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1、第9讲 三角形最值问题之几何法 1（2020秋宝山区校级月考）凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形中，当变化时，对角线的最大值为A3B4CD【解析】解：设，则由正弦定理得，所以由余弦定理得故当时，取得最大值为故选：2（2021洛阳期末）已知四边形中，点在四边形上运动，则的最小值是A3BCD【解析】解：由题意可知，四边形是关于直线对称的图形，故点在四边形的四条边上运动时，仅需考虑点在边，上的运动情况，易知，所以，当点 在边 上运动时，设 则，当 时， 取得最小值当点在边上运动时，设，则，当 时
2、， 取得最小值综上： 的最小值是故选：3（2020日照一模）如图所示，在平面四边形中，为正三角形，则面积的最大值为ABCD【解析】解：在中，设，由余弦定理得：，为正三角形，由正弦定理得：，为锐角，当时，故选：4（2020江门一模）已知平面四边形中，则四边形面积的最大值为A6BCD4【解析】解：连接，在三角形中，由余弦定理可得，在三角形中，可得，则四边形的面积为，当，即时，取得最大值1，四边形的面积取得最大值为故选：5（2021彭水县校级期末）在平面四边形中，记、的面积分别为，则的最大值为A3.5B7C14D28【解析】解：在中，在中，等号成立时故选：6（2021广安期末）在平面四边形中，设、的
3、面积分别为、，则当取最大值时，ABCD1【解析】解：在中，在中，当时，取取最大值，此时，故选：7（2020秋南开区校级月考）在平面四边形中，是正三角形，则的值为AB2CD【解析】解：如图所示，建立直角坐标系取的中点，连接，故选：8在平面四边形中，记的面积为，的面积为，则的取值范围为A，B，C，D，【解析】解：由余弦定理可得，的面积为，即的面积为，则，设，则令，当时，有最大值，最大值为，故则的取值范围为，故选：9（2020秋武侯区校级月考）在平面四边形中，连接对角线，已知，则对角线的最大值为A27B16C10D25【解析】解：根据题意，建立如图的坐标系，则，中点为，则，设三点都在圆上，其半径为，
4、在中，由正弦定理可得，即，即，则，则的坐标为，故点在以点为圆心，10为半径的圆上，当且仅当、三点共线时，取得最大值，此时；故选：10（2021溧水区校级月考）如图，在凸四边形中，当时，对角线的长为【解析】解：设，在中，由余弦定理得，由正弦定理可得在中，故答案为：11（2020湖北一模）如图所示，在平面四边形中，则面积的最大值为【解析】解：在中，设，则，在中，由余弦定理有，当，即时，的最大值为：故答案为：12（2020秋江西月考）在中，是边的一个三等分点（靠近点，记当取最大值时，则的值为【解析】解：如图：，由，可得：，在中，由正弦定理可将，变形为，即，又，即，在中，由余弦定理得：，由得，令，则，令，求得，故当 时，取得最大值结合可得，在中，由正弦定理得，求得，故故答案为：13（2020汕头一模）已知在三角形中，若为的三等分点靠近点一侧）则的取值范围为，【解析】解：，故答案为14（2008江苏）满足条件，的三角形的面积的最大值是【解析】解：设，则，根据面积公式得，根据余弦定理得，代入上式得，由三角形三边关系有，解得故当时，取得最大值