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1、1.5.1 1.5.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题二：如何求出下列图形的面积？xyoBA 从中你有何从中你有何启示？启示？“分割分割”得到熟悉得到熟悉 的图形的图形 曲边梯形的面积将圆分成将圆分成16等份等份 曲边梯形的面积长长(a)(b)宽宽平分平分16等份等份平分平分32等份等份 曲边梯形的面积rC2 2r r因为因为: 长方形面积长方形面积 = 长长 宽宽所以所以: 圆圆 的的 面面 积积 = r r 22r2 2=r r 曲边梯形的面积三国时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的
2、面积 曲边梯形的面积三国时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积 曲边梯形的面积“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：刘徽在九章算术注中讲到刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积ABC曲边梯形曲边梯形 1.曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线，直线x=a、x=b及及x x轴所围成的图形叫做曲边轴所围成的图形叫做曲边梯形。梯形。Ox y a b y=f (x)一一. . 求曲边梯形的面积
3、求曲边梯形的面积x=ax=b 因此，我们可以用这条直线因此，我们可以用这条直线L来代替点来代替点P附附近的曲线，也就是说：在点近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以直代曲）作直线（即在很小范围内以直代曲）P放大放大再放大再放大PP y = f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得得A A1+ A2用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
4、 y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边于是曲边梯形的面积梯形的面积A A近似为近似为A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 ?0, 1:2Sxyxxy积面轴所围成的平面图形的，与直线如何求抛物线形下面先研究一个特殊情ox1y2xy S?问题面积直边图形题转化为求的问这个曲边多边形面积能否将求主要区别是什么的直边图形与我们熟悉的左图中的曲边多边形思考Sox1y2
5、xy S影部分面积求图中阴曲边形的方法逼近比如矩形用直边形,)(的思想以直代曲启发启发为了计算曲边三角形的面积为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边，将它分割成许多小曲边梯形梯形方案方案1方案方案2方案方案3ox1y2xy n1ini对任意一个小曲边梯形，用对任意一个小曲边梯形，用“直边直边”代替代替“曲边曲边”（即（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代以直代曲曲” 。 oy2xy 1xy2xy 1xoy2xy 1xoy2xy 1xo根据方案一，分割越细，面积的近似值就根据方案一，分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个
6、近似值越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积就无限逼近所求曲边梯形的面积S。第一种方案第一种方案“以直代曲以直代曲”的具体操作过程的具体操作过程（1 1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个小区间：个小区间：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每个区间的长度为过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小个小曲边梯形，他们的面积分别记作曲边梯形，他们的面积分别记作.S,S,S,Sni21 n1n2nknnxOy2xy 35.1图图ox1y2xy n1ini45.1图图n1i nix12xy yo
7、 轴的直线段近似用平行于就是从图形上看值处的函数等于左端点不妨认为它近似地个常数近似等于一的值变化很小可以认为函数上在区间很小时即很大当如图记近似代替x,.n1ifn1i,xxf,ni,n1i,x,n,35.1.xxf222 35.1图图ox1y2xy n1ini45.1图图n1i nix12xy yo.n, 2 , 1in1n1ixn1ifSS, ,SS,ni,n1i,.45.12iiii 则有以直代曲即在局部小范围内近似地代替的面积用小矩形上间在区这样图边地代替小曲边梯形的曲 n1n1ixn1ifSSS45.1,232n1in1in1iinn 为中阴影部分的面积图由求和n1n1n102n1
8、n1n2 22231n21n1 61n2n1nn13.n211n1131.n211n1131SSSn的近似值从而可得 .61n2n1n1n21222 可以证明可以证明 .31n211n1131limn1ifn1limSlimS,Sn211n1131S,0 x,n,55.1,20,8 , 41 , 04nn1innnn 从而有趋向于时于趋向即趋向于无穷大当可以看到图等份等分成分别将区间取极限 55.1图图oy2xy 1xy2xy 1xoy2xy 1xoy2xy 1xo.势数值上看出这一变化趋我们通过下表还可以从n1 , 0的等分数的等分数区间区间nSS的近似值的近似值 5122561286432
9、16842 33235741.033138275.032943726.032556152.031787109.030273438.027343750.021875000.012500000.0 ?,fni,n1i?31,?S,nifnin, 2 , 1ini,n1ixxf,ii2情况又怎样情况又怎样作为近似值作为近似值的函数值的函数值处处取任意取任意吗吗这个值也是这个值也是若能求出若能求出的值吗的值吗用这种方法能求出用这种方法能求出处的函数值处的函数值点点上的值近似地等于右端上的值近似地等于右端区间区间在在如果认为函数如果认为函数中中近似代替近似代替在在探究探究 n1n2nknnxy2xy n
10、nn2ii 1i 1i 12222311SSf()( )n nnn1 12(n1)niin(过剩近似值) n1n2nknnxy2xy 2222331S12(n1)n1(1)(21)1111 (1)(2)n663nn nnnn(过剩近似值)1, iinn在区间上的左端点和右端点的函数值来计算有和区别从小于曲边梯形的面积从小于曲边梯形的面积来无限逼近来无限逼近从大于曲边梯形的面积从大于曲边梯形的面积来无限逼近来无限逼近 .31fn1limxflimS,fni,n1ixxf,inn1iinii2 都有作近似值处的值点上任意一在区间取可以证明.,15.1,值的方法求出其面积值的方法求出其面积似代替、求
11、和、取极似代替、求和、取极也可以采用分割、近也可以采用分割、近我们我们所示的曲边梯形所示的曲边梯形对如图对如图一般地一般地abxy xfy o af bf15.1 图图端点右一般用左为了便于计算)(,1. 当当n很大时，函数很大时，函数 在区间在区间 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替近似代替 A. B.C. D.2)(xxfnini,1C)1(nf)2(nf)(nif 0f练 习2、在、在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(x)在区间在区间 上的近似值等于（上的近似值等于（ ）A.只能是左端点的函数值只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确以上答案均不正确)(ixf)(1ixf),)(1iiiixxfC1,iixx练 习