调查，下表是这 50
4、 为老人日睡眠时间的频率分布表。序号（i）分组（睡眠时间）组中值（Gi）频数（人数）频率（Fi）1 4，5 4.5 6 0.12 2 5，6 5.5 10 0.20 3 6，7 6.5 20 0.40 4 7，8 7.5 10 0.20 5 8，9 8.5 4 0.08 在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值是。8.设直线12yxb是曲线ln0yx x的一条切线，则实数b9 在平面直角坐标系xOy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点 P（0，p）在线段 AO 上的一点 （异于端点） ，设 a,b,c, p 均为非零实数，
5、直线 BP,CP 分别与边AC , AB 交于点E、F ，某同学已正确求得OE 的方程：11110 xybcpa，请你完成直线OF 的方程：（）110 xypa. 10将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 按照以上排列的规律，数阵中第n 行（ n 3）从左向右的第3 个数为11.已知, ,x y zR，满足230 xyz，则2yxz的最小值是12.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2222xyab1( ab0)的焦距为 2c，以点 O 为圆心，a为半径作圆M，若过点P 2,0ac所作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为e
6、= 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 12 页13满足条件AB=2, AC=2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是14.设函数331fxaxx（xR） ，若对于任意1,1x，都有fx0 成立，则实数a= 二、解答题： 本大题共6 小题， 共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15如图，在平面直角坐标系xOy 中，以 Ox 轴为始边做
7、两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A、B 两点， 已知 A、B 的横坐标分别为2 2 5,105（）求tan()的值；（）求2的值16如图，在四面体ABCD 中， CB= CD, AD BD，点 E 、F 分别是 AB 、BD 的中点，求证：（）直线EF 平面 ACD ；（）平面EFC平面 BCD 17如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD 的区域上（含边界），且与 A、B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO,BO,OP ，
8、设排污管道的总长为ykm（）按下列要求写出函数关系式：设 BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式；设 OPx(km) ，将y表示成x的函数关系式（）请你选用（）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短18设平面直角坐标系xoy中，设二次函数22fxxxb xR的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C（）求实数b 的取值范围；（）求圆C 的方程；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - -
9、 - - - - - 第 4 页 共 12 页（）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论19.（）设12,na aa是各项均不为零的等差数列（4n） ，且公差0d，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：当 n =4 时，求1ad的数值；求n的所有可能值；（）求证：对于一个给定的正整数n(n 4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,nb bb，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列20.若113xpfx，2223xpfx，12,xR pp为常数，函数f (x)定义为：对每个给定的实数 x，112212,fxfxfxfxfxfxfx（）求1fx
10、fx对所有实数x 成立的充要条件（用12,pp表示） ；（）设,a b为两实数， 满足ab， 且12,pp, a b,若f afb， 求证：fx在区间,a b上的单调增区间的长度之和为2ba（闭区间,m n的长度定义为nm） 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 12 页2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、填空题：本大题共1 小题，每小题5 分，共 70
11、 分1. 【答案】 10 【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T2 【答案】112【解析】本小题考查古典概型基本事件共66 个，点数和为4 的有 (1,3)、(2,2)、(3,1)共 3 个，故316612P3. 【答案】 1 【解析】本小题考查复数的除法运算21112iiii，a0，b 1，因此1ab4. 【答案】 0 【解析】 本小题考查集合的运算和解一元二次不等式由2(1)37xx得2580 xx,0，集合A 为，因此 A Z 的元素不存在5. 【答案】 7 【解析】本小题考查向量的线性运算2222552510ababaa bb=22125110 1 33492，5ab7 6.
12、 【答案】16【解析】 本小题考查古典概型如图：区域 D 表示边长为4 的正方形的内部 （含边界），区域 E 表示单位圆及其内部，因此214416P7. 【答案】 6.42 8. 【答案】 ln21 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 6 页 共 12 页【解析】 本小题考查导数的几何意义、切线的求法1yx，令112x得2x，故切点（2，ln2） ，代入直线方程，得，所以bln219【答案】1
13、1cb【解析】本小题考查直线方程的求法画草图，由对称性可猜想填11cb事实上，由截距式可得直线 AB ：1xyba，直线 CP：1xycp，两式相减得11110 xybcpa，显然直线AB 与 CP 的交点 F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程10 【答案】262nn【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式前n1 行共有正整数1 2（ n 1）个，即22nn个，因此第n 行第 3 个数是全体正整数中第22nn3 个，即为262nn11. 【答案】 3 【解析】本小题考查二元基本不等式的运用由230 xyz得32xzy，代入2yxz得229666344xzxzxz
14、xzxzxz，当且仅当x3z时取“”12. 【答案】22【解析】设切线PA、 PB 互相垂直，又半径OA 垂直于 PA，所以 OAP 是等腰直角三角形，故22aac，解得22cea13 【答案】2 2【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想设BCx，则 AC2x，根据面积公式得ABCS=21sin1cos2AB BCBxB，根据余弦定理得名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 7 页
15、 共 12 页2222242cos24ABBCACxxBAB BCx244xx，代入上式得ABCS=2221281241416xxxx由三角形三边关系有2222xxxx解得2 22222x，故当2 2x时取得ABCS最大值2 214. 【答案】 4 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用若x 0，则不论a取何值，fx 0显然成立；当x0 即1,1x时，331fxaxx0 可化为，2331axx设2331g xxx， 则431 2 xgxx， 所以g x在区间10,2上单调递增， 在区间1,12上单调递减，因此max142g xg，从而a4；当 x0 即1,0时，331fxaxx 0可化为a23
16、31xx，43 12xgxx0g x在区间1,0上单调递增，因此ma14ng xg，从而a 4，综上a4 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式解：由已知条件及三角函数的定义可知，22 5cos,cos105，因为,为锐角，所以sin=7 25,sin105因此1tan7,tan2（） tan()= tantan31tantan名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共
17、 12 页 - - - - - - - - - 第 8 页 共 12 页（）22 tan4tan21tan3，所以tantan2tan211tantan2,为锐角，3022，2=3416 【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定解： （）E,F 分别是 AB,BD 的中点，EF 是 ABD 的中位线，EFAD ，EF面 ACD ，AD面 ACD ，直线EF面 ACD （）AD BD ，EFAD ，EFBD. CB=CD, F 是 BD 的中点， CFBD. 又 EFCF=F， BD面 EFC BD面 BCD ，面 EFC面 BCD 17 【解析】本小题主要考查函数最值的应用
18、解：（）延长PO 交AB 于点Q，由条件知PQ 垂直平分AB ，若 BAO=(rad) ，则10coscosAQOA, 故10cosOB，又 OP10 10tan1010ta，所以10101010tancoscosyOAOBOP，所求函数关系式为2010sin10cosy04若 OP=x(km) ，则 OQ10 x，所以 OA =OB=222101020200 xxx所求函数关系式为2220200 010yxxxx（）选择函数模型，2210coscos2010sin10 2sin1coscossiny令y0 得 sin 12，因为04，所以=6，当0,6时，0y，y是的减函数；当,64时，0y
19、，y是的增函数，所名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 9 页 共 12 页以当=6时，min10 10 3y。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边10 33km 处。18 【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法解： （）令x0，得抛物线与y轴交点是（ 0，b） ；令220fxxxb，由题意b0 且0，解得 b1 且 b0（）设所求圆的一般方程为2x20yDxEy
20、F令y0 得20 xDxF这与22xxb0 是同一个方程，故D2，Fb令x0 得2yEy0，此方程有一个根为b，代入得出E b1所以圆 C 的方程为222(1)0 xyxbyb. （）圆 C 必过定点（ 0，1）和（ 2，1） 证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边0212 20（ b1） b0，右边 0，所以圆 C 必过定点（ 0，1） 同理可证圆C 必过定点（ 2， 1） 19.【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查运用分类讨论的思想方法进行探索分析及论证的能力，满分16 分。解： 首先证明一个“基本事实”：一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差
