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1、 - 1 - 2018年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷1 理科数学 本试题卷共6页23题含选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项 1、本试卷分为第卷选择题和第II卷非选择题两部分.第卷1至3页第II卷3至5页. 2、答题前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置. 3、全部答案在答题卡上完成答在本试题上无效. 4、考试结束后将本试题和答题卡一并上交。 第卷 一、选择题本大题共12小题每小题5分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1.设121izii则z A. 0 B. 12 C. 1 D. 2 解析2(1)22izii所以|z|1故答案为C.
2、 2. 已知集合220Axxx则RCA A. 12xx B. 12xx C.2|1|xxxx D.2|1|xxxx 解析由220xx得(1)(2)0xx所以2x或1x所以RCA12xx故答案为B. 3. 某地区经过一年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得- 2 - 到如下饼图 则下列结论中丌正确的是 A. 新农村建设后种植收入减少 B. 新农村建设后其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后养殖收入不第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析由已知条件经过一
3、年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番37%274%所以尽管种植收入所占的比例小了但比以往的收入却是增加了.故答案为A. 4. 设nS为等差数列na的前n项和若3243SSS12a则5a A. 12 B. 10 C. 10 D. 12 解析由3243sss得3221433(32=2242222ddd即3(63)127dd所以3d52410ad 52410ad故答案为B. 5. 设函数321fxxaxax若fx为奇函数则曲线yfx在点0,0处的切线方程为 A. 2yx B. yx C. 2yx D. yx 解析由fx为奇函数得1a2()31,fxx所以切线的方程为yx.故答案为D. 6.
4、 在ABC中AD为BC边上的中线E为AD的中点则EB - 3 - A.ACAB4143 B. ACAB4341 C.ACAB4143 D.ACAB4341 解析 11131()22244EBABAEABADABABACABAC故答案为A. 7.某圆柱的高为2底面周长为16其三视图如右图. 圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B则在此圆柱侧面上从M到N的路径中最短路径的长度为 A. 172 B.52 C. 3 D. 2 解析如图画出圆柱的侧面展开图在展开图中线段MN的长度52即为最短长度故答案为B. 8.设抛物线xyC4:2的焦点为F过点0,2且斜率为32的
5、直线不C交于NM,两点则FNFM A. 5 B.6 C. 7 D. 8 解析联立直线与抛物线的方程得M(12),N(4,4)所以FNFM8故答案为D. 9.已知函数,0,ln,0,xexfxxxgxfxxa.若gx存在2个零点则a的取值范围是 A.1,0 B.0, C.1, D.1, 解析()()gxfxxa存在2个零点即()yfx与yxa有两个交点)(xf的图象如M N 2 4 - 4 - 图要使得yxa与)(xf有两个交点则有1a即1a故答案为 C. 10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC直角边ACAB,.ABC的
6、三边所围成的区域记为黑色部分记为其余部分记为在整个图形中随机取一点此点取自,的概率分别记为321,ppp则 A. 21pp B.31pp C. 32pp D. 321ppp 解析取2ABAC,则22BC 区域的面积为112222S区域的面积为231(2)222S 区域的面积为22312SS故12pp.故答案为A. 11.已知双曲线13:22yxCO为坐标原点F为C的右焦点过F的直线不C的两条渐近线的交点分别为NM,.若OMN为直角三角形则MN A. 23 B. 3 C. 32 D. 4 解析渐近线方程为2203xy即33yxOMN为直角三角形假设2ONM如图3NMk直线MN方程为3(2)yx.
