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1、2022年微积分试题及答案 一、选择题(每题 2 分) 1、设 x ( ) 定义域为（1,2），则 lgx ( ) 的定义域为（） A、（0,lg2） B、（0，lg2 C、（10,101） D、（1,2） 2、x=-1 是函数 x ( ) =( )221x xx x-的（） A、跳动间断点 B、可去间断点 C、无穷间断点 D、不是间断点 3、试求02 4limxxx- +等于（） A、 -14 B、0 C、1 D、 4、若 1y xx y+ = ，求 y 等于（） A、22x yy x- B、22y xy x- C、22y xx y- D、22x yx y+- 5、曲线221xyx=-的渐近
2、线条数为（） A、0 B、1 C、2 D、3 6、下列函数中，那个不是映射（） A、2y x = ( , ) x R y R+ - B、2 21 y x =- + C、2y x = D、 ln y x = ( 0) x 二、填空题（每题 2 分） 1、211 x +y= 的反函数为 _ 2、2( 1 ) l i m ()1xn xf x f xnx-=+设 （ ，则 的间断点为 _ 3、21lim 51xx bx ax+ +=-已知常数 a、b, ，则此函数的最大值为 _ 4、26 3 y x k y x k = - = = 已知直线 是 的切线，则 _ 5、 ln 2 1 11 x y y
3、x + - = 求曲线 ，在点（，）的法线方程是 _ 三、推断题（每题 2 分） 1、221xyx=+函数 是有界函数 ( ) 2、 有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、 limbb aa= 若 ，就说 是比 低阶的无穷小 ( ) 4、 可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、 曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题 6 分） 1、1sinxy x = 求函数 的导数 2、21( ) arctan ln(12f x x x x dy = - + 已知 ），求 3、2 32 6 x xy y y x y - + = 已知 ，确定 是 的函数，求 4、20tan
4、 sinlimsinxx xx x-求 5、31 )dxx x +计算 （ 6、210lim(cos ) xxx+计算 五、应用题 1、设某企业在生产一种商品 x 件时的总收益为2) 101 R x x x = - （ ，总成本函数为2( ) 200 50 C x x x = + + ，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的状况下，总税额最大？（8 分） 2、描绘函数21y xx= + 的图形（12 分） 六、证明题（每题 6 分） 1、用极限的定义证明：设01lim ( ) , lim ( )xxf x A f Ax+= = 则 2、证明方程 1 0,1xxe = 在区间（
5、 ）内有且仅有一个实数 一、 选择题 1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题 1、 0 x = 2、 6, 7 a b = = - 3、18 4、3 5、 2 0 x y + - = 三、推断题 1、 √ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、 1sin1sin1sin ln1sin ln22)1 1 1 1cos ( )ln sin1 1 1 1( cos ln sin )xxxxxxy xee xx x x xx xx x x x = = = - + = - +（ 2、 2 2( )1 1 2(arc
6、tan )1 21arctandy f x dxxx x dxx xxdx= = + -+ += 3、 解： 2222)2)2 2 2 3 02 32 3(2 3 )(2 3 (2 2 )(2 6 )(2 3x y xy y yx yyx yy x y x y yyyx y- - + =- =- - - - - =- 4、 解： 222 30 00 tan sin ,1 cos21tan (1 cos ) 12lim limsin 2x xxx x x x xx xx xx x x - = =当 时，原式= 5、 解： 6 652 3222226 6,61 )611 16116 (1 )16
7、6arctan6 6arctanx x tdx tt ttttttt t Cx x C=+=+ -=+= -+= - += - +令t=原式（ 6、 解： 2201lncos01lim lncos20220012lim1lim lncoslncoslim1( sin )coslim2tan 1lim2 2xxxxxxxxxxeexxxxxxxxxe+-=-=-= = - = 原式其中：原式 五、应用题 1、解：设每件商品征收的货物税为 a ，利润为 ( ) L x 2 22( ) ( ) ( )101 (200 50 )2 (50 ) 200( ) 4 5050( ) 0, , ( )4(50
8、 )41(50 2 )410 25 0225L x R x C x axx x x x axx a xL x x aaL x x L xa aaxT aT a Ta= - -= - - + + -= - + - - = - + - = =-= = - = = = - $ - - =当 时，有取 = ，则当0 时，有即 2、 证明： ( ) 1( ) 0,1(0) 1 0, (1) 1 00,1 ( ) 0, 1( ) ( 1) 0, (0,1)( ) 0,11 0,1xxxf x xef xf f ef ef x x e xf xxexx x x= -= - = = = + -令在（ ）上连续由零点定理：至少存在一个 （ ），使得 即又则 在 上单调递增方程 在（ ）内有且仅有一个实根 第7页 共7页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页