21、d0=0 事实上，设这个数列中的连续三项a-d0,a,d+d0成等比数列，则a2=(d-d0)(a+d0) 由此得 d0=0 （1） (i) 当 n=4 时, 由于数列的公差d0,故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a2或 a3若删去2a，则由 a1,a3,a4成等比数列，得(a1+2d)2=a1(a1+3d) 因 d0，故由上式得a1= 4d，即da1=4，此时数列为4d, 3d, 2d, d，满足题设。若删去a3，则由 a1,a2,a4成等比数列，得(a1+d)2=a1(a1+3d) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选
22、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 10 页 共 12 页因 d0，故由上式得a1=d，即da1=1，此时数列为d, 2d, 3d, 4d，满足题设。综上可知，da1的值为 4 或 1。(ii)若 n6，则从满足题设的数列a1,a2, ,an中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a1,a2, ,an的公差必为 0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数n5，又因题设n4，故 n=4 或 5. 当 n=4 时，由（ i）中的讨论
23、知存在满足题设的数列。当 n=5 时，若存在满足题设的数列a1,a2,a3,a4,a5，则由“基本事实”知，删去的项只能是a3，从而 a1,a2,a4,a5成等比数列，故(a1+d)2=a1(a1+3d) 及(a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d) 分别化简上述两个等式，得a1d=d2及 a1d=5d,故 d=0，矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列。综上可知， n 只能为 4. （2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的 n 项等差数列b1,b1+ d, ， b1+(n-1) d(b1 d 0) ，其中三项b1+m1 d,b1+m2 d ,b1+m3 d成等比数列，这里0m
24、1m2m3n-1，则有(b1+m2 d)2=(b1+m1 d )(b1+m3 d) 化简得(m1+m3-2m2)b1 d=(22m-m1m3) d2 (*) 由 b1 d 0 知， m1+m3-2m2与22m-m1m3或同时为零，或均不为零。若 m1+m3-2m2=0 且22m-m1m3=0，则有231)2(mm-m1m3=0，即(m1-m3)2=0，得 m1=m3，从而 m1=m2=m3，矛盾。因此， m1+m3-2m2与22m-m1m3都不为零，故由（* ）得231312212dmmmmmmb因为 m1，m2，m3均为非负整数，所以上式右边为有理数，从而1db是一个有理数。于是，对于任意的
25、正整数n4, 只要取1db为无理数，则相应的数列b1,b2, ,bn就是满足要求的数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 11 页 共 12 页列，例如 ,取 b1=1, d=2，那么， n项数列 1,1+2,1+22, ,1 (1) 2n满足要求。20.【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用（）1fxfx恒成立12fxfx1232 3xpxp123log 233x
26、pxp1232xpxplog（* ）因为121212xpxpxpxppp所以，故只需12pp32log（*）恒成立综上所述，1fxfx对所有实数成立的充要条件是：12pp32log（） 1 如果12pp32log，则的图像关于直线1xp对称因为fafb，所以区间,a b关于直线1xp对称因为减区间为1,a p，增区间为1,p b，所以单调增区间的长度和为2ba2 如果12pp32log. （1）当12pp32log时.111113,3,xppxxp bfxxa p，2323log 222log 223,3,xppxxp bfxxa p当1,xp b，213log2102331,ppfxfx因为
27、120,0fxfx，所以12fxfx，故1fxfx=13xp当2,xa p，123log2102331,ppfxfx因为120,0fxfx，所以12fxfx故2fxfx=23log 23px因为fafb，所以231log 233pabp，所以123log 2,bppa即123log 2abpp名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 12 页 共 12 页当21,xpp时，令12fxfx，则231
28、log 233xppx，所以123log 22ppx，当1232log 2,2ppxp时，12fxfx，所以2fxfx=23log 23xp1231log 2,2ppxp时，12fxfx，所以1fxfx=13pxfx在区间,a b上的单调增区间的长度和12312log 22ppbpp=123log 2222ppabbabb（2）当21pp32log时.111113,3,xppxxp bfxxa p，2323log 222log 223,3,xppxxp bfxxa p当2,xp b，213log 2102331,ppfxfx因为120,0fxfx，所以12fxfx，故2fxfx=23log 2
29、3xp当1,xa p，123log 2102331,ppfxfx因为120,0fxfx，所以12fxfx故1fxfx=13px因为fafb，所以231log 233bppa，所以123log 2abpp当12,xpp时，令12fxfx，则231log 233pxxp，所以123log 22ppx，当1231log 2,2ppxp时，12fxfx，所以1fxfx=13xp1231log 2,2ppxp时，12fxfx，所以2fxfx=23log 23pxfx在区间,a b上的单调增区间的长度和12321log 22ppbpp=123log 2222ppabbabb综上得fx在区间,a b上的单调增区间的长度和为2ba名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -