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1、学习必备欢迎下载函数的最大值和最小值教学设计 作者简介廖维猛1998 年 6 月于湖南科技大学数学教育专业本科毕业，同年 7 月参加教育工作至今； 20XX 年 8 月湖南师范大学教育管理硕士结业。1998 年到 20XX 年担任从初中一年级至高中三年级的数学教学，现一至从事高三数学教学。发表论文有：199911 论文架好新旧知识的桥梁省二等奖；20008 论文浅谈十字交叉法的引入国家一级论文；20017 论文含绝对值函数作图的几种策略公开发表；20017 著作高中数理化公式定理定律手册公开销售；20027 论文曲线（直线）恒过定点技巧解法市三等奖；200310 获雷锋学校青年教师素质比武综合
2、一等奖承担课题有：参与市级课题分层设问分组探究已揭题；组织省级重点课题高中数学应用问题实验设计与研究进行中。 教学设计函数的最大值和最小值【教学目标 】一、理解函数的最大（小）值的意义，掌握利用导数求函数最大（小）值的方法；并能解决一些实际问题；二、加深对导数意义的认识，提高分析问题和解决问题的能力；三、数学应用于实践，推动社会不断进步，激发学习动力，学会数学地思考；四、体验数学应用广泛性，培养学好数学的信念。【教学重点难点】一、利用导数求函数最值的方法。二、求一些实际问题的最大值与最小值。【教具使用】 CAI 课件、多媒体辅助教学【课时安排】 1 课时【教学过程】一、设置情境，引入课题：观察
3、下面一个定义在区间a ， b 上的函数f(x) 的图像。（如图 1）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载我们知道， 图中 f(x1) 与 f(x2) 是极小值， f(0) 是极大值。 在解决实际问题时，往往关心的是函数在指定区间上，哪个值最大？哪个值最小？从图中可以看出，函数在a ，b 上的最大值是f(b )，最小值是f(x2) 。二、新课探究1 函数最值的概念。定义：可导函数f(x
4、) 在闭区间a ，b 上所有点处的函数值中的最大（或最小）值，叫做函数f(x) 的最大（或最小）值。一般地，在闭区间上连续的函数f(x) 在a ，b 上必有最大值与最小会值。注：在开区间（a，b）内连续的函数f(x) 不一定有最大值与最小值。例如f(x)=1/ x在（ 0，+）内连续，但没有最大值与最小值。2 求可导函数f(x) 在a ，b 上最大值、最小值的方法。结合上图的例子不难看出，只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大（最小）值了。例 1 （教材 P137 例 1）求函数42( )25f xxx在区间 2，2 上的最大值与最小值。解：y=4x3-4x 。令
5、y=0，有 4x3-4x=0 ，解得： x=1,0,1 当 x 变化时，y，y 的变化情况如下表：x2 ( 2,1) 1 ( 1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y0 + 0 0 + y 13 4 5 4 13 从上表可以看出，最大值是13，最小值是4。 （如图 2） 。【解题回顾】设函数 f(x)在a ，b 上连续，在（ a，b）内可导，求f(x)在a ，b 上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f(x) 在（a，b）内的极值；（2）将f(x) 的各极值与f( a)，f( b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。对应练习 ： （P138 练习） 求下列函数在所给区间上
6、的最大值与最小值。（1）y=xx3, x0,2；（2）y=x3+x2x, x 2,1 。参考答案：（1）y最大值=239， y最小值=6； （2）y最大值=1，y最小值=2。【解题回顾】在求导数在闭区间a ，b 上最值过程中，判断极值比较麻烦，可改求可导函数在（ a， b）内导数为0 点函数值，再把这些值与函数在端点的值比较即可。例 2 （教材 P138 例 2）在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图3） ，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时？箱子容积最大？最大容积是多少？解：设箱底边长为x，则箱高h=60-x/2 名师归纳总结 精品学习资料 -
7、- - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载箱子容积V(x)=x2h=(60 x2x3)/2 (0 x,60) V (x)=60 x 3x2/2 令V (x)=0 解得：x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16 000 由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000 是最大值。答：当 x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3。【解题回顾】1求最大（最小）值应
8、用问题的一般方法：（1）分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，并建立函数关系式，这是关键一步；（2）确定函数的定义域，并求出极值点；（3）比较各极值与定义域端点函数值的大小，结合实际问题， 确定最大值或最小值点。2在实际问题中，有时会遇到在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值。这时所说的也适用于开区间或无穷区间。对应练习 ： （教材 P139 例 3）本章引言中的问题。圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？（如图 4）解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2Rh+
9、2 R2由 V=R2h，得 h=2VR，则S(R)= 2 R2VR+ 2 R2=2VR+2 R2令S(R)=22VR+4 R=0 解得， R=32V从而 h=2VR=23()2VV=34V=23V即h=2R 因为只有一个极值，所以它是最小值。答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省。三、反馈练习：1 函数3226187yxxx在 3，4 上的最小值为（ D ） A、 64 B、 51 C、 56 D、 61 2 函数24yxxx在上的最大值为（ B ） A、2+22 B、4 C、2 D、5 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选
10、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载3函数( )sincosf xxx在,22x时的最大、最小值分别是2,1。4教材 P139 练习 1、2。四、课堂小结：（1）利用导数求函数最值的关键是可导函数极值的判定；（2）若连续函数在闭区间上只有一个导数为0 的点，且在这一点有极值，则该极值就是函数在上的最值。 ；（3）导数应用的主要内容之一就是求实际问题的最值，其关键是分清各量间的关系，建立目标函数，在判断函数极值的基础一就可以确定出函数的最值情况。五、作业布置：P140 习题 3.9 15。六、教学流程设 置 情 境引 入 课新课探究概 念 教 学方 法 归知识应用练习巩固课堂小结名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -