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1、 3.2导数的应用 (一) 2014 高考会这样考1.利用导数的有关知识，研究函数的单调性、极值、最值；2.讨论含参数的函数的单调性、极值问题复习备考要这样做1.从导数的定义和“以直代曲”的思想理解导数的意义，体会导数的工具作用； 2.理解导数和单调性的关系，掌握利用导数求单调性、极值、最值的方法步骤1 函数的单调性在某个区间(a， b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么 f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求 f(x)；求方程f(x)0 的根；检查f (x)在方程
2、 f(x)0 的根的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值3 函数的最值(1)在闭区间 a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在 a， b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数 f(x)在a，b上连续，在 (a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求 f(x)在(a，b)内的极值；将 f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一
3、个是最大值，最小的一个是最小值难点正本疑点清源 1 可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较2 f(x)0 在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件3 对于可导函数f(x)，f(x0)0 是函数 f(x)在 xx0处有极值的必要不充分条件1 若函
4、数 f(x)x2ax1在 x 1处取极值，则a_. 答案3 解析f(x)2x22x x2 ax12x22x ax12.因为 f(x)在 x1 处取极值，所以1 是 f(x)0 的根，将x1 代入得 a3. 2 函数 f(x)x3ax2 在(1， )上是增函数，则实数a 的取值范围是_答案3， ) 解析f(x) 3x2a，f(x)在区间 (1， )上是增函数，则 f(x)3x2a0 在(1，)上恒成立，即 a3x2在(1，)上恒成立a3. 3. 如图是 yf(x)导数的图象，对于下列四个判断：f(x)在2， 1上是增函数；x 1 是 f(x)的极小值点；f(x)在1,2上是增函数，在2,4上是减
5、函数；x3 是 f(x)的极小值点其中正确的判断是_(填序号 ) 答案解析f(x)在2， 1上是小于等于0 的，f(x)在2， 1上是减函数； f( 1)0 且在 x0 两侧的导数值为左负右正，x 1 是 f(x)的极小值点；对，不对，由于f(3)0. 4 设函数 g(x)x(x21)，则 g(x)在区间 0,1上的最小值为() A 1 B0 C2 39D.33答案C 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - -
6、- - 解析g(x)x3x，由 g (x)3x2 10，解得 x133，x233(舍去 )当 x 变化时， g(x)与 g(x)的变化情况如下表：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - x 00，333333，11 g(x)0g(x)0极小值0 所以当 x33时， g(x)有最小值g33239. 5 (2011 辽宁 )函数 f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意 xR，f(x)2，则 f(x)2x
7、4 的解集为() A(1,1) B (1， ) C(， 1) D(， ) 答案B 解析设 m(x)f(x)(2x4)，m(x)f(x)20，m(x)在 R 上是增函数 m(1)f(1)(24)0，m(x)0 的解集为 x|x1 ，即 f(x)2x4 的解集为 (1，). 题型一利用导数研究函数的单调性例 1已知函数f(x)exax 1. (1)求 f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使 f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，说明理由思维启迪： 函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论解f(x)ex a，(1)若 a0，则 f(x)exa 0，即 f
8、(x)在 R 上递增，若 a0，exa0，exa，xln a. 因此当 a0 时， f(x)的单调增区间为R，当 a0 时， f(x)的单调增区间是ln a， )(2)f(x)exa0 在(2,3)上恒成立aex在 x(2,3)上恒成立名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 又 2x3，e2exe3，只需 ae3. 当 ae3时， f(x)exe3在 x(2,3)上，f(x)0 和 f (x)0， f
9、(x)0，f(x)在( ，23)上单调递增；当 x(23，23)时， f(x)0，f(x)在(23， )上单调递增综上， f(x)的单调增区间是(，23)和(23， )，f(x)的单调减区间是(23，23)(2)f(x) 3x26ax33(xa)21a2当 1a2 0时， f(x)0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；当 1a20 时， f(x)0 有两个根x1aa21，x2aa21. 由题意，知2aa2 13， 或 2aa213，无解， 的解为54a0，知 ax22ax10 在 R 上恒成立，即 4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知 0a1. 所以 a 的取值范围为 a|00，故
10、 f(x)在 (， 2)上为增函数；当 x(2,2)时， f (x)0，故 f(x)在 (2， )上为增函数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 由此可知f(x)在 x 2 处取得极大值f(2)16c，f(x)在 x2 处取得极小值f(2)c16. 由题设条件知16c28，解得 c12. 此时 f(3)9 c21， f(3) 9c3，f(2) 16 c 4，因此 f(x)在3,3上的最小值为f(2)
11、 4. 利用导数求函数最值问题典例： (14 分)已知函数f(x)ln xax (aR)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a0 时，求函数f(x)在1,2上的最小值审题视角(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0)，1 分当 a 0时， f(x)1xa0，即函数f(x)的单调增区间为(0， ) 3 分当 a0 时，令 f(x)1xa0，可得 x1a，当 0 x0；当 x1a时， f(x)1axx0，故函数 f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a， . 5 分(2)当1a1，即 a1 时，函数 f(x)在区间 1,2上是减函数，所以f(x)的最小值
12、是f(2)ln 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 22a. 9 分当1a2，即 0a12时，函数f(x)在区间 1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a .10 分 当 11a2，即12a1 时，函数f(x)在 1，1a上是增函数，在1a，2 上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，所以当12aln 2 时，最小值是f(1) a；当 ln 2 a1 时，最小值为f(2)ln 22a.1
13、2 分综上可知，当 0aln 2 时，函数f(x)的最小值是 a；当 aln 2 时，函数 f(x)的最小值是ln 22a.14 分答题模板用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题：第一步：求函数f(x)的导数 f(x)；第二步：求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定 f(x)的最大值与最小值；第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解题规范温馨提醒(1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间1,2 上的最值，属常规题型(2)本题的难点是分类讨论考生在分类时易出现不全面，不准确的
14、情况(3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题. 方法与技巧1 注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围 )时，隐含恒成立思想2 求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 3 在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较失误与防范1 求函数单
15、调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能2 函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论3 题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好 f(x)0 时的情况； 区分极值点和导数为0 的点A 组专项基础训练(时间： 35 分钟，满分：57 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分) 1. 若函数 yf(x)的导函数y f(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为() 答案C 解析根据 f(x)的符号， f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A，D；从适合 f(x)0的点可以排除B. 2 设 aR，若函数yexax
16、，xR 有大于零的极值点，则() Aa1 Ca1eDa0 时， ex 1，a ex1. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - 3 函数 f(x)x33x22 在区间 1,1上的最大值是() A 2 B0 C2 D4 答案C 解析f(x)3x26x，令 f (x)0，得 x0 或 x2. f(x)在1,0)上是增函数， f(x)在(0,1上是减函数f(x)max f(x)极大值 f(0)2. 4 若
17、函数f(x)13x312ax2(a1)x 1 在区间 (1,4)内为减函数，在区间(6， )内为增函数，则实数a 的取值范围是() Aa2 B5 a7 C4a6 Da5 或 a7 答案B 解析因为 f(x)13x312ax2(a1)x1，所以 f(x)x2axa1，由题意知当1x4 时， f(x)0 恒成立，即 x2axa10 在 (1,4)上恒成立，a(x1)x21，ax1(1x2 或 a0， a2 或 a1. 三、解答题 (共 22 分) 8 (10 分)已知函数 f(x)ax2bln x 在 x1 处有极值12. (1)求 a，b 的值；(2)求函数 yf(x)的单调区间解(1)f(x)
18、2axbx.又 f(x)在 x 1 处有极值12. 得f 1 12，f 1 0，即a12，2ab0.解之得 a12，b 1. (2)由(1)可知 f(x)12x2ln x，其定义域是(0， )，且 f(x)x1xx1 x1x. 由 f(x)0，得 0 x0，得 x1. 所以函数yf(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1， )9 (12 分)已知函数 f(x)ln|x| (x0)，函数 g(x)1f xaf(x) (x0)(1)求函数 yg(x)的表达式；(2)若 a0，函数 yg(x)在(0， )上的最小值是2，求 a 的值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -
19、- - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - 解(1)因为 f(x)ln|x|，所以当 x0 时， f(x)ln x，当 x0 时， f(x)1x，当 x0 时， g(x)xax. 所以当 a0，x0 时， g(x)2a，当且仅当xa时取等号所以函数yg(x)在(0， )上的最小值是2a. 所以 2 a2.解得 a1. B 组专项能力提升(时间： 25 分钟，满分：43 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 15 分) 1 (2012 重庆 )设函数f(x)在
20、R 上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在 x 2 处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是() 答案C 解析f(x)在 x 2 处取得极小值，当 x2 时， f(x)单调递减，即f(x)2 时， f(x)单调递增，即f(x)0. 当 x0；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 当 x 2时， yxf(x)0；当 2x0 时， yxf(x)0 时， yxf(x)0. 结合选项中图象知选C
21、. 2 函数 y xex，x0,4 的最小值为() A0 B.1eC.4e4D.2e2答案A 解析y ex(x1)，y与 y 随 x变化情况如下表：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - x 0(0,1)1(1,4)4 y0y 0取极大值1e4e4当 x0 时，函数yxex取到最小值0. 3 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当x0 时，f(x)x f(x)0的解集为() A(4,0)(4， ) B
22、(4,0)(0,4) C(， 4)(4， ) D(， 4)(0,4) 答案D 解析令 g(x)x f(x)，则 g(x)为奇函数且当x0 时， g(x)f(x)x f(x)0 的解集为 (， 4)(0,4)二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 4 已知函数f(x)x3ax2bx c (x2,2)对应的曲线C 过坐标原点， 且在 x 1 处切线的斜率均为1，则 f(x)的最大值和最小值之和等于_答案0 解析由曲线 f(x)x3ax2bxc (x2,2)过坐标原点可知c 0. f(x)3x22axb，由已知得f 1 3 122a 1 b 1，f 1 3122a1b 1，解得 a 0，b 4
23、，f(x)x34x， f(x)在 x2,2上有最大值，最小值，且函数f(x) x34x 为奇函数，函数 f(x)x34x 的最大值和最小值之和为0. 5 设函数 f(x)p x1x2ln x(p 是实数 )，若函数f(x)在其定义域内单调递增，则实数p 的取值范围为 _答案1， ) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - 解析易知函数f(x)的定义域为 (0， )，因为 f(x)px22xpx2，要
24、使 f(x)为单调增函数，须f(x)0 在(0， )上恒成立，即px22xp0 在(0， )上恒成立，即p2xx212x1x在(0， )上恒成立，又2x1x1，所以当 p1 时， f(x)在(0， )上为单调增函数6 已知函数 f(x)x33axa 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是_答案(0,1) 解析f(x) 3x23a 3(x2 a)，显然 a0，f(x)3(xa)(xa)，由已知条件0a1，解得 0a1. 三、解答题7 (13 分)(2012 江西 )已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0,1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0. (1)求 a 的取值范围；(2)设 g(x
25、)f(x)f(x)，求 g(x)在0,1上的最大值和最小值解(1)由 f(0) 1，f(1)0，得 c1，a b 1，则f(x)ax2 (a1)x1ex，f (x)ax2(a1)xaex，依题意需对任意x(0,1)，有 f (x)0 时，因为二次函数yax2 (a 1)xa 的图象开口向上，而f(0) a0，所以需 f (1)(a1)e0，即 0a1. 当 a1 时，对任意x(0,1)有 f(x) (x21)ex0，f(x)符合条件；当 a0 时，对任意x(0,1)，f(x) xex0，f(x)符合条件；当 a0，f(x)不符合条件故 a 的取值范围为0 a1. (2)因为 g(x)(2ax
26、1a)ex，所以 g (x)( 2ax1a)ex. (i)当 a 0 时， g (x)ex0，g(x)在 x0 处取得最小值g(0)1，在 x1 处取得最大值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - g(1)e. (ii) 当 a1 时， 对于任意 x(0,1)有 g(x) 2xex0， g(x)在 x0 处取得最大值g(0)2，在 x1 处取得最小值g(1)0. (iii) 当 0a0. 若1a2a
27、1，即 0a13时， g(x)在0,1上单调递增，g(x)在 x0 处取得最小值g(0)1a，在 x1 处取得最大值g(1)(1 a)e. 若1a2a1，即13a1 时， g(x)在 x1a2a处取得最大值g1a2a 2ae1a2a，在 x0 或x1 处取得最小值而 g(0)1 a，g(1)(1a)e，则当13ae1e1时， g(x)在 x0 处取得最小值g(0)1a；当e1e1a1 时， g(x)在 x1处取得最小值g(1)(1a)e. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -