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1、1.2.2 函数的表示法第1课时 函数的表示法1.1.掌握函数的三种表示法：掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法解析法、列表法、图象法，体会三种表示方法的，体会三种表示方法的优点优点. .( (重点）重点）2.2.会求函数解析式，并正确画出函数的图象会求函数解析式，并正确画出函数的图象. .( (难点）难点）1 1 解析法解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法优点优点: : 函数关系清楚、精确；函数关系清楚、精确；容易从自变量容易从自变量的值求出其对应的函数值；的值求出其对应的函数值；便于研究函数的性便于研究函数的性质。解析法是中
2、学研究函数的主要表达方法。质。解析法是中学研究函数的主要表达方法。222:60 ,(0)StAryaxbxc a如p=+2 2 列表法列表法观察下面的表格观察下面的表格(a(a，b b，cRcR):):x xa ab bc cy y0 00 00 0提示：提示：并不是所有函数都能用列表法来表示，如并不是所有函数都能用列表法来表示，如函数函数y=2x+1,xR.y=2x+1,xR.因为自变量因为自变量xRxR不能一一列出，不能一一列出，所以不能用列表法来表示所以不能用列表法来表示. .列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法. .如：平方表，平方根表，
3、汽车、火车站的里程价目如：平方表，平方根表，汽车、火车站的里程价目表、银行里的表、银行里的“利率表利率表”等。等。优点优点: :不必通过计算就知道当自变量取某些值时函不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用，列数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用，列表法在实际生产和生活中有广泛的应用表法在实际生产和生活中有广泛的应用. . 3 3 图象法图象法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法. . 如：一次函数如：一次函数y ykxkxb (kb (k0 0、b b0)0)的图象是一条直线；的图象是一条直线；y yO Ox
4、x优点：优点：能形象直观地表示出函数的变化趋势，能形象直观地表示出函数的变化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基础是今后利用数形结合思想解题的基础. .图象法可以较好反映函数的：图象法可以较好反映函数的：定义域，值域，变化趋势等。定义域，值域，变化趋势等。下图是我国人口出生率变化曲线下图是我国人口出生率变化曲线 例例1 1 某种笔记本的单价是某种笔记本的单价是5 5元，买元，买 个笔记本需要个笔记本需要y y元元. .试用函数的三种表示法表示函数试用函数的三种表示法表示函数y=f(xy=f(x).).x x1,2,3,4,5笔记本笔记本数数x x1 12 23 34 45 5钱数钱数y y5
5、51010151520202525y5x,x1,2,3,4,5解：解：这个函数的定义域是数集这个函数的定义域是数集1,2,3,4,51,2,3,4,5列表法表示如下：列表法表示如下：用图象法可将函数表示为右图：用图象法可将函数表示为右图：用解析法表示为用解析法表示为函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。线、离散的点等等。(1)(1)用解析法表示函数要写出自变量的取值范围。用解析法表示函数要写出自变量的取值范围。(2)(2)用描点法画函数图象的一般步骤：用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线列表、描点、连线( (视其
6、定义域决定是否连线视其定义域决定是否连线) )函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候，一般要写出函数的定义域的时候，一般要写出函数的定义域. .第第1 1次次第第2 2次次第第3 3次次第第4 4次次第第5 5次次第第6 6次次王伟王伟989887879191929288889595张城张城909076768888757586868080赵磊赵磊686865657373727275758282班级平均分班级平均分88.288.278.378.385.485.480.380.375.775.782.682.6例例2 2 下表是某校高一（下表是某
7、校高一（1 1）班三名同学在高一学年）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表度六次数学测试的成绩及班级平均分表. . 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析一个分析. .测试测试序号序号成成 绩绩姓名姓名解：解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况但不太容易分析每位同学的成绩变化情况. .如果将如果将“成成绩绩”与与“测试序号测试序号”之间的关系用函数图象表示出来，之间的关系用函数图象表示出来，如下图，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况
8、如下图，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况. .这这对我们的分析很有帮助对我们的分析很有帮助. .从图我们看到：从图我们看到：王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀，情况比较稳定而且成绩优秀，张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大，波动，而且波动幅度较大，赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高。绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳
9、步提高。作函数图象时应注意的事项作函数图象时应注意的事项: :(1)(1)画函数图象时首先关注函数的画函数图象时首先关注函数的定义域定义域, ,即在定义域即在定义域内作图内作图; ;(2)(2)图象是图象是实线实线或实点或实点, ,定义域外的部分有时可用定义域外的部分有时可用虚线虚线来衬托整个图象来衬托整个图象; ;(3)(3)要标出某些要标出某些关键点关键点, ,例如图象的顶点、端点、与坐例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等标轴的交点等. .要分清这些关键点是要分清这些关键点是实心点实心点还是还是空心空心点点. .【提升总结【提升总结】1. 1. 画出下列函数的图象画出下列函数的图象: :
10、(1) (1) (2)(2)f(x)2x,xR,x2且且；f(x)x2,(xN,x3);且且1212Oyx4422解：解：（1 1）（2 2）【变式练习【变式练习】2.2.某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：行进的行进的站数站数x x1 12 23 34 45 56 67 78 89 9票价票价y y0.50.5 0.50.5 0.50.51 11 11 11.51.5 1.51.5 1.51.5此函数关系除了用列表法表示之外，能否用其他方法此函数关系除了用列表法表示之外，能否用其他方法表示？表示？解：解： 0.5, x1,2,3,y1, x4,
11、5,6,1.5, x7,8,9.把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫这个等式就叫函数的解析式函数的解析式，简称，简称解析式解析式. 4 4 求函数解析式求函数解析式二、求函数解析式的常用方法有：二、求函数解析式的常用方法有：1.1.待定系数法待定系数法2.2.换元法换元法( (构造法构造法) )3.3.消元法消元法一、函数的解析式一、函数的解析式: :例例3 3 已知已知f(xf(x) )是一次函数，是一次函数，f(f(xf(f(x)=4x)=4x1 1，求，求f(xf(x) )的解析式的解析式. .解：解：设设f(x)=kx+bf(x)
12、=kx+b（k0k0）则则 f(f(x)=f(kx+b)=k(kx+b)+bf(f(x)=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k=k2 2x+kb+b=4xx+kb+b=4x1 12k4kbb1 则则有有k2k21b1b3 或或1f(x)2xf(x)2x13 或或待定系待定系数法数法适合：适合：已知函数的模型已知函数的模型( (如一次函数、二次函数、反如一次函数、二次函数、反比例函数等比例函数等) )求函数解析式求函数解析式. .【变式练习【变式练习】例例4 4 已知已知2f (x1)x2x2，求，求f(x).解：解：则则令t= x+1,x=t-1 22f t = t-1+2 t-1 +2=t
13、 +1 2f x = x + 1适合：适合：已知已知f(g(xf(g(x)的解析式的解析式, ,求求f(xf(x).).换元法换元法例例5 5 已知已知，求，求f(x).13 ( )2 ( )(0)f xfx xx13 ( )2 ( )113 ( )2 ( )f xfxxff xxx解：解：由由32( )(0)55xf xxx解得解得消元法消元法适合适合: : 同时含有同时含有1f(x)f( )f(x)f( x).x与，或与的表达式1.1.已知函数已知函数f(xf(x) )由表给出：由表给出： 则则f(2)f(2)的值为的值为( )( )A.4 B.2 C.0 D.1A.4 B.2 C.0 D
14、.1x x-1-10 01 12 2f(xf(x) )4 42 20 01 1D D2.2.（20132013湖北高考）小明骑车上学，开始时匀速行湖北高考）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是（）加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是（） A AB BC CD DC C3.3.已知已知f f（x+1x+1）=2x=2x2 2+1+1，则，则f f（x-1x-1）=_=_2x2x2 2-8x+9-8x+9【解析【解析】设设x+1=tx+1=t，则，则x=t-1x=t-1，f
15、 f（t t）=2=2（t-1t-1）2+1=2t+1=2t2-4t+3-4t+3，f f（x-1x-1）=2=2（x-1x-1）2-4-4（x-1x-1）+3+3=2x=2x2-4x+2-4x+4+3-4x+2-4x+4+3=2x=2x2-8x+9-8x+9优点优点缺点缺点解解析析法法一是简明、全面地概括一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是通过了变量间的关系；二是通过解析式可以求出任意一个自解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值变量所对应的函数值不够形象、直观、具不够形象、直观、具体，而且并不是所有体，而且并不是所有的函数都能用解析式的函数都能用解析式表示出来表示出来列列表表法法不需
16、要计算就可以直接不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的看出与自变量的值相对应的函数值函数值它只能表示自变量取它只能表示自变量取较少的有限值的对应较少的有限值的对应关系关系1 1函数的三种表示方法的优缺点比较函数的三种表示方法的优缺点比较图图象象法法能形象、直观地表示出函数能形象、直观地表示出函数的变化情况的变化情况只能近似地求出自变量的只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且值所对应的函数值，而且有时误差较大有时误差较大2 2函数的三种表示方法相互兼容和补充，许多函数是可以函数的三种表示方法相互兼容和补充，许多函数是可以同时用这三种方法来表示的，但在实际操作中，仍以同时用这三种方法来表示的，但在实际操作中，仍以解析法解析法和和图象法图象法为主为主