7、联立333(2)yxyx33(,)22N即3ON3MON3MN故答案为B. 12. 已知正方体的棱长为1每条棱所在的直线不平面所成的角都相等则截此正方体所得截面面积的最大值为 - 5 - A. 433 B. 332 C.423 D. 23 解析由于截面与每条棱所成的角都相等所以平面中存在平面与平面11ABD平行如图而在与平面11ABD平行的所有平面中面积最大的为由各棱的中点构成的截面EFGHMN而平面EFGHMN的面积122333622224S.故答案为A. 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)(21)题为必考题每个试题考生都必须作答.第(22)(23)题为选考题考生根据要求作答
8、. 二、填空题本题共4小题每小题5分. 13.若xy满足约束条件220100xyxyy则32zxy的最大值为_. 解析 画出可行域如图所示可知目标函数过点(2,0)时取得最大值max32206z. 故答案为6. 14.记nS为数列na的前n项和若21nnSa则6S_. 解析由已知得1121,21,nnnnSaSa作差得12nnaa所以na为公比为2的等比数列- 6 - 又因为11121aSa所以11a所以12nna所以661(12)6312S故答案为-63. 15.从2位女生4位男生中选3人参加科技比赛且至少有1位女生入选则丌同的选法共有_种。用数字填写答案 解析分2类 恰有1位女生有1224
9、12CC种 恰有2位女生有21244CC种不同的选法共有12416种. 故答案为16. 16.已知函数2sinsin2fxxx则fx的最小值是_. 解析()2sinsin2fxxx()fx最小正周期为2T2()2(coscos2)2(2coscos1)fxxxxx令()0fx即22coscos10xx1cos2x或cos1x. 当1cos2为函数的极小值点即3x或53x, 当cos1,xx 53()332f.3()332f(0)(2)0ff()0f ()fx最小值为332. 故答案为332. 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17本小题满分12分 在平面四边形ABCD中90A
10、DC45A2AB5BD. 1求cosADB 2若22DC求BC. - 7 - 解1在ABD中由正弦定理得52sin45sinADB,2sin5ADB, 90ADB,223cos1sin5ADBADB. 22ADBBDC,coscos()sin2BDCADBADBcoscos()sin2BDCADBADB,222cos2DCBDBCBDCBDDC,2282552522BC.5BC. 18本小题满分12分 如图四边形ABCD为正方形,EF分别为,ADBC的中点以DF为折痕把DFC折起使点C到达点P的位置且PFBF. 1证明平面PEF平面ABFD 2求DP不平面ABFD所成角的正弦值. 解1,EF分
11、别为,ADBC的中点则/EFABEFBF又PFBFEFPFFBF平面PEF BE平面ABFD平面PEF平面ABFD. 2PFBF/BFEDPFED 又PFPDEDDPDPF平面PEDPFPE 设4AB则4EF2PF23PE 过P作PHEF交EF于H点 由平面PEF平面ABFD PH平面ABFD连结DH 则PDH即为直线DP与平面ABFD所成的角 由PEPFEFPH23234PH 而4PD3sin4PHPDHPD DP与平面ABFD所成角的正弦值34. - 8 - 19本小题满分12分 设椭圆22:12xCy的右焦点为F过F的直线l不C交于,AB两点点M的坐标为2,0. 1当l不x轴垂直时求直线
12、AM的方程 2设O为坐标原点证明OMAOMB. 解1如图所示将1x代入椭圆方程得2112y得22y2(1,)2A22AMk直线AM的方程为2(2)2yx. 2证明当l斜率不存在时由1可知结论成立当l斜率存在时设其 方程(1)ykx1122(,),(,)AxyBxy联立椭圆方程有22(1),12ykxxy即为2222(21)4220kxkxk2122421kxxk21222221kxxk1212121212(23()422(2)(2)AMBMyykxxxxkkxxxx2222124412(4)21210(2)(2)kkkkkxxAMBMkkOMAOMB. 20本小题满分12分 某工厂的某种产品成
13、箱包装每箱200件每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验如- 9 - 检验出丌合格品则更换为合格品。检验时先从这箱产品中任取20件作检验再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为丌合格品的概率都为)10(pp且各件产品是否为丌合格品相互独立。 1记20件产品中恰有2件丌合格品的概率为)(pf,求)(pf的最大值点0p 2现对一箱产品检验了20件结果恰有2件丌合格品以1中确定的0p作为p的值。已知每件产品的检验费用为2元若有丌合格品进入用户手中则工厂要对每件丌合格品支付25元的赔偿费用。 i若丌对该箱余下的产品作检验这一箱产品的检验费用不赔偿费用的和记为X求EX; ii以检验费用不
14、赔偿费用的期望值为决策依据是否该对这箱余下的所有产品作检验 解1由题意221820()(1)fpCpp01p. 2182172172020()2(1)18(1)(1)2(1)(110)fpCppppCppp 当1(0,)10p时()0fp即()fp在1(0,)10上递增当1(,1)10p时()0fp即()fp在1(,1)10上递减. ()fp在点110p处取得最大值即0110p. 2i设余下产品中不合格品数量为Y则4025XY由题可知1(180,)10YB11801810EYnp. (4025)4025402518490EXEYEY元. ii由i可知一箱产品若全部检验只需花费400元若余下的不
15、检验则要490元所以应该对余下的产品作检验. 21本小题满分12分 已知函数1lnfxxaxx. 1讨论fx的单调性 2若fx存在两个极值点12,xx证明12122fxfxaxx. - 10 - 解11()lnfxxaxx221()xaxfxx当22a时0()0fx此时()fx在(0,)上为单调递增. 0即2a或2a此时方程210xax两根为221244,22aaaaxx当2a时此时两根均为负()fx在(0,)上单调递减.当2a时0此时()fx在24(0,)2aa上单调递减()fx在2244(,)22aaaa上单调递增()fx在24(,)2aa上单调递减.综上可得2a时()fx在(0,)上单调
16、递减2a时()fx在24(0,)2aa24(,)2aa上单调递减()fx在2244(,)22aaaa上单调递增. 2由1可得210xax两根12,xx得2a1212,1xxaxx令120xx121xx1211221211()()ln(ln)fxfxxaxxaxxx21122()(lnln)xxaxx.12121212()()lnln2fxfxxxaxxxx要证1212()()2fxfxaxx成立即要证1212lnln1xxxx成立1122212ln0(1)xxxxxxx2221212ln0xxxxx 即要证22212ln0xxx(21x) 令1()2ln(1)gxxxxx可得()gx在(1,)
17、上为增函数()(1)0gxg1212lnln1xxxx成立即1212()()2fxfxaxx成立. - 11 - 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22本小题满分10分选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中曲线1C的方程为2ykx.以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线2C的极坐标方程为22cos30. 1 求2C的直角坐标方程 2 若1C不2C有且仅有三个公共点求1C的方程. 解1由22cos30可得22230xyx化为22(1)4xy. 21C与2C有且仅有三个公共点说明直线2(0)ykxk与圆2C相切圆2C圆心为(1,0)半径为2
18、则2221kk解得43k故1C的方程为423yx. 23本小题满分10分选修4-5不等式选讲 已知11fxxax. 1 当1a时求丌等式1fx的解集 2 若0,1x时丌等式fxx成立求a的取值范围. 解1当1a时21()|1|1|21121xfxxxxxx ()1fx的解集为1|2xx. 2当0a时()|1|1fxx当(0,1)x时()fxx不成立. 当0a时(0,1)x()1(1)(1)fxxaxaxx不符合题意. 当01a时(0,1)x()1(1)(1)fxxaxaxx成立. 当1a时1(1),1()1(1)2,axxafxaxxa(1)121a即2a. - 12 - 综上所述a的取值范围
19、为(0,2. 2018年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2 理科数学 注意事项 1答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2作答时将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题本题共12小题每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。 112i12i A43i55 B43i55 C34i55 D34i55 解析212i(12)3412(12)(12)5iiiii34i55故答案为D. 2已知集合223AxyxyxyZZ则A中元素的个数为 A9 B8 C5 D4 解析由于223,xy所以23x因为xz所
20、以1,0,1x。 当1,x时1,0,1y当0x时1,0,1y当1x时1,0,1y。所以集合A共有9个元素故答案为A. 3函数2eexxfxx的图像大致为 - 13 - 解析0x时()()fxfx()fx为奇函数所以A不正确又1(1)0fee所以D不正确又x时()fx所以B正确故答案为B. 4已知向量ab满足|1a1ab则(2)aab A4 B3 C2 D0 解析 5双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3则其渐近线方程为 A2yx B3yx C22yx D32yx 解析因为231(),bea所以2,ba所以渐近线的方程为2byxxa故答案为A. 6在ABC中5cos25C1BC5AC
21、则AB A42 B30 C29 D25 解析因为2253cos2cos12()1255CC所以 2222coscababC3125215()32542,c故答案为A. 7为计算11111123499100S设计了右侧的程序框图则在空白中框应填入 A1ii B2ii C3ii D4ii 开始0,0NTSNTS输出1i100i1NNi11TTi结束是否- 14 - 解析由11111123499100S及所给程序框图知先对奇数项累加、偶数项累加再对和作差故在空白框内应填入2ii故答案为B. 8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数
22、的和”如30723在不超过30的素数中随机选取两个不同的数其和等于30的概率是 A112 B114 C115 D118 解析不超过30的素数有2,3,5,711,13,17,19,23,29共有10个随机选取两个不同的数共有21045C种取法因为7+23=11+19=13+17=30其中和为30的共有3个利用古典概型的概率计算公式得所求概率为314515故答案为C. 9在长方体1111ABCDABCD中1ABBC13AA则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为 A15 B56 C55 D22 解析 10若()cossinfxxx在,aa是减函数则a的最大值是 A4 B2 C34 D 解析()c
23、ossin2cos()4fxxxx由22()4kxkkz得 32244kxk因为3,44aa从而有3,44aaaa解得04a故答案为A. 11已知()fx是定义域为(,)的奇函数满足(1)(1)fxfx若(1)2f则 (1)(2)(3)(50)ffff A50 B0 C2 D50 - 15 - 解析因为()fx为奇函数且(1)(1)fxfx所以(1)(1)fxfx所以()fx为周期函数4T 又(1)2,(2)(0)0,fff(3)(1)(1)2,fff(4)(2)(2)0fff所以一个周期内的和为050项共12个周期余2项和为2故答案为C. 12已知1F2F是椭圆22221(0)xyCabab
24、的左右焦点A是C的左顶点点P在过A且斜率 为36的直线上12PFF为等腰三角形12120FFP则C的离心率为 A 23 B12 C13 D14 解析由题意直线PF的倾斜角为6002PFc所以点P的坐标为(2,3)cc代入直线PA的方程3()6yxa得a=4c所以离心率为14故答案为D. 二、填空题本题共4小题每小题5分共20分。 13曲线2ln(1)yx在点(0,0)处的切线方程为_ 解析21yx切线方程2yx. 14.若,xy满足约束条件25023050xyxyx则zxy的最大值为_ 解析画出不等式组表示的平面区域利用直线截距的几何意义可知当5,4xy时max9,z故答案为9. 15已知si
25、ncos1cossin0则sin()_ 解析将已知的两式平方后相加得sin()12. 16已知圆锥的顶点为S母线SASB所成角的余弦值为78SA与圆锥底面所成角为45若SAB的面积为515则该圆锥的侧面积为_ 解析由题意222117sin1()515228SABslASBl解得45l所以圆锥的侧面积为22(45)4022rl故答案为402. 三、解答题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题- 16 - 每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题考生根据要求作答。 一必考题共60分。 1712分 记nS为等差数列na的前n项和已知17a315S 1求na的通项公
26、式 2求nS并求nS的最小值 解1设na的公差为d由题意得13315ad. 由17a得d=2. 所以na的通项公式为29nan. 2由1得228(4)16nSnnn. 所以当n=4时,nS取得最小值,最小值为16. 1812分 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y单位亿元的折线图 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数据时间变量t的值依次为1217建立模型30.413.5yt根据2010年至2016年的数据时间变量t的值依次为127建立模型9917.5yt 1分别利用这两个模型求该地区2018年的环境基
27、础设施投资额的预测值 2你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由. - 17 - 解1利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 30.413.519226.1y(亿元). 利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 9917.59256.5y(亿元). 2利用模型得到的预测值更可靠. 理由如下 从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5yt上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加2010年至2016年
28、的数据对应的点位于一条直线的附近这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型9917.5yt可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠.学.科网 从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型得到的预测值更可靠. 1912分 设抛物线24Cyx的焦点为F过F且斜率为(0)kk的直线l与C交于AB两点|8AB 1求l的方程 2求过点AB且与C的准线相切的圆的方程 解1由
29、题意得(1,0)Fl的方程为(1)(0)ykxk. 设1221(,),(,)AyxyxB 由2(1),4ykxyx得2222(24)0kxkxk. 216160k故122224kxkx. - 18 - 所以122244|(1)(1)xkABAFBFkx. 由题设知22448kk解得1k舍去1k. 因此l的方程为1yx. 2由1得AB的中点坐标为(3,2)所以AB的垂直平分线方程为2(3)yx即5yx. 设所求圆的圆心坐标为00(,)xy则 00220005,(1)(1)16.2yxyxx解得003,2xy或0011,6.xy 因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy或22(11)(6)144
30、xy. 2012分 如图在三棱锥PABC中22ABBC4PAPBPCACO为AC的中点 1证明PO平面ABC 2若点M在棱BC上且二面角MPAC为30求PC与平面PAM所成角的正弦值 解1因为4APCPACO为AC的中点所以OPAC且23OP. 连结OB.因为22ABBCAC所以ABC为等腰直角三角形 且OBAC122OBAC. 由222OPOBPB知POOB. 由,OPOBOPAC知PO平面ABC. 2如图以O为坐标原点OBuuur的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz. PAOCBM- 19 - 由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23)
31、,(0,2,23),OBACPAPuuur取平面PAC的法向量(2,0,0)OBuuur. 设(,2,0)(02)Maaa则(,4,0)AMaauuur. 设平面PAM的法向量为(,)xyzn. 由0,0APAMuuuruuurnn得2230(4)0yzaxay可取(3(4),3,)aaan 所以22223(4)cos,23(4)3aOBaaauuurn.由已知得3|cos,|2OBuuurn. 所以22223|4|3=223(4)3aaaa.解得4a舍去43a. 所以83434(,)333n.又(0,2,23)PCuuur所以3cos,4PCuuurn. 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为
32、34. 2112分 已知函数2()exfxax 1若1a证明当0x时()1fx 2若()fx在(0,)只有一个零点求a 解析1当1a时()1fx等价于2(1)e10xx 设函数2()(1)e1xgxx则22()(21)e(1)exxgxxxx 当1x时()0gx所以()gx在(0,)单调递减 而(0)0g故当0x时()0gx即()1fx 2设函数2()1exhxax ()fx在(0,)只有一个零点当且仅当()hx在(0,)只有一个零点 - 20 - i当0a时()0hx()hx没有零点 ii当0a时()(2)exhxaxx 当(0,2)x时()0hx当(2,)x时()0hx 所以()hx在(0,2)单调递减在(2,)单调递增 故24(2)1eah是()hx在0,)的最小值学&科网 若(2)0h即2e4a()hx在(0,)没有零点 若(2)0h即2e4a()hx在(0,)只有一个零点 若(2)0h即2e4a由于(0